在线性代数中，矩阵的范数||A||的计算涉及到不同的方法。首先，向量的范数||a||定义为其内积(a,a)的平方根，即||a||=√(a^Ta)，这里的内积是a的各分量平方和的平方根，如a=(X1,X2,X3)，则||a||=√(X1^2+X2^2+X3^2)。然而，矩阵范数如Frobenius范数（||A||F）并非总是由向量范数诱导，它计算的是矩阵所有元素平方和的平方根，即(∑∑aij^2)^1/2，当矩阵的行数和列数不相等时，F-范数可能不兼容。
值得注意的是，尽管不是所有矩阵范数都能由向量范数产生，但每个矩阵范数都存在一个相容的向量范数。比如，定理1表明谱半径ρ(A)总是小于或等于矩阵范数||A||，这是通过任一特征值和对应的特征向量的性质得出的。定理2则指出，对于任何方阵A和正数e，存在一种特定的范数，使得||A||与ρ(A)之和加上一个小量e。
谱半径和范数之间的关系还有其他定理，如Gelfand定理说明了谱半径等于矩阵幂次序列的极限，即ρ(A)=lim_{k→∞}||A^k||^(1/k)。根据这些性质，我们可以推断出一些重要结论，例如，当矩阵序列I,A,A^2,...,A^k,...趋向于零时，ρ(A)必须小于1；级数I+A+A^2+...收敛于(I-A)^{-1}的条件也是ρ(A)<1。
总结来说，线性代数中矩阵范数的计算涉及向量范数的内积定义，以及与谱半径、矩阵幂序列等概念的紧密联系。理解这些关系对于理解和应用矩阵分析至关重要。