FFT实验报告

实验报告业:计算机科学与技术级:309名号:7

1.算法原理

快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅变换，可以说是进了一大步。

设_(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的_（m）,即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=次运算.在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）^2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）^2=N+N^2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。

如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog(2)(N)次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。

2.问题描述

乘法如果直接像手工算一样做，复杂度是O(nn)的.FFT乘法是将数看成多项式：P1(_)=a0+a1_+a2_^2+...+an_^n，如果取ak在0到9之间，且_取10，那它就表示一个十进制数，如果再用另外一个多项式P2(_)与它相乘，那结果和它所表示的数相乘是一样的数值。

多项式乘法其实质是做两个系数序列的卷积，而FFT正是对这样的卷积,做时域到频域的变化，FFT的本质也是DFT，离散傅变换，因为有卷积定理：如果h(t)=_(t)(y(t)，且H(s)=DFT[h(t)]，_(s)=DFT[_(t)]，Y(s)=DFT[y(t)]，那么有，H(s)=_(s)Y(s)

3.算法及其复杂度分析

h(t)=IFFT[FFT[_(t)]FFT[y(t)]]

IFFT是快速傅反变换，可以转换成FFT，所以一个乘法的时间是3个FFT加一个线性乘积运算，因此也是O(nlogn)。

4.算法实现

voidFFT(Comple__[],intn)

对_数组进行快速傅变换,返回的结果仍存在_中

staticComple_res[Ma_n<<1];doublealpha=-2PI;ButterflyChange(_,n,res);inti,j,k,kk,p,m;i=1,m=0;

while(i

i<<=1;

m++;}m为n的二进制位数

for(i=0,k=2;i1;for(p=0;p

5.实验总结

虽然之前信号与系统课上听说过快速傅转换算法,但是一直没有深入研究.通过在网上查资料,看书等各种途径,我逐步了解了FFT算法的原理,特别是将FFT算法用于求大数乘法后,对FFT的算法有了更加深入的理解.

虽然算法的研究偏理论,但是作为计算机专业的学生,将算法用代码实现,也是非常必要的.不但提升了动手能力,更对算法本身的理解更加深刻.