八年级数学_二次根式地化简求值_练习题与答案

二次根式的化简求值

练习题

温故而知新： 分母有理化

分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分 母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.

例1计算：〔1〕(23326)(23326)； 〔2〕 〔3〕aaba

aab

22

(3223)(3223)； .

解析：〔1〕式进展简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；〔2〕利用平方差公 式计算；〔3〕先将分子、分母在实数X围内因式分解，然后再约分.

答案：解：〔1〕原式=(23632)(23632)=

22

(236)(32)

=12-2236+6-18=122.

〔2〕原式=(32233223)(32233223)=62(43) =246.

〔3〕原式=()()

aabab

a(ab)

=ab.

小结：〔1〕二次根式的混合运算常常用到幂的运算法那么和乘法公式，有时题目中条件不明显， 要善于变形，使之符合乘法公式，幂的运算法那么特点，从而简化计算. 〔2〕二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便.

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举一反三：

1.假设x=m-n，y=m+n，那么xy的值是() A.2mB.2n C.m+nD.m-n

解析：xy=(m-n)(m+n)=

22

(m)-(n)=m-n.

例2阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.〞这是武侠小说的常见描述,其意 是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子〞,如:(2+ 3)(2-3)=1,(5+2)(5-2)=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为 有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如1

= 3

13 ′ 33 ′

2 3 2+3

(2+3) , = =

3 2-3

(2-3)(2+3)

=7+43,像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分

母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.

(1)4+7的有理化因式是___________.

解析：因为〔4+7〕〔4-7〕=4-〔7〕=9，所以4+7的有理化因式是4-7.

22

答案：4-7；

11

+27-6 2+33

.

(2)计算:

12-3

解析：

==2-3

2+3(2+3)(2-3)

，27=33，6123

=.

3

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答案：解：原式=2-3+33-23=2.

骣

1111

琪++++(2021+1) 琪

2+13+24+32021+2021 桫

1n+1-n

==n+1-n

n+1+n(n+1+n)(n+1-n)

.

(3)计算:

解析：

，将各个分式分别分母有理化

后再进展计算.

答案：解：原式=〔2-1+3-2+4-3++2021-2021〕〔2021+1〕

2

-1=2021-1=2021.=

2

〔2021-1〕〔2021+1〕=〔2021〕

3+2 3-2

解析：a=

,b=

3-2 3+2

,求 232

a-ab+b的值. 2

，同理b=

3-2 3+2

=5-26

；

(4)a=

3+2(3+2)

==5+26

3-2(3-2)(3+2)

a+b=5+26+5-26=10，ab=〔5+26〕〔5-26〕=1，然后将所要求值的式子用a+ b和ab表示，再整体代入求值即可.

答案：解：因为a=

3+2 3-2

=5+26

，b=

3-2 3+2

=5-26 ，

所以a+b=5+26+5-26=10，ab=〔5+26〕〔5-26〕=1.

所以 232

a-ab+b=

2

(a+b)-5ab=

2

10-5?1=95.

小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的 题目中我们经常会用到.利用平方差公式进展分母有理化是常用方法.如:〔a+b〕(a- b)=a-b,(a+b)(a-b)=a

-b,(a+b)(a-b)=a-b.

2

2

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举一反三：

2.如图,数轴上与1,2对应的点分别为A,B，点B关于点A的对称点为C,设点C表示的数 为x,那么|x-2|+ A.2B.22 C.32D.2

2

=〔〕 x

解析：因为点B和点C关于点A对称，点A和点B所表示的数分别为1，2，所以点C表 示的数为2-2，即x=2-2，故|x-2|+

2

=|2-2-2|+ x

2 2-2

=22-2+2+2=3

2.

例3比拟大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7.

解析：〔1〕用平方法比拟大小；〔2〕用倒数法比拟大小.

答案：解：〔1〕〔11-3〕

2

=11-2×11×3+3=14-233，

2

=10-2×10×2+4=14-240.〔10-2〕

∵33<40,∴33<40,∴-233>-240,∴14-233>14-240,

2

>〔10-2〕.又∵11-3>0,10-2>0,∴11-3>10-2.∴〔11-3〕

1

22+5

=

(22-5)(22+5)

22+5 =

3

，

2

〔2〕

22-5

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1 10-7 10+7 =

(10-7)(10+7) 8+5 =

3 1 <

10-7

10+7 <

3 ，

10+7 =

3 ，

.

22+5 ∵

3 1

∴

22-5

∴22-5>10-7.

小结：比拟两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因 子移到根号内比拟,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能 从根号外移到根号内.

3.a20212021，b2021 2021，c20212021 ，那么以下结论中正确的选项是 〔〕

A.a>b>cB.c>b>a C.b>a>cD.b>c>a

解析：

11 a

20212021

20212021

，

11

b2021 2021 ∵0<

111 abc

2021 2021，

，∴a>b>c.

11

c20212021

20212021 ；

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例4〔2021·襄阳〕先化简，再求值：

2222 ababb aa

a ，其中a12，b12.

答案：解：原式=

ab ab

.

(ab)(ab)2abba

aa

22

(ab)(ab)a =

a(ab)

2

=

∵a12，b12，∴a+b=2，a-b=22，

2

= 22

2 . 2

∴原式=

例5实数x，y满足

2

22

(x-x-2021)(y-y-2021)=2021，那么3x

-2y+3x-3y-2021的

2

值为〔〕

A.-2021B.2021C.-1D.1

解析：观察所给等式特点可将等式变形为

2 x-x-2021=

2021

，将等式右边分母有 2

2021

y-y-

2202122021 理化得

x-x-=y+y-①； 2202122021 同理可得

y-y-=x+x-②； ①+②得

22021220210 x-+y-=，所以

222021 x=y=；

①-②得x-y=0，所以x=y；

2

-2y+3x-3y-2021=3x-2x+3x-3x-2021=x-2021=2021-2021=1.3x

2222

答案：D

小结：此题有一定的技巧性，解题关键在于对所给等式进展变形，然后对变形所得到的两个 等式进展简单的加减运算便可得到我们所需要的条件.此题也可以根据变形得到的两个等式 的特点得出x=y的结论，然后代入原来的等式，进而求出x，y的值，最后带入求值.

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举一反三：

5

_________. .观察分

解析：0=0′3，3=1′3，6=2′3，3=3′3，23=12=4?3，15=5′3， 析以

32=18=6?3，⋯，3(n-1)，所以第10个数据是9?333. 下数据,

111 :0,3,6,3,23,15,32,⋯⋯那么第10个数据应是

6.〔2021·XX〕先化简，再求值： ，其中x=32，y=32.

xyyx

例6m=1+2,n=1-2,且(7m-14m+a)(3n-6n-7)=8，那a的值等于〔〕 么

A.-5B.5C.-9D.9

22

解析：由m=1+2可得m-1=2，两边平方得m-2m+1=2，所以m-2m=1； 7m-14m+a=7〔m-2m〕+a=7+a；

同理可得n-2n=1，3n-6n-7=3〔n-2n〕-7=3-7=-4； 所以(7+a)×(-4)=8，解得a=-9.

2

2

2

2

2

22

答案：C

小结：观察所给等式和m，n的值，我们可以发m，n稍作变形便可整体代入.整体思 对，现想是解决这类较复杂求值问题常用的思想方.当然我们也可以直接把法m，n的值直接代入， 然后解方程求出a的值，这样计算量要大很多.

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举一反三：

3

+12a-6a-12=〔〕 4.设a=7-1，那么3a A.24B.25C.47+10D.47+12

2

2

+2a+1=7，所以a+2a=6，所以解析：

2

由a=7-1得a+1=7，两边平方得a 3a

3

+12a-6a-12=3a〔a+2a〕+6a-6a-12=3a×6+6a-6a-12=6a+12a-12=

22222

2

+2a〕-12=6×6-12=24.6〔a

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