立体几何大题练习题答案

1、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点； (1)求证：MN//平面PAD

(2)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD

2（本小题满分12分）

如图，在三棱锥PABC中，E,F分别为AC,BC的中点． （1）求证：EF//平面PAB；

（2）若平面PAC平面ABC，且PAPC，ABC90，

求证：平面PEF平面PBC．

A

B P E C F

（1）证明：连结EF, E、F分别为AC、BC的中点，

EF//AB. ……………………2分

又EF平面PAB，AB平面PAB，

 EF∥平面PAB. ……………………5分 （2）PAPC，E为AC的中点，

PEAC ……………………6分 又平面PAC平面ABC

PE面ABC……………………8分 PEBC……………………9分 又因为F为BC的中点，

EF//AB

ABC900,BCEF……………………10分

EFPEE

BC面PEF……………………11分 又BC面PBC

面PBC面PEF……………………12分

3. 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。 （1）求证：BC1//平面CA1D； （2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。

4．已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是 AB、PC的中点．

(1) 求证：EF∥平面PAD； (2) 求证：EF⊥CD；

(3) 若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

5．（本小题满分12分）

M、N分别是AB、PC的中点． 如图，PA矩形ABCD所在的平面，（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MNCD；

6.如图，正方形ABCD所在的平面与三角形ＡDＥ所在平面互相垂直，△ＡＥＢ是等腰直角三角形，且ＡＥ＝ＥD 设线段BC、AE的中点分别为F、M，求证：（1）FM∥平面ECD；

（2）求二面角Ｅ－ＢＤ—Ａ的正切值．

（1）证明：取AD的中点N,连结FN,MN,则MN∥ED，FN∥CD

∴平面FMN∥平面ECD. ∵ MF在平面FMN内,

∴ FM∥平面ECD ......5分 （2）连接EN, ∵AE=ED，N为AD的中点， ∴ EN⊥AD.

又∵面ADE⊥面ABCD，∴EN⊥面ABCD. 作NP⊥BD,连接EP,则EP⊥BD，

∴∠EPN即二面角E-BD-A的平面角，

设AD=a,∵ABCD为正方形，⊿ADE为等腰三角形，∴EN=

AMBPNDC21a,NP=a.

42∴tan∠EPN=2 . ......10分

7.如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为 (1)试用（2）当

x cm的内接圆柱.

x表示圆柱的侧面积；

x为何值时，圆柱的侧面积最大.

19.（1） 解：设所求的圆柱的底面半径为r

r6xx,即r2. 263x22∴S圆柱侧2rx2(2)x4xx.......5分

33则有

（2）由（1）知当x43时，这个二次函数有最大值为22()36

所以当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为8．（10分）

6cm2......10分

如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º. （1）证明：AB⊥PC；

（2）若PC4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC体积.

解：

（1）因为PAB是等边三角形，PACPBC90, 所以RtPBCRtPAC,可得ACBC。 如图，取AB中点D，连结PD,CD, 则PDAB,CDAB, 所以AB平面PDC,

所以ABPC ......5分 （2）作BEPC，垂足为E，连结AE．

因为

RtPBCRtPAC，

所以AEPC，AEBE．

由已知，平面PAC平面PBC，故AEB90． 因为RtAEBRtPEB，所以AEB,PEB,CEB都是等腰直角三角形。 由已知PC4，得AEBE2， AEB的面积S2． 因为PC平面AEB， 所以三角锥PABC的体积 V18SPC ......10分 339.（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．

(1)证明PB∥平面ACM； (2)证明AD⊥平面PAC；

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

解析： (1)证明：如图，连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．

又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.

(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.

1

(3)如图，取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO

2＝1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所1

成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，

2DO＝

MN145515

.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝AN＝＝， 22455

4

45

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.

510（本小题满分12分）

如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，

AC3，AB5，BC4，AA14，点D是AB的中点．

（Ⅰ）求证：ACBC1； （II）求证：AC1//平面CDB1； （III）求三棱锥 A1B1CD的体积．

证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵AC3，AB5，BC4，

∴△ABC为直角三角形，∴ACBC， ……………1分

又∵CC1平面ABC，∴CC1AC，CC1BCC， ……………2分 ∴AC平面BCC1，∴ACBC1． ……………4分 （II）设B1C与BC1交于点E，则E为BC1的中点，连结DE， ……………5分 则在△ABC1中，DE//AC1，又DE面CDB1， ……………7分 ∴AC1//平面B1CD． ……………8分

（III）在△ABC中，过C作CFAB，F为垂足，∵平面ABB1A1平面ABC， ∴CF平面ABB1A1，而CF∵

ACBC3412， ……………9分 AB55VA1B1CDVCA1DB1， ……………10分

而

SDA1B111A1B1AA15410， ……………11分 22∴

112VA1B1CD108． ……………12分

35

11.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点

求下：（Ⅰ）直线EF//平面PCD； （Ⅱ）平面BEF⊥平面PAD.

12. （本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面

ABCD,PDCD,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。

（I）求证：PA//平面EDB； （II）求证：PB平面EFD；

（III）求二面角PBCD的大小。

13．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，

PAPBPCPD5

P（1）求二面角PABC的度数

（2）若M是侧棱PC的中点，求异面直线PA与BM所成角的正切值

MDCAB

14．（本小题满分12分）

若图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，EC//PD，且PD=2EC。 （1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段PB的中点，求证：EN平面PDB；

（1） 证明：EC∥PD∴EC∥面PAD；同理BC∥面PAD；∴面BEC∥面PAD；∴BE∥面PAD （2） 证明：取BD的中点O，连NO、CO，易知，CO⊥BD；又∵CO⊥PD; ∴CO⊥面PBD。 15．（本小题满分12分） 如图，在多面体ABCDE中，底面ABC为等腰直角三角形，且ACB90，

侧面BCDE是菱形，O点是BC的中点，EO平面ABC。 （1）求异直线AC和BE所成角的大小；

（2）求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值。