全国第八届青年数学教师优质课教学设计：函数的单调性与导数 Word版含答案

教学设计

普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1

（人教A版）

（第一课时）

函数的单调性与导数

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张丽园

安阳市实验中学 2016年10月15日

《函数的单调性与导数》教学设计

安阳市实验中学（第39中学） 张丽

园

课题:函数的单调性与导数 教材:人教A版《数学》选修1-1 课时:1课时 教材分析:

函数的单调性与导数是人教

A版选修1-1第三章第三课第一节

的内容.

《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.

函数的单调性是函数的重要性质之一.在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用.

在前几节课中，学生学习了平均变化率，瞬时变化率，导数的定

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义和几何意义等内容，在本节课中，学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性，掌握研究函数单调性的更一般方法，进而为后面学习函数的极值，最值等作出知识铺垫，打下能力基础，进行方法指导，因此，本节课可以起到承上启下，完善建构，拓展提升的作用.

学生学情分析:

课堂学生为高二年级的学生，学生基础普遍比较好，但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.

在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上.本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性. 教学目标:

结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系：能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.

重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.

难点：探索并了解函数的单调性与导数的关系.

借助几何直观，通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的单调区间；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学发展的一般规律. 教学策略分析:

根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索函数的单调性与导数的关系；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象.

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本节课的教学设计也是围绕这些目标，让学生自主探究，充分参与课堂，并从中体会学习的成功和快乐.

本节课时学习过导数的概念和运算后，首次运用导数解决函数相关问题的一节课，如何激发学生的兴趣，使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键，利用手边胡工具，更好的分析这个过程，运用信息技术确认加深理解.

充分利用学生已有的基础，分析原函数的单调性与导数正负之间的关系，本着由形到数，由数到形，数形结合的思想. （一）创设情境，引发冲突.

师：在北方，进入十月，就能感觉到阵阵寒意，今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅.

师：我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示，从2时到5时的气温 与时间 可近似的用函数 拟合，问：这t段气温 随时间 的变化趋势如何？

回答这个问题，我们需要了解这个函数的什么性质？ 生：函数的单调性.

师：如何判断这个函数的单调性呢？ 生：画图象，用定义.

师：有的同学说画图象，有的说用单调性的定义，我们动手来做一下吧

生：动手操作.

师：选择画图的同学们，可以画出图象么？ 生：不可以.

师：哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决. 生：在区间2到5上，任意选取 且 t1t2，我们需要判断

师：可以判断么？ 生：不可以.

师：好，请坐，也就是我们已有的方法都遇到了困难，如何解决这个

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CtC(t)t4lnt1Ct1，t2

C(t1)C(t2)的符号，

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单调性问题呢？ 设计意图：

通过学生熟悉的生活情景，激发学生迫切知晓函数单调性的欲望，尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性，引发学生的认知冲突，思考如何将未知化为已知，激发了学生主动学习新知识的热情. （二）回归定义，寻求方法.

师：追本溯源，我们重新回到定义.请一位同学回答单调性的定义.

,b生:在函数f(x)的定义域内的某区 ( a ) 内，满足对于任意的

f(x1)f(x2)x1x2x1,x2(a,b)

且 ，都有 ，是增函数.

(x师：很好，也就是我们要需要判断 f(x 1)  f 2 )的符号，我们把这个形

式变形，判断生：大于0.

f(x2)f(x1)x2x1的符号，结果为:

师：即函数值的改变量与自变量改变量的比值: 生：大于0

师：函数f(x)在区间 (a,b)内是减函数，满足对于任意的 x1,x2(a,b)且

x1x2

，都有

f(x1)f(x2)，也就是

f(x2)f(x1)x2x1生：小于0.

即函数值的改变量与自变量改变量的比值: 生：小于0.

师：我们发现，函数的单调性与这样一个比值的符号相关，在本章的学习中，我们知道这叫做---- 生：函数的平均变化率.

师：我们运用无限趋近于的方式，可以由平均变化率得到瞬时变化率，反过来，瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况，我们知道瞬时变化率，即---- 生：导数.

师：非常棒！我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性. 板书：3.3.1函数的单调性与导数.

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设计意图：

注意到知识的联系，尝试在学生原有认知的基础上建立新知，通过回顾函数单调性的定义，将其形式改变，联想平均变化率，运用无限趋近于的方式，得到瞬时变化率，即导数，引发学生思考导数与单调性的关系，这个过程由浅入深，层层深入，合乎学生的逻辑思维. （三）观察发现，探索规律.

师：要研究函数的单调性与导数的关系，我们来观察，函数单调递增时，平均变化率大于0，函数单调递减时，平均变化率小于0，那么，导数的符号是否与函数的单调性有关呢？

师：我们从最熟悉的函数开始研究，我们都学过哪些基本初等函数呢？

生：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数.

师：对于这些函数，我们都是通过函数的形，也就画出图像的方式来研究，同样的，导数的形，也就是导数的几何意义是什么呢？ 生：函数的图像在该点处切线的斜率.

师：根据导数的几何意义，我们一起来看研究的方法.

师：给出函数的图像，指出其单调区间，用牙签靠近图像，使其作为该点处的切线，移动牙签，观察斜率即导数的正负情况.

师：拿出坐标纸，作出你研究的函数图像，利用牙签，得出结论，并填写下面的表格.

师：可以进行讨论，到前面展示你的结果.

师：我们一起来看同学们的展示，可以得到什么结论呢？ 生：导数为负数时函数单调递减，导数为正数时单调递增.

师：熟悉的初等函数，得到这样的结论，数学来源于生活，我们再来看生活中的例子:

t变化的函数，来研究运动员运动给出高台跳水运动员的高 h随时间

状态的变化情况.

生：可以画出这个二次函数的图像，得到高度的变化情况，从(0,a)时刻，高度上升，(a,b)时刻高度下降.

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师：也就是高度函数先单调递增，而后单调递减，运动状态除了高度，还有速度，我们进一步研究.

师：给出导函数即速度函数的图像，有什么结论？

生：导函数即速度图像在x轴的上方时高度函数单调递增，导函数图像在x轴下方时函数单调递减. 设计意图：

从基本初等函数入手，让学生动手操作，通过观察、归纳，提炼，激发学生的自主探究欲望.让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识，从而培养学生的探究意识和探究能力.引导学生从形的角度来验证，降低了学生的思维难度，又能体会导数研究单调性的一般性.生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用，把抽象的概念与物理背景结合，能迅速的突破难点，高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论.

（四）结论总结，揭示本质.

师：我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系. 一般地，函数yf(x)在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f(x)>0，

那么yf(x) 在这个区间(a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f(x)<0，

那么 yf(x)在这个区间(a,b)内单调递减.

导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系，这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析. 若恒有f(x)=0呢？思考一下 板书：结论内容 师：有结果了么？ 生：常函数. 设计意图：

由观察、猜想到归纳、总结，让学生体会知识的发现的过程，

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使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学.从猜想到验证的发现过程，使自主探究成为学生的一种学习习惯. （五）自主分析，验证.

师：这里我们分析了我们熟悉的函数，其他的函数呢？我们不妨来分析一下我们遇到困难的函数f(x).

师：运用我们探究出的结论，求出函数f(x)的单调区间，如何运用导数知识来解决呢？

生：先给出定义域，求出导函数，导函数大于0的部分为增区间，小于0的部分为减区间.

师：非常好！我们把完整的过程展示出来，发现利用导数这个工具，可以便捷的解决这个单调性问题. 借助于作图工具，我们来看.

师：做出函数的图像，在图像上任意选取一点，移动该点，我们可以观察到什么？

生：函数单调递减然后单调递增.

师：这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么？利用导数的几何意义，做出该点处的切线，显示其斜率即导数值，让点运动起来.

师：有什么发现？

生：导数值为正数时函数单调递增，函数值为负数时函数单调递减. 师：我们可以做出导数点，动态生成导函数图像，再次印证了我们的结论

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作出该点出的切线，观察斜率即导数值得变化.

作出导数点，观察导函数的形成过程.

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