中考数学专题：反比例函数与三角形(难题)(题目含详细答案)

《反比例函数—三角形》难度题

【典型例题1】

如图，已知点A是双曲线y=

4在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支xk

（k＜0）上运动，则k的值是 ﹣12 ． x

于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y

【类型训练1】

（2016眉山）如图，已知点A是双曲线y6 在第三象限分支上的一个动点，连结AO并x延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线y是 。 k上运动，则k的值x

解：∵双曲线y

6的图象关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA＝OB．连接xOC，如图所示．∵△ABC是等边三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB．∠BAC＝60°．∴tanOACOC3．∴，OC3OA，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点COA作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°

1

－∠FOC＝∠OCF．∴△OFC∽△AEO．相似比第一象限，设点A坐标为 （a，b），∵点

SOC3，∴面积比SOAOFCAEO3 ．∵点A在

6611上，∴S△AEO＝ab＝，∴S△OFC＝FCOF x22236k．∴设点C坐标为（x，y），∵点C在双曲线y上，∴k＝xy∵点C在第四象限，∴FC2x＝x，OF＝－y．∴FC•OF＝x•（－y）＝－xy＝－36 6．∴xy＝－36．．故答案为：－36． A在双曲线y

【类型训练2】

如图，已知点A是双曲线y4在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分xk

（k＜0）上运动，则k的值是 ﹣4 ． x

支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y

∵线段AB过原点O，且反比例函数图象关于原点对称，∴点O为线段AB的中点． ∵△ACB为等腰直角三角形，∴OC⊥AB，OC=OA．

∵∠AOE+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，∴∠AOE=∠COF．

【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．

在△AOE和△COF中，有∵点A在反比例函数y，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF．

4k的图象上，点C在反比例函数y的图象上， xx∴有×4=|k|，解得：k=±4．∴点C在第四象限，∴k=﹣4．

2

【典型例题2】

如图，等腰直角三角形OAB和BCD的底边OB、BD都在x轴上，直角顶点A、C都在反比例

k

函数y＝图象上，若D（－8，0），则k＝___8_______．

x

y

A C x D B O

【方法】利用特殊形的角度、长度与坐标的关系，巧设坐标，联立方程求值 A（－a , a），C（－4－a , 4－a） ka8

2【类型题训练2】

如图，等边三角形OAB和BCD的底边OB、BD都在x轴上，直角顶点A、C都在反比例函数

k

y＝x图象上，若D（－12，0），则k＝__________．

y

A C x

D B O

【典型例题3】

如图，Rt△AOB中，O为坐标原点，∠AOB＝90°，∠B＝30°，如果点A在反比例函数y（x＞0）的图象上运动，那么点B在函数y

1

x

3（填函数解析式）的图象上运动． x 3

y A y A O B x O

B x

【方法】A、B两点分别向y轴作垂线段，

利用相似直角三角形的比例关系，用A点坐标表示B点坐标 设A(x0,

13), B (x，y)，得：B(,3x0) x0x0【类型题练习3A】

如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：2，若点A(x0,y0)的坐标x0 、y0满足y01，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 x02y

x

【类型题练习3B】

已知点A，B分别在反比例函数ytanB为

28（x＞0），y（x＞0）的图象上且OA⊥OB，则xx1 2 4

【解】相似比

【典型例题4】

如图，已知双曲线yk(k0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交x于点C．若点A的坐标为（6，4），则△AOC的面积为 9

y y A A D D C B O x B O x C

【解】∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线y6k(k0)，可得k =﹣6，即双曲线解析式为y，

xx6，y=1， x∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y即点C坐标为（﹣6，1），

∴AC=3，又∵OB=6，∴S△AOC=×AC×OB = 9． 故答案为：9．

【类型题训练4A】

如图，已知双曲线yk(k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于x点C．若△OBC的面积为3，则k＝_____2_____

5

【方法】设D(a,)， 则B(2a,

ka2kk), C(2a,) a2a【类型题训练4B】

（2014•孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y

k

(x>0)经过斜边OAx

的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为 6 ．

【类型题训练4C】

如图，等腰直角三角形ABC顶点A，C在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=22，反比例函数y =3x（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为 (32,2) 2

6

【方法】设坐标；联立方程

【类型题训练4D】

（2014•浙江湖州）如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y

k

（k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若x

△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为

解：设OC=a，∵点D在y

k

上，∴CD=， x

，∴AC=

=

，∴点A（a，

），

∵△OCD∽△ACO，∴=

∵点B是OA的中点，∴点B的坐标为（，），∵点B在反比例函数图象上，

∴=，解得，a2=2k，∴点B的坐标为（，a），

设直线OA的解析式为y=mx，则m•=a，解得m=2，所以，直线OA的解析式为y=2x． 故答案为：y=2x

【类型题训练4E】

如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO=90o，反比例函数yAC的中点D，SAOC3，则k= 3

k经过另一条直角边x 7

【典型例题5】

如图，A、B是双曲线yk(k0) 上的点， A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB x 的延长线交x轴于点C，若S△AOC = 6．则k= 4

y A B O

C x

【方法】向坐标轴作垂线段，将坐标与长度、角度建立等量关系 C(3a , 0)

【类型题训练5A】

（2014•重庆）如图，反比例函数y6在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分x别为﹣1，﹣3，直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．24

【类型题训练5B】

8

如图，点A、B在反比例函数yk(k0,x0)的图像上，过点A、B作x轴的垂线，垂x足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OMMNNC,AOC的面积为6，则k的值为 4.

【类型题训练5C】

k

如图，点A、B在反比例函数y＝ 的图象上，且点A、B的横坐标分别为a、2a（a＜0），若

x

S△AOB＝3，则k的值为____－4____．

y A B O x

B E F O A y x

【方法】等面积法

设A(a , 2b), B(2a, b) 梯形AFEB面积为3 k4

【类型题训练5D】

如图，若双曲线y=k与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，x934则实数k的值为 ． 9

【典型例题6】

4

已知点A是双曲线y＝上一动点，且OA＝4，OA的垂直平分线交x轴于点B，过A作AC⊥x

x

轴于点C，则△ABC的周长为________26________，∠ABC＝____30_____ 【方法】 y M O B A C x

【方法】设而不求，求比例；勾股定理；AB =

1AC 2【类型题训练6A】

如图，点A在双曲线y

6

上，且OA＝4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线x

交OC于B，则△ABC的周长为_______27________ 10

y M O

B A C x

【变式训练1】

如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数y1（x＞0）的图象上，x△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是

(32,32) ；点Pn的坐标是 (nn1,nn1) （用含n的式

子表示）．

【变式训练2】

如图，点P是反比例函数y＝43 （x＞0）图象上的动点， x在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形是一个含有

30°的直角三角形，则符合条件的点Q的坐标是 (0,2), (0,8),(0,23),(0,83) ． 3 11

【变式训练3】

如图，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．线段DC上有一点E，当△ABE的面积等于5时，点E的坐标为 （5，0） ． 【解】

由题意得：

，解得：

，∴A（1，6），B（6，1），

设反比例函数解析式为y

k

，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=； x

设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°， 连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE

=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1

12

【变式训练4】

如图，以原点O为顶点的等腰直角三角形ABO中，∠BAO＝90°，反比例函数y过A、B两点，若点A的横坐标为2，则k＝ 252 ．

k x

【变式训练5】

（2015•眉山）如图，A、B是双曲线y

k

上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，x

垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为

【变式训练6】

如图，已知点A在反比例函数yk(x0)上，作RT⊿ABC，点D为斜边AC的中点，连xDB并延长交y轴于点E，若⊿BCE的面积为8，则k = 16 13

【解】由题意，SBCE1BCOE＝8 2

【变式训练7】

（2010•长春）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（1，2），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在双曲线y的值为 3

k

（x＞0）上，则kx

解答：

解：易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D的坐标为（3，2）， ∴点C的坐标为（3，1），∴k=3×1=3．

14

【变式训练8】

如图，△AOB和△ACD均为正三角形，顶点B、D在双曲线y4 ．

4（x＞0）上，则S△OBP= x

【解】过A作AF⊥OB，作P作PG⊥OB，

∵△OAB与△ADC都为等边三角形，∴∠BOA=∠DAC=60°，∴AD∥OB， ∴AF=PG（平行线间的距离处处相等），

∵OB为△OBA和△OBP的底，∴OBAF=OBPG，即S△OBP=S△OAB（同底等高的三角形 面积相等），过B作BE⊥x轴，交x轴于点E，可得S△OBE=S△ABE=S△OBA， ∵顶点B在双曲线y=（x＞0）上，即k=4，∴S△OBE=则S△OBP=S△OBA=2S△OBE=4，故答案为：4

==2，

【变式训练9】

如图，点A是反比例函数yk的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为xB．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是 ﹣6

【解】连结OA，如图，

∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△而S△

OAB=

OAB=S△CAB=3，

|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣6．

15

【变式训练10】

23如图在反比例函数y和y的图象上分别有A、B两点，若AB∥x轴且

xxOA⊥OB,则

6OA

．  3OB

yAO第15题Bx【变式训练11】

如图，A、B是函数y2的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴， x△ABC的面积记为S，则S= ( )．

(A)S＝2 (C)2＜S＜4

(B)S＝4 (D)S＞4

【变式训练12】

如图，等腰直角△POA的直角顶点P在反比例函数y轴上，则A点坐标为 ．

4(x0)的图象上，A点在x轴正半x 16

【变式训练13】

如图，已知点A，B在双曲线yk(x0)上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BDx交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，则k的值为 ．

【变式训练14】

如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=－x+6于A、B两点，若反比例函数y

k

（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） x

A．2≤k≤9 B. 2≤k≤8 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8

答案：A

17

【变式训练15】

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y36x与双曲线y相交于A，B两点，C是第一2x象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是24，则点C的坐标为 （6，1）．

【解答】设BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a，）

解方程组得或，

∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，﹣3）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（﹣2，﹣3）、C（a，）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x+﹣3，

当x=0时，y=x+﹣3=﹣3，∴D点坐标为（0，﹣3） 设直线AC的解析式为y=mx+n，

把A（2，3）、C（a，）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x++3，

当x=0时，y=﹣x++3=+3，∴P点坐标为（0， +3）∴PD=（+3）﹣（﹣3）=6，

18

∵S△PBC=S△PBD+S△CPD，∴×2×6+×a×6=24，解得a=6， ∴C点坐标为（6，1）．

【变式训练16】

如图，在平面直角坐标系中，双曲线y的交点，则点B的坐标为____________．

3（x>0）上的一点C过等边三角形OAB三条高 x

答案： (3，3)

【变式训练17】

如图，A、B是双曲线y

k

上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若x

△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为

【变式训练18】

19

（2012武汉）如图，点A在双曲线y＝

k的第一象限的那一支上，AB垂直于x轴与点B，点xC在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为___

16_____． 3

【方法】等面积法，设A（a , 2b）, 则C（2a ,0）

SACD4 S梯形ABCDSABDSCODSACD

【变式训练19】

（2014山东济南）如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形，ACOADB90,反比例函数yy k在第一象限的图象经过点B，若OA2AB212，则k的值为________. xA D B Ｏ C 第21题图 x

【变式训练20】

4(x0)的图象上，ABx轴于点B，ACyx轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交x轴

139时，图中阴影部分的面积等于_______ 于点P，Q。当QE：DP4：3（2013浙江省）如图，已知动点A在函数y 20

b2【解法】过D作DF垂直X轴于F， 设A（a , b），则E（a , a+b）, FP =

aa2 又ab = 4 b3

【变式训练21】

如图7所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1A1A2A2A3，分别过点A1、A2、A3作y8B2，B3分别过点B1，x0的图象分别交于点B1、B2、B3，

xC2，OB3，那么图中阴影部分的C3，连接OB1，OB2，作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1，轴的平行线，与反比例函数y面积之和为___________.

y

C1 C2

C3

B1

B2

B3

x

O

A1 A2 A3

图7

答案：

49 9 21

22