2021年中考数学二轮复习压轴专题：三角形

2021年中考数学二轮复习压轴专题《三角形》

1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图① （1）求证：∠ACN＝∠AMC

（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：

（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）

解：（1）∵∠BAC＝45°，

∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM， ∵∠NCM＝135°， ∴∠ACN＝135°﹣∠ACM， ∴∠ACN＝∠AMC；

（2）过点N作NE⊥AC于E，

∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN， ∴△NEC≌△CDM（AAS） ∴NE＝CD，CE＝DM；

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∵S1＝AC•NE，S2＝AB•CD，

∴＝；

（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立， 理由如下：过点N作NE⊥AC于E，

由（2）可得NE＝CD，CE＝DM， ∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM， ∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM ∴AE＝BD+BP＝DP，

∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP， ∴△NEA≌△CDP（SAS） ∴AN＝PC．

2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC． （Ⅰ）求C点的坐标；

（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；

（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．

解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：

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∵CM⊥OA，AC⊥AB，

∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠MAC＝∠OBA， 在△MAC和△OBA中，∴△MAC≌△OBA（AAS）， ∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4， ∴OM＝6，

∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）， 故答案为（﹣6，﹣2）；

（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点， 则四边形OEDQ是矩形， ∴DE＝OQ，

∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°， ∴∠QPD＝∠OAP， 在△AOP和△PDQ中，∴△AOP≌△PDQ（AAS）， ∴AO＝PQ＝2，

∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；

（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点， 则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT， ∴四边形OSFT是正方形，

∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG， ∴∠HFS＝∠GFT， 在△FSH和△FTG中，∴△FSH≌△FTG（AAS）， ∴GT＝HS，

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，

，

，

又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4）， ∴OT═OS＝4，

∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4， ∴﹣4﹣m＝n+4， ∴m+n＝﹣8．

3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P （1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为 AE＝BD ． ②∠APC的度数为 60° ．

（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明

（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为 AE＝BD，AE⊥BD ．

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解：（1）观察猜想：①如图1，

设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD， ∵△ADC，△ECB都是等边三角形， ∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB， ∴∠ACE＝∠DCB， ∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE＝S△BCD， ∵∠AOC＝∠DOP， ∴∠DPO＝∠ACO＝60°， ∴∠APB＝120°， ∵S△ACE＝S△BCD，

∴×AE×CH＝×BD×CG， ∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD， ∴CP平分∠APB， ∴∠APC＝60°， 故答案为AE＝BD，60°．

（2）数学思考：：①成立，②不成立，

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理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD， ∵△ADC，△ECB都是等边三角形， ∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB， ∴∠ACE＝∠DCB ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC， ∵∠AOP＝∠DOC， ∴∠APO＝∠DCO＝60°， ∴∠DPE＝120°， ∵S△ACE＝S△BCD，

∴×AE×CH＝×BD×CG， ∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD， ∴CP平分∠DPE， ∴∠DPC＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴①成立，②不成立；

拓展应用：

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设AC交BD于点O．

∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE， ∴∠ACE＝∠DCB ∴△AEC≌△DBC（SAS）， ∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE， ∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE， ∴∠DCO＝∠APO＝90°， ∴AE⊥BD，

故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．

4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．

（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．

解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：

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如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°， ∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D是BC边的中点， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；

（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下： 如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，

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∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠NCD＝120°， ∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°， ∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D是BC边的中点， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN， ∴BM﹣CN＝BD．

5．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠

PBC，且DB＝DA．

（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数； （3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．

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解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC， ∴∠PBD＝∠CBD＝30°， ∵DB＝DA，

∴∠PBD＝∠BPD＝30°；

（2）如图2，连接CD，

∵点D在∠PBC的平分线上， ∴∠PBD＝∠CBD， ∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵BP＝BA， ∴BP＝BC， ∵BD＝BD，

∴△PBD≌△CBD（SAS）， ∴∠BPD＝∠BCD，

∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD， ∴△BCD≌△ACD（SSS），

∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°， ∴∠BPD＝30°； （3）

如图3，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，

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∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠ACD＝∠BCD＝30°，

∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC， ∴△PBD≌△CBD（SAS） ∴∠BPD＝∠BCD＝30°， 如图4，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC， ∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠ACD＝∠BCD＝30°，

∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC， ∴△PBD≌△CBD（SAS） ∴∠BPD＝∠BCD＝30°， 如图5，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC， ∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠ACD＝∠BCD＝

＝150°，

∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC， ∴△PBD≌△CBD（SAS） ∴∠BPD＝∠BCD＝150°，

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6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．

（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；

（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，

S△ABC之间的数量关系；

（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，

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且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系． 解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四边形DECF是矩形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE∥BC，

∵D为AB边的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC，AC＝2CE， 同理：DF＝AC， ∵AC＝BC， ∴DE＝DF，

∴四边形DECF是正方形， ∴CE＝DF＝CF＝DE，

∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DE•DF＝DF2， ∴DF＝2， ∴CE＝2， ∴AC＝2CE＝4；

（2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下： 连接CD；如图2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD， ∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD， ∵∠EDF＝90°， ∴∠CDE＝∠BDF，

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在△CDE和△BDF中，∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF．

，

∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝S△ABC； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下： 连接CD，如图3所示：

同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S五边形DBFEC， ＝S△CFE+S△DBC， ＝S△CFE+S△ABC， ∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．

7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容 2．线段垂直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我

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们发现PA与PB完全重合，由此即有：

线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等． 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点． 求证：PA＝PB．

分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝

PB．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：

（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．

（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°， AC＝15，则DE的长为 5 ． 解：定理证明： ∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°． 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB．

定理应用：（1）如图2，连结OA、OB、OC．

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∵直线m是边BC的垂直平分线， ∴OB＝OC，

∵直线n是边AC的垂直平分线， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH；

（2）如图③中，连接BD，BE．

∵BA＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°，

∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E， ∴DA＝DB，EB＝EC，

∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，

∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC， ∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE， ∴DE＝5， 故答案为：5．

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8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜边CD交

AB于点E．

（1）如图1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求线段BC的长； （2）如图2，作CF⊥AC，且CF＝AC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD＝2BF．

解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC， ∴∠BEH＝30°， ∴BE＝2BH＝4，EH＝∴BH＝2，EH＝2

，

BH，

∵∠CBD＝90°，BD＝BC， ∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC， ∴∠BCD＝∠BEC＝45°， ∴EH＝CH＝2

，

；

∴BC＝BH+HC＝2+2

（2）如图，过点A作AM⊥BC，

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∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝MC＝BC＝DB， ∵∠DCB＝45°，AM⊥BC， ∴∠DCB＝∠MNC＝45°， ∴MN＝MC＝BD， ∵AM∥DB， ∴△CNM∽△CBD ∴

，

∴CD＝2CN，AN＝BD， ∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，

∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°， ∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN， ∴△ACN≌△CFB（SAS） ∴BF＝CN， ∴CD＝2BF

9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠

EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，

研究DP和DB的数量关系．

【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；

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【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．

【探究发现】

证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC ∴∠CAB＝∠CBA＝45° ∵CD∥AB

∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD ∴∠DCB＝∠DBC＝45° ∴DB＝DC 即DP＝DB； 【数学思考】

证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45° ∴∠DCG＝∠DGC＝45°

∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°， ∵∠BDP＝∠CDG＝90° ∴∠CDP＝∠BDG ，在△CDP和△GDB中，∴△CDP≌△GDB（ASA） ∴DP＝DB．

10．已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E． （1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为 AB＝2PE

（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若

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，

不成立，说明理由！ （3）设AB＝5

，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．

解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0， ∴m﹣n＝0，m﹣5＝0， ∴m＝n＝5，

∴A（5，0）、B（0，5）， ∴AC＝BC＝5，

∴△AOB为等腰直角三角形， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB， ∵PO＝PD， ∴∠POD＝∠PDO， ∵D是x轴正半轴上一点， ∴点P在BC上，

∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE， ∴∠POC＝∠DPE， 在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE（AAS）， ∴OC＝PE， ∵C为AB的中点， ∴AB＝2OC， ∴AB＝2PE．

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故答案为：AB＝2PE． （2）成立，理由如下： ∵点C为AB中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB， ∵PO＝PD， ∴∠POD＝∠PDO，

∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE， ∴∠POC＝∠DPE， 在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE（AAS）， ∴OC＝PE，

又∠AOC＝∠BAO＝45° ∴OC＝AC＝AB ∴AB＝2PE； （3）∵AB＝5∴OA＝OB＝5， ∵OP＝PD， ∴∠POD＝∠PDO＝

＝67.5°，

，

∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°， ∴∠APD＝∠BOP， 在△POB和△DPA中，

，

∴△POB≌△DPA（SAS）， ∴PA＝OB＝5，DA＝PB， ∴DA＝PB＝5

﹣5，

﹣5）＝10﹣5

，

∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5

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∴点D的坐标为（10﹣5，0）．

11．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0． （1）求A、B两点的坐标；

（2）若点D为AB中点，求OE的长；

（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．

解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0， ∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0， ∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0， ∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0， ∴m＝2，n＝4，

∴点A为（2，0），点B为（0，4）；

（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG， 设OE＝x， ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOC＝45°， ∵DE∥OC，

∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°， ∴OE＝OF＝x， 在△ADF和△BDG中，

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，

∴△ADF≌△BDG（SAS），

∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°， ∴∠G＝∠BEG＝45°， ∴BG＝BE＝4﹣x，

∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1， ∴OE＝1；

（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m）， ∵点P的坐标为（x，﹣2x+4）， ∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4， ∵∠PEF＝90°， ∴∠PEN+∠FEM＝90°， ∵FM⊥y轴，

∴∠MFE+∠FEM＝90°， ∴∠PEN＝∠MFE， 在△EFM和△PEN中，

，

∴△EFM≌△PEN（AAS）， ∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4， ∴点F为（m+2x﹣4，m+x）， ∵F点的横坐标与纵坐标相等， ∴m+2x﹣4＝m+x， 解得：x＝4， ∴点P为（4，﹣4）．

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12．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．

（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD ＝ BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝ 30 度；

（2）设直线BE与直线AM的交点为O．

①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由； ②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．

解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形

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∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60° ∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ADC和△BEC中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE；

∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°．

∵线段AM为BC边上的中线 ∴∠CAM＝∠BAC， ∴∠CAM＝30°． 故答案为：＝，30； （2）①AD＝BE，

理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形 ∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE．

②∠AOB是定值，∠AOB＝60°， 理由如下：

当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，

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又∠ABC＝60°，

∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，

∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线 ∴AM平分∠BAC，即

∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

当点D在线段AM的延长线上时，如图2，

，

∵△ABC与△DEC都是等边三角形 ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60° ∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE ∴∠ACD＝∠BCE 在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

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∴∠CBE＝∠CAD＝30°， 同理可得：∠BAM＝30°， ∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

13．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．小明同学对以上结论作了进一步探究．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，则：∠ABC＝30°．

探究结论：（1）如图1，CE是AB边上的中线，易得结论：△ACE为 等边 三角形． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB边上的中线，点D是边

CB上任意一点，连接AD，在AB边上方作等边△ADE，连接BE．试探究线段BE与DE之间

的数量关系，写出你的猜想加以证明．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣

，1），点B是x轴正半

轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当点C在第一象内，且B（2，0）时，求点C的坐标．

解：探究结论（1）∵CE是AB边上的中线，

∴CE＝AE＝AB， ∵AC＝AB， ∴AC＝CE＝AE， ∴△ACE是等边三角形． 故答案为：等边；

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（2）如图2中，结论：ED＝EB．

理由：取AB的中点P，连接CP、PE． ∵△ACP，△ADE都是等边三角形，

∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°， ∴∠CAD＝∠PAE， ∴△CAD≌△PAE（SAS）， ∴∠ACD＝∠APE＝90°， ∴EP⊥AB， ∵PA＝PB， ∴EA＝EB， ∵DE＝AE， ∴ED＝EB．

拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．

∵A（﹣，1），

∴∠AOH＝30°， 由（2） 可知，CO＝CB， ∵CF⊥OB， ∴OF＝FB＝1，

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∴可以假设C（1，n）， ∵OC＝BC＝AB， ∴1+n2＝1+（∴n＝2+

， ）． +2）2，

∴C（1，2+

14．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．

（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC； （2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；

（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为 60°﹣α （结果用含α的式子表示）．

（1）证明：过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥AD于点N，

∴∠ANB＝∠CMB＝90°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，

∵∠DAB+∠DCB＝180°， ∠DCB+∠BCM＝180°，

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∴∠OAB＝∠BCM， ∴△ABN≌△CBM（AAS）， ∴BM＝BN， ∴BD平分∠ADC；

（2）证明：在BD上取点E，使DE＝CD，

∵∠BDC＝60° ∴△CDE为等边三角形， ∴∠DCE＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，

∴△ADC≌△BEC（SAS）， ∴AD＝BE， ∴BD﹣CD＝AD；

（3）解：∵△ABC，△BEF为等边三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE ∴△ABF≌CBE（SAS）， ∴∠DFB＝∠CEB，

∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°

∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60° ∴∠ADC＝120°， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 由（1）得BD平分∠ADC ∴∠BDE＝60°， ∴∠FDB＝120°， ∴∠FDB+∠FEB＝180°，

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∴F，E，B，D四点共圆， ∴∠CEF＝∠DBF ∵∠DBF＝60°﹣α． ∴∠CEF＝60°﹣α． 故答案为：60°﹣α．

15．已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，m），过B点作直线a与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．

（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且m＞2时，求点C的坐标；（用m的代数式表示）

（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围： （3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E、F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接

CE、EF，当m＝3时，试求CE+EF的最小

值．

解：（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，

∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°， ∴∠BHA＝∠AOC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAH+∠CAO＝90°，

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∴∠ABH＝∠CAO，

∵点A（0，2），B（﹣2，m）， ∴AO＝BH＝2，OH＝m，

∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°， ∴△BHA≌△AOC（ASA） ∴CO＝AH＝OH﹣AO＝m﹣2， ∵m＞2，点C在x轴负半轴， ∴点C（2﹣m，0）；

（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°， ∴∠CAK＝∠ABK，

∵点A（0，2），B（﹣2，m）， ∴AO＝BK＝2，OH＝m，

∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°， ∴△ABK≌△CAO（AAS） ∴CO＝AK＝2﹣m， ∵C点的坐标（x，0）， ∴CO＝x＝2﹣m，

∵点B是第三象限内的一个点， ∴m＜0， ∴2﹣m＞2，

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∴x＞2；

（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN， ∴△BEF≌△BEN（SAS） ∴EF＝EN， ∴CE+EF＝CE+EN，

∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值， 此时最小值为AC，

由（1）可知：点C（2﹣m，0）； 且m＝3， ∴点C（﹣1，0）， ∴CO＝1， ∴AC＝

＝

＝．

，

∴CE+EF的最小值为

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