专题 7.05 用向量法证明平行与垂直(原卷版)

【考纲要求】

1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义．

2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系． 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 【命题趋势】

空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题. 【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数算的核心素养. 【素养清单•基础知识】

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量

a＝0，n·

的方程组为b＝0. n·

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v2 .

(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 .

(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔ v⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β ⇔ u1∥u2 . 3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， v2＝0 . 则l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔ v1·

(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u， 则l⊥α⇔ v∥u .

(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β ⇔ u1⊥u2 ⇔ u1·u2＝0 .

【真题体验】

1. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】AA1=4，AB=2，如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，∠BAD=60°，

E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A−MA1−N的正弦值．

2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．

3.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.

4.PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且（1）求证：CD⊥平面PAD； （2）求二面角F–AE–P的余弦值； （3）设点G在PB上，且

PF1． PC3PG2．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． PB3

5.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC,ABC90，

BAC30,A1AACAC,E,F分别是AC，A1B1的中点. 1（1）证明：EFBC；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

【考法拓展•题型解码】

考法一 利用空间向量证明平行问题

解题技巧

(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

【例1】 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.

考法二 利用空间向量证明垂直问题

解题技巧

证明垂直问题的方法

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中【例2】

点．求证：AB1⊥平面A1BD.

【例3】 (2019·四川绵阳中学模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，E，F分别为棱AD，PB的中点，且PD＝AD.求证：平面CEF⊥平面PBC.

考法三 利用空间向量解决探索性问题

归纳总结

对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是先根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．

如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°【例4】，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证：BD⊥AA1；

(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1.若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

【规范解答】

关键点 坐标系建立要恰当、点的坐标要写准确

【典例】 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)． (1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；

(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【规范解答】：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)， →

P(0,0，λ)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，BC1＝(－2,0,2)， →→→

FP＝(－1,0，λ)，FE＝(1,1,0)，MN＝(－1，－1,0)， →

NP＝(－1,0，λ－2)．

→→

(1)证明：当λ＝1时，FP＝(－1,0,1)，因为BC1＝(－2,0,2)， →→

所以BC1＝2FP，即BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ， 故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)设平面EFPQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

→n＝0，FE·x＋y＝0，可得于是可取n＝(λ，－λ，1)． →－x＋λz＝0.n＝0，FP·

同理可得平面PQMN的一个法向量为m＝(λ－2,2－λ，1)．

(λ，－λ，1)＝0， n＝(λ－2,2－λ，1)·若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成二面角为直二面角，则m·2即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2. 2

故存在λ＝1±2，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．

答题模板

1．建立适当的空间直角坐标系，让一些点、线段尽量与坐标轴重合． 2．写准点的坐标是关键，要利用中点、向量共线、相等来确定点的坐标．

3．利用a＝λb证明直线平行需强调两直线不重合，证明直线与平面平行仍需强调直线在平面外． 【跟踪训练】 (2019·河北衡水中学检测)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点． (1)求证：AC⊥SD.

(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析；

【解析】：连接BD，设AC交BD于点O，则AC⊥BD.由题意知SO⊥平面ABCD.

→→→

以O为坐标原点，OB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．

6

设底面边长为a，则高|SO|＝2a. 62

于是S0，0，2a，D－2a，0，0， 22

B2a，0，0，C0，2a，0.

226→→

(1)证明：OC＝0，2a，0，SD＝－2a，0，－2a， →→

SD＝0.故OC⊥SD，从而AC⊥SD. 则OC·

(2)棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下：

6→26→→→2

由已知条件知DS是平面PAC的一个法向量，且DS＝2a，0，2a，CS＝0，－2a，2a，BC＝22aa0－，，22. →→设CE＝tCS，

→→→→→

则BE＝BC＋CE＝BC＋tCS＝错误!， →→BEDS＝0， 而·

错误!＝0， 所以错误!·

1→→tSEEC21BE解得＝3，即当∶＝∶时，⊥DS. 又BE⊄平面PAC，故BE∥平面PAC.

【递进题组】

1．如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.

2．如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点，求证： (1)DE∥平面ABC； (2)B1F⊥平面AEF.

3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角． (1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD.

4．(2019·济南调研)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5. (1)求证：AA1⊥平面ABC；

(2)在线段BCD，使得AD⊥ABD

1上是否存在点1B？若存在，试求出BC1的值．

【考卷送检】 一、选择题

1．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论可能正确的是(

)

A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1) B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1) C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1) D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)

→→

2．(2019·邢台期末)已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为( ) 122122A．(3，－3，3) B．(－3，3，－3) 122212C．±(3，－3，3) D．(3，3，－3)

3．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x＝( ) A．－2 C.2

B．－2 D．±2

4．(2019·合肥八中月考)已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P在平面α内的是( )

A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)

5．(2019·南阳期末)若两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( )

A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定

6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a

3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )

A．斜交 B．平行 C．垂直 D．不确定 二、填空题

1

7．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝1，2，2，且l⊥α，则m＝________.

→→→→→

8．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．

9．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． 三、解答题

10．如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF.

11．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点． (1)求证：AG∥平面BEF；

(2)试在棱长BB1上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．

12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1. (1)求证：E，B，F，D1四点共面；

2

(2)若点G在BC上，BG＝3，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1.

13．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB. (1)求证：AB⊥DE；

(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

EF

(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出EA；若不存在，请说明理由．