1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
例1．(P19例4改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(
A．30C．10【答案】D
)
B．20D．6
[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数
都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3.利用分步乘法计数原理解题时3个注意点
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
例2．(2018·山东济南期末)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(
A．30个C．36个【答案】C
)
B．42个D．35个
[∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法
计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]
练习．(全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(
)
A．24C．12【答案】B
B．18D．9
[从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以
从E点到G点的最短路径为6×3＝18种．]
练习．有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法有____________种．
【答案】120
[每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有
6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．]
[变式探究1]本题2中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？
解
每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法
计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729种．
[变式探究2]本题2中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？
解
每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘
法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种．
4．两个计数原理的比较
名称相同点分类加法计数原理分步乘法计数原理都是解决完成一件事的不同方法的种数问题运用加法运算运用乘法运算分类完成一件事，并且每类办法中的分步完成一件事，并且只有各不同点
每种方法都能独立完成这件事情，要个步骤都完成才算完成这件注意“类”与“类”之间的独立性事情，要注意“步”与“步”和并列性．分类计数原理可利用“并之间的连续性．分步计数原理
联”电路来理解可利用“串联”电路来理解例3．(2019·四川成都月考)如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路；从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有____________条不同的路线．
【答案】32练习.
[不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)．]
(2019·山东滨州模拟)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集
合中各选一个数作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内不同点的个数为(
)
B．10个D．14个
A．18个C．16个
【答案】B[第三、四象限内点的纵坐标为负值，横坐标无限制，分两种情况讨论：第一种：取M中的点作横作标，取N中的点作纵坐标，共有3×2＝6种；第二种：取N中的点作横坐标，取M中的点作纵坐标，共有4×1＝4种．综上所述，共有4＋6＝10种．]5．排列与排列数
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn．
6.求解排列问题的六种主要方法
直接法优先法捆绑法把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法定序问题除法处理间接法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
正难则反、等价转化的方法例4．(2019·山东东营月考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了____________条毕业留言．(用数字作答)
【答案】1560＝1560(条)．]
7．组合与组合数
(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出
[由于40个人中每两人之间都要写留言，故为排列问题，则A240＝40×39
m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn．8．解决组合应用题的2个步骤
第一步，整体分类：要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理．第二步，局部分步，用到分步乘法计数原理．9．含有附加条件的组合问题的2种方法
通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解．
例5、（2019年沙坪坝区月考）要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有____________种不同选法．
【答案】36[只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C29＝36种选法．][变式探究1]
本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能
入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解法．
[变式探究2]
本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一
4
由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C59＝C9＝126种选
人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解
可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4
14
人，有C49种选法，所以共有C3×C9＝378种选法．
[变式探究3]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一
人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解
可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情
55况C59种，共有C12－C9＝666种选法．
[变式探究4]本例中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至多两
人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
解
可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都入选的情况
52有C29种，所以共有C12－C9＝756种选法．
10．排列数、组合数的公式及性质
组合数公式排列数公式
公式
Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
AmnmCn＝mAmn！n－m！
nn－1…n－m＋1＝
m！＝
n！
m！n－m！
性质
(1)Ann＝n！；(2)0！＝1(1)C0n＝1；n－m(2)Cm；n＝Cnm－1(3)Cm＝Cmn＋Cnn＋1
备注n，m∈N*且m≤n11．掌握排列组合的三个原则和两个优先
三个原则：(1)有序排列，无序组合；(2)先选后排；(3)复杂问题分类化简或正难则反．两个优先：(1)特殊元素优先；(2)特殊位置优先．12．正确理解组合数的性质
n－m(1)Cm：从n个不同元素中取出m个元素的方数法等于取出剩余n－m个元素的n＝Cn方法数．
m－1(2)Cm＝Cmn＋Cnn＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分为以下两种情况：①不m－1
含特殊元素A有Cm种方法．n种方法；②含特殊元素A有Cn例6．(2019·甘肃兰州模拟)某班3名同学去参加5项活动，每人只参加1项，同一项活动最多2人参加，则3人参加活动的方案共有______________种(用数字作答).
【答案】120
22
[A35＋C3A5＝120(种)．]
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．
（1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)，避免重复计数．
例7、（2019年福建月考）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有____________种不同的分派方法．
【答案】90
3
3
22
C26C4C2
[先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到33
A3
22
C26C4C23
所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A3＝90种分派方3
A3
法．]
（2）局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
例8、（2019年沈阳月考）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本
的不同分法共有____________种．(用数字作答)
【答案】1560
[把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2种．
111
C36C3C2C1
①有1组3本，其余3组每组1本，不同的分法共有＝20(种)；3
A3
21
C2C16C42C1
②有2组每组2本，其余2组每组1本，不同的分法共有2·2＝45(种)．A2A2
所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．
然后把分好的4组书分给4个人，所以不同的分法共有65×A44＝1560(种)．]
(3)不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
例9、（2019年海南月考）若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有____________种不同的分法．
【答案】360
[将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种分法．
23
根据分步乘法计数原理，共有C16C5C3＝60种分法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．]练习.
(2019·江南名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，
)
浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有(
A．240种C．150种【答案】C
B．180种D．540种
[5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式．当5名学生分成2,2,1时，共有
12233C5C3A3＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有C35A3＝60种方法．由分类加法计数原2
理知共有90＋60＝150种保送方法．]
13．二项式定理
n1n－1n－kkn*二项式定理(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N)二项式系数二项展开式中各项系数Ckn(k＝0,1，…，n)n－kk二项式通项Tk＋1＝Ckb，它表示第k＋1项na14.求二项展开式中的项的3种方法n－kk求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk＋1＝Ckb的特点，一般需要建立方na程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0,1,2，…，n)．
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项．
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程．(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．例10、(全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(A．－80C．40
B．－40D．80
)
【答案】C[(2x－y)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5·(2x)5－r(－y)r，其中x2y3的系数为－4C35
533
＝－40，x3y2的系数为8C25＝80，故(x＋y)·(2x－y)的展开式中xy的系数为80－40＝40]
1
x－－14x练习.(2019·安徽合肥模拟)在的展开式中，常数项为____________．【答案】－5C24[由题知，二项式展开式为C04x－1x4·(－1)0＋C14x－1x3·(－1)＋
x－1x2·(－1)2＋C34x－1x·(－1)3＋C44x－1221
x0·(－1)4，则常数项为C04·C4－C4·C2＋
C44＝6－12＋1＝－5.]
练习.(2018·全国卷Ⅲ)A．10C．40【答案】C
－3rx＋2
2x5的展开式中x4的系数为(
B．20D．80
)
[由二项式定理，得
x2＋22x5的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(x2)5－r·xr＝2rCr5·x10
，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为22C25＝40.]
15．二项式系数的性质
16.赋值法的应用
(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n展开式中各项的系数的和为g(1)，
1
(a＋bx)n展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，
21
(a＋bx)n展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
2
例11、(2019·四川南充模拟)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3
＋a4＝____________．
【答案】0＋a3＋a4＝0.]
[变式探究]＋…＋
解
[令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2
a1a2
将本例(2)变为“若(1－2x)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020，则＋2
22
a2020
的结果是多少？2020
2
当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1．
当x＝12时，左边＝0，右边＝a0＋a1a2a2020
2＋22＋…＋22020，∴0＝1＋a12＋a2a2020
22＋…＋2
2020．即
a12＋a2a2020
22＋…＋2
2020＝－1．练习．(2019·陕西西安月考)已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(A．180B．－180C．45
D．－45
【答案】A[由题意得a8＝C81022(－1)8＝180.]
)
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