台安县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

台安县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在复平面内，复数Z=A．第四象限 A．y=x﹣1

+i2015对应的点位于（ ）

C．第二象限

B．第三象限

B．y=（）x C．y=x+

D．第一象限

2． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）

D．y=ln（x+1）

3． 如图所示的程序框图，若输入的x值为0，则输出的y值为（ ）

A． B．0 C．1 D．或0

，A=60°，则满足条件的三角形

4． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．以上都不对

5． 已知命题p；对任意x∈R，2x2﹣2x+1≤0；命题q：存在x∈R，sinx+cosx=A．①④

B．②③

C．③④

D．②④

，则下列判断：①p且q

是真命题；②p或q是真命题；③q是假命题；④¬p是真命题，其中正确的是（ ） 6． 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x2﹣4=0}，则A∩B=（ ）

A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．∅

7． 运行如图所示的程序框图，输出的所有实数对（x，y）所对应的点都在某函数图象上，则该函数的解析式为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．y=x+2

B．y= C．y=3x D．y=3x3

AB=1，AC=2，∠BAC=60°，，

8． 若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2则球O的表面积为（ ） A．π B．16π C．12π D．4π

9． 已知向量=（1，2），=（m，1），如果向量与平行，则m的值为（ ） A．

B．

C．2

D．﹣2

10．已知数列an为等差数列，Sn为前项和，公差为d，若A．

S2017S17100，则d的值为（ ） 20171711 B． C．10 D．20 20102211．在ABC中，tanAsinBtanBsinA，那么ABC一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 12．观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ） A．28

B．76

C．123 D．199

二、填空题

13．设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是 ．

14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），为 ．

在

+

=．若数列{

}的前n项和大于62，则n的最小值

15．已知关于 的不等式上恒成立，则实数的取值范围是__________

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16．已知z，ω为复数，i为虚数单位，（1+3i）z为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．

17．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是2，另一组数据ax1，ax2，ax3，ax4，ax5（a0） 的标准差是22，则a ．

18．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ．

三、解答题

19．计算下列各式的值： （1）

22（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）．

20．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x （1）当x＜0时，求f（x）的解析式．

21．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式

（Ⅱ）记bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Sn．

（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．

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22．已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为

相切．

，以原点为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴，椭圆C顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧）且∠RF1F2=∠PF1Q，求证：直线l过定点，并求出斜率k的取值范围．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD=2，PD=2PD，Q为PD的中点． （Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）若平面PAD⊥底面ABCD，求直线PD与平面AQC所成角的正弦值．

，PA⊥

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24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 选修41：几何证明选讲 如图，A,B,C为

上的三个点，AD是BAC的平分线，交于

点D，过B作的切线交AD的延长线于点E． （Ⅰ）证明：BD平分EBC； （Ⅱ）证明：AEDCABBE．

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台安县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：复数Z=复数对应点的坐标（故选：A．

+i2015=

），在第四象限．

﹣i=

﹣i=﹣

．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．

2． 【答案】 D

1

【解析】解：①y=x﹣在区间（0，+∞）上为减函数，

②y=（

x

）是减函数，

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③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，

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④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，

∴A，B，C不正确，D正确， 故选：D

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【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．

3． 【答案】B

【解析】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下； 输入x=0， x＞1？，否； x＜1？，是； y=x=0，

输出y=0，结束． 故选：B．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．

4． 【答案】B 【解析】解：∵a=3，∴由正弦定理可得：sinB=∴B=90°，

即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B．

【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．

5． 【答案】D

2

【解析】解：∵命题p；对任意x∈R，2x﹣2x+1≤0是假命题， 命题q：存在x∈R，sinx+cosx=

是真命题，

∴①不正确，②正确，③不正确，④正确．

故选D．

6． 【答案】A

【解析】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；

2

由B中的方程x﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，

，A=60°，

=

=1，

则A∩B={﹣2}．

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故选A

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

7． 【答案】 C

【解析】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序运行后输出的是实数对

（1，3），（2，9），（3，27），（4，81）；

x

这组数对对应的点在函数y=3的图象上．

故选：C．

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．

8． 【答案】A

【解析】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上， ∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°， ∴BC=

，

∴∠ABC=90°．

∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1， ∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半径R=4，

2

∴球O的表面积S=4πR=π．

故选：A．

【点评】本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题的关键．

9． 【答案】B 【解析】解：向量可得2m=﹣1． 解得m=﹣． 故选：B．

，向量与平行，

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10．【答案】B 【解析】

试题分析：若an为等差数列，

Snnna1nn1ddS2a1n1，则n为等差数列公差为,

n22nS2017S17d1100,2000100,d,故选B. 201717210考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 11．【答案】D 【解析】

试题分析：在ABC中，tanAsinBtanBsinA，化简得

22sinAsinBsin2Bsin2A，解得 cosAcosBsinBsinAni2Asni2sinAcosAsinBcosB，即scosAcosBABB，所以2A2B或2A2B，即AB或

2，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D．

考点：三角形形状的判定．

【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin2Asin2B，从而得到AB或AB题的一个难点，属于中档试题．

12．【答案】C

【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．

1010

继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a+b=123，．

2是试

故选C．

二、填空题

13．【答案】 [0，2] ．

【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|， 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1， 求得0≤m≤2， 故答案为：[0，2]．

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【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．

14．【答案】 1 ．

【解析】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数， ∴如图，当x∈[0，1）时，画出函数f（x）=x﹣[x]的图象，

再左右扩展知f（x）为周期函数． 故答案为：1．

结合图象得到函数f（x）=x﹣[x]的最小正周期是1．

【点评】本题考查函数的最小正周期的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

15．【答案】 【解析】

因为在上恒成立，所以

答案：

16．【答案】 ±（7﹣i） ．

，解得

．

【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴ 又ω=

=．

=

，|ω|=

，∴

2

把a=3b代入化为b=25，解得b=±5，∴a=±15．

∴ω=±

故答案为±（7﹣i）．

=±（7﹣i）．

【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．

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17．【答案】2 【解析】

试题分析：第一组数据平均数为x,(x1x)2(x2x)2(x3x)2(x4x)2(x5x)22，

(ax1ax)2(ax2ax)2(ax3ax)2(ax4ax)2(ax5ax)28,a24,a2．

考点：方差；标准差．

18．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），

22

即有y1=6x1，y2=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2）， 即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）==

=5…

…

22

（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）

=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2… =

20．【答案】

．…

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【解析】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0， ∵x＞0时，f（x）=x﹣2x．

2

22

∴f（﹣x）=（﹣x）﹣2（﹣x）=x+2x

∵y=f（x）是R上的偶函数

∴f（x）=f（﹣x）=x+2x

（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；

2

单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．

【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 由an＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0， 化简得q﹣q﹣2=0，

2

解得q=2或q=﹣1（舍），

2

∵a3=a1•q=4a1=8，∴a1=2，

∴数列{an}是以首项和公比均为2的等比数列，

n

∴an=2；

（Ⅱ）由（I）知bn=log2an=

n

∴anbn=n•2，

=n，

123n1n

∴Sn=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2﹣+n×2，

2Sn=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，

123n1nn+1

两式相减，得﹣Sn=2+2+2+…+2﹣+2﹣n×2，

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∴﹣Sn=

n+1

﹣n×2，

n+1

∴Sn=2+（n﹣1）2．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

22．【答案】

【解析】（Ⅰ）解：椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 椭圆的离心率为

，即有=

，即a=

c，b=

=c，

222

以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x+y=b，

直线y=x+即有a=

与圆相切，则有，

+y2=1；

=1=b，

则椭圆C的方程为

（Ⅱ）证明：设Q（x1，y1），R（x2，y2），F1（﹣1，0）， 由∠RF1F2=∠PF1Q，可得直线QF1和RF1关于x轴对称， 即有

+

=0，即

+

=0，

即有x1y2+y2+x2y1+y1=0，①

设直线PQ：y=kx+t，代入椭圆方程，可得

222

（1+2k）x+4ktx+2t﹣2=0，

2222

判别式△=16kt﹣4（1+2k）（2t﹣2）＞0， 22

即为t﹣2k＜1②

x1+x2=，x1x2=，③

y1=kx1+t，y2=kx2+t，

代入①可得，（k+t）（x1+x2）+2t+2kx1x2=0， 将③代入，化简可得t=2k，

则直线l的方程为y=kx+2k，即y=k（x+2）． 即有直线l恒过定点（﹣2，0）．

2

将t=2k代入②，可得2k＜1，

解得﹣＜k＜0或0＜k＜．

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则直线l的斜率k的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的运用，注意运用直线和圆相切的条件，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题和易错题．

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接QN，BN． ∵Q，N是PD，PA的中点， ∴QN∥AD，且QN=AD． ∵PA=2，PD=2∴AD=4，

∴BC=AD．又BC∥AD， ∴QN∥BC，且QN=BC， ∴四边形BCQN为平行四边形，

∴BN∥CQ．又BN⊂平面PAB，且CQ⊄平面PAB， ∴CQ∥平面PAB．

（Ⅱ）解：取AD的中点M，连接BM；取BM的中点O，连接BO、PO． 由（Ⅰ）知PA=AM=PM=2， ∴△APM为等边三角形， ∴PO⊥AM．同理：BO⊥AM．

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD．

以O为坐标原点，分别以OB，OD，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，3，0），A（0，﹣1，0），P（0，0，∴

=（

，3，0），

=（0，3，﹣

），

），C（=（0，，

，2，0），Q（0，，）．

）．

，PA⊥PD，

设平面AQC的法向量为=（x，y，z）， ∴∴cos＜

，令y=﹣，＞=

得=（3，﹣=﹣

．

． ，5）．

∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为

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24．【答案】

【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE是⊙O的切线，所以EBDBAD…………2分 又因为CBDCAD,BADCAD………………4分 所以EBDCBD,即BD平分EBC．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知EBDBAD，且BEDBED，

BEBD,……………………7分 AEAB又因为BCDBAEDBEDBC,

BDE∽ABE,所以

所以BCDDBC，BDCD．……………………8分

BEBDCD，……………………9分 AEABAB所以AEDCABBE．……………………10分

所以

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