台安县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 在复平面内,复数Z=A.第四象限 A.y=x﹣1
+i2015对应的点位于( )
C.第二象限
B.第三象限
B.y=()x C.y=x+
D.第一象限
2. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
D.y=ln(x+1)
3. 如图所示的程序框图,若输入的x值为0,则输出的y值为( )
A. B.0 C.1 D.或0
,A=60°,则满足条件的三角形
4. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,个数为( ) A.0
B.1
C.2
D.以上都不对
5. 已知命题p;对任意x∈R,2x2﹣2x+1≤0;命题q:存在x∈R,sinx+cosx=A.①④
B.②③
C.③④
D.②④
,则下列判断:①p且q
是真命题;②p或q是真命题;③q是假命题;④¬p是真命题,其中正确的是( ) 6. 设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2﹣4=0},则A∩B=( )
A.{﹣2} B.{2} C.{﹣2,2} D.∅
7. 运行如图所示的程序框图,输出的所有实数对(x,y)所对应的点都在某函数图象上,则该函数的解析式为( )
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A.y=x+2
B.y= C.y=3x D.y=3x3
AB=1,AC=2,∠BAC=60°,,
8. 若三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=2则球O的表面积为( ) A.π B.16π C.12π D.4π
9. 已知向量=(1,2),=(m,1),如果向量与平行,则m的值为( ) A.
B.
C.2
D.﹣2
10.已知数列an为等差数列,Sn为前项和,公差为d,若A.
S2017S17100,则d的值为( ) 20171711 B. C.10 D.20 20102211.在ABC中,tanAsinBtanBsinA,那么ABC一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 12.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( ) A.28
B.76
C.123 D.199
二、填空题
13.设m是实数,若x∈R时,不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立,则m的取值范围是 .
14.已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)>f(x)g′(x),且f(x)=axg(x)(a>0且a≠1),为 .
在
+
=.若数列{
}的前n项和大于62,则n的最小值
15.已知关于 的不等式上恒成立,则实数的取值范围是__________
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16.已知z,ω为复数,i为虚数单位,(1+3i)z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,则复数ω= .
17.已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是2,另一组数据ax1,ax2,ax3,ax4,ax5(a0) 的标准差是22,则a .
18.抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦,使它恰好被P点平分,则该弦所在的直线方程为 .
三、解答题
19.计算下列各式的值: (1)
22(2)(lg5)+2lg2﹣(lg2).
20.已知y=f(x)是R上的偶函数,x≥0时,f(x)=x2﹣2x (1)当x<0时,求f(x)的解析式.
21.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,满足a3=8,a3﹣a2﹣2a1=0. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式
(Ⅱ)记bn=log2an,求数列{an•bn}的前n项和Sn.
(2)作出函数f(x)的图象,并指出其单调区间.
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22.已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,该椭圆的离心率为
相切.
,以原点为圆心,
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)如图,若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴,椭圆C顺次交于P,Q,R(P点在椭圆左顶点的左侧)且∠RF1F2=∠PF1Q,求证:直线l过定点,并求出斜率k的取值范围.
23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,PA=AB=BC=CD=2,PD=2PD,Q为PD的中点. (Ⅰ)证明:CQ∥平面PAB;
(Ⅱ)若平面PAD⊥底面ABCD,求直线PD与平面AQC所成角的正弦值.
,PA⊥
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24.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 选修41:几何证明选讲 如图,A,B,C为
上的三个点,AD是BAC的平分线,交于
点D,过B作的切线交AD的延长线于点E. (Ⅰ)证明:BD平分EBC; (Ⅱ)证明:AEDCABBE.
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台安县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参) 一、选择题
1. 【答案】A
【解析】解:复数Z=复数对应点的坐标(故选:A.
+i2015=
),在第四象限.
﹣i=
﹣i=﹣
.
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,基本知识的考查.
2. 【答案】 D
1
【解析】解:①y=x﹣在区间(0,+∞)上为减函数,
②y=(
x
)是减函数,
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③y=x+,在(0,1)是减函数,(1,+∞)上为,增函数,
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④y=lnx在区间(0,+∞)上为增函数,
∴A,B,C不正确,D正确, 故选:D
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【点评】本题考查了基本的函数的单调区间,属于基本题目,关键掌握好常见的函数的单调区间.
3. 【答案】B
【解析】解:根据题意,模拟程序框图的运行过程,如下; 输入x=0, x>1?,否; x<1?,是; y=x=0,
输出y=0,结束. 故选:B.
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论.
4. 【答案】B 【解析】解:∵a=3,∴由正弦定理可得:sinB=∴B=90°,
即满足条件的三角形个数为1个. 故选:B.
【点评】本题主要考查三角形个数的判断,利用正弦定理是解决本题的关键,考查学生的计算能力,属于基础题.
5. 【答案】D
2
【解析】解:∵命题p;对任意x∈R,2x﹣2x+1≤0是假命题, 命题q:存在x∈R,sinx+cosx=
是真命题,
∴①不正确,②正确,③不正确,④正确.
故选D.
6. 【答案】A
【解析】解:由A中的方程x+2=0,解得x=﹣2,即A={﹣2};
2
由B中的方程x﹣4=0,解得x=2或﹣2,即B={﹣2,2},
,A=60°,
=
=1,
则A∩B={﹣2}.
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故选A
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
7. 【答案】 C
【解析】解:模拟程序框图的运行过程,得; 该程序运行后输出的是实数对
(1,3),(2,9),(3,27),(4,81);
x
这组数对对应的点在函数y=3的图象上.
故选:C.
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,是基础题目.
8. 【答案】A
【解析】解:如图,三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上, ∵AB=1,AC=2,∠BAC=60°, ∴BC=
,
∴∠ABC=90°.
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=1, ∵SA⊥平面ABC,SA=2∴球O的半径R=4,
2
∴球O的表面积S=4πR=π.
故选:A.
【点评】本题考查球的表面积的求法,合理地作出图形,数形结合求出球半径,是解题的关键.
9. 【答案】B 【解析】解:向量可得2m=﹣1. 解得m=﹣. 故选:B.
,向量与平行,
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10.【答案】B 【解析】
试题分析:若an为等差数列,
Snnna1nn1ddS2a1n1,则n为等差数列公差为,
n22nS2017S17d1100,2000100,d,故选B. 201717210考点:1、等差数列的通项公式;2、等差数列的前项和公式. 11.【答案】D 【解析】
试题分析:在ABC中,tanAsinBtanBsinA,化简得
22sinAsinBsin2Bsin2A,解得 cosAcosBsinBsinAni2Asni2sinAcosAsinBcosB,即scosAcosBABB,所以2A2B或2A2B,即AB或
2,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故选D.
考点:三角形形状的判定.
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定,其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用,其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中得出sin2Asin2B,从而得到AB或AB题的一个难点,属于中档试题.
12.【答案】C
【解析】解:观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项.
1010
继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为123,即a+b=123,.
2是试
故选C.
二、填空题
13.【答案】 [0,2] .
【解析】解:∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|(x﹣m)﹣(x﹣1)|=|m﹣1|, 故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立,可得|m﹣1|≤1,∴﹣1≤m﹣1≤1, 求得0≤m≤2, 故答案为:[0,2].
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【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想,属于基础题.
14.【答案】 1 .
【解析】解:∵x为实数,[x]表示不超过x的最大整数, ∴如图,当x∈[0,1)时,画出函数f(x)=x﹣[x]的图象,
再左右扩展知f(x)为周期函数. 故答案为:1.
结合图象得到函数f(x)=x﹣[x]的最小正周期是1.
【点评】本题考查函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用.
15.【答案】 【解析】
因为在上恒成立,所以
答案:
16.【答案】 ±(7﹣i) .
,解得
.
【解析】解:设z=a+bi(a,b∈R),∵(1+3i)z=(1+3i)(a+bi)=a﹣3b+(3a+b)i为纯虚数,∴ 又ω=
=.
=
,|ω|=
,∴
2
把a=3b代入化为b=25,解得b=±5,∴a=±15.
∴ω=±
故答案为±(7﹣i).
=±(7﹣i).
【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出.
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17.【答案】2 【解析】
试题分析:第一组数据平均数为x,(x1x)2(x2x)2(x3x)2(x4x)2(x5x)22,
(ax1ax)2(ax2ax)2(ax3ax)2(ax4ax)2(ax5ax)28,a24,a2.
考点:方差;标准差.
18.【答案】 3x﹣y﹣11=0 .
【解析】解:设过点P(4,1)的直线与抛物线的交点 为A(x1,y1),B(x2,y2),
22
即有y1=6x1,y2=6x2,
相减可得,(y1﹣y2)(y1+y2)=6(x1﹣x2), 即有kAB=
=
==3,
则直线方程为y﹣1=3(x﹣4), 即为3x﹣y﹣11=0.
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程,可得 9x2﹣72x+121=0,判别式为722﹣4×9×121>0, 故所求直线为3x﹣y﹣11=0. 故答案为:3x﹣y﹣11=0.
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(1)==
=5…
…
22
(2)(lg5)+2lg2﹣(lg2)
=(lg5+lg2)(lg5﹣lg2)+2lg2… =
20.【答案】
.…
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【解析】解:(1)设x<0,则﹣x>0, ∵x>0时,f(x)=x﹣2x.
2
22
∴f(﹣x)=(﹣x)﹣2(﹣x)=x+2x
∵y=f(x)是R上的偶函数
∴f(x)=f(﹣x)=x+2x
(2)单增区间(﹣1,0)和(1,+∞);
2
单减区间(﹣∞,﹣1)和(0,1).
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式,然后作出分段函数的图象,进而研究相关性质,本题看似简单,但考查全面,具体,检测性很强.
21.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q, 由an>0可得q>0,且a3﹣a2﹣2a1=0, 化简得q﹣q﹣2=0,
2
解得q=2或q=﹣1(舍),
2
∵a3=a1•q=4a1=8,∴a1=2,
∴数列{an}是以首项和公比均为2的等比数列,
n
∴an=2;
(Ⅱ)由(I)知bn=log2an=
n
∴anbn=n•2,
=n,
123n1n
∴Sn=1×2+2×2+3×2+…+(n﹣1)×2﹣+n×2,
2Sn=1×22+2×23+…+(n﹣2)×2n﹣1+(n﹣1)×2n+n×2n+1,
123n1nn+1
两式相减,得﹣Sn=2+2+2+…+2﹣+2﹣n×2,
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∴﹣Sn=
n+1
﹣n×2,
n+1
∴Sn=2+(n﹣1)2.
【点评】本题考查等比数列的通项公式,错位相减法求和等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
22.【答案】
【解析】(Ⅰ)解:椭圆的左,右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0), 椭圆的离心率为
,即有=
,即a=
c,b=
=c,
222
以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆方程为x+y=b,
直线y=x+即有a=
与圆相切,则有,
+y2=1;
=1=b,
则椭圆C的方程为
(Ⅱ)证明:设Q(x1,y1),R(x2,y2),F1(﹣1,0), 由∠RF1F2=∠PF1Q,可得直线QF1和RF1关于x轴对称, 即有
+
=0,即
+
=0,
即有x1y2+y2+x2y1+y1=0,①
设直线PQ:y=kx+t,代入椭圆方程,可得
222
(1+2k)x+4ktx+2t﹣2=0,
2222
判别式△=16kt﹣4(1+2k)(2t﹣2)>0, 22
即为t﹣2k<1②
x1+x2=,x1x2=,③
y1=kx1+t,y2=kx2+t,
代入①可得,(k+t)(x1+x2)+2t+2kx1x2=0, 将③代入,化简可得t=2k,
则直线l的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2). 即有直线l恒过定点(﹣2,0).
2
将t=2k代入②,可得2k<1,
解得﹣<k<0或0<k<.
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则直线l的斜率k的取值范围是(﹣,0)∪(0,).
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要是离心率的运用,注意运用直线和圆相切的条件,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题和易错题.
23.【答案】
【解析】(Ⅰ)证明:取PA的中点N,连接QN,BN. ∵Q,N是PD,PA的中点, ∴QN∥AD,且QN=AD. ∵PA=2,PD=2∴AD=4,
∴BC=AD.又BC∥AD, ∴QN∥BC,且QN=BC, ∴四边形BCQN为平行四边形,
∴BN∥CQ.又BN⊂平面PAB,且CQ⊄平面PAB, ∴CQ∥平面PAB.
(Ⅱ)解:取AD的中点M,连接BM;取BM的中点O,连接BO、PO. 由(Ⅰ)知PA=AM=PM=2, ∴△APM为等边三角形, ∴PO⊥AM.同理:BO⊥AM.
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD, ∴PO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,分别以OB,OD,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 则D(0,3,0),A(0,﹣1,0),P(0,0,∴
=(
,3,0),
=(0,3,﹣
),
),C(=(0,,
,2,0),Q(0,,).
).
,PA⊥PD,
设平面AQC的法向量为=(x,y,z), ∴∴cos<
,令y=﹣,>=
得=(3,﹣=﹣
.
. ,5).
∴直线PD与平面AQC所成角正弦值为
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24.【答案】
【解析】【解析】(Ⅰ)因为BE是⊙O的切线,所以EBDBAD…………2分 又因为CBDCAD,BADCAD………………4分 所以EBDCBD,即BD平分EBC.………………5分 (Ⅱ)由⑴可知EBDBAD,且BEDBED,
BEBD,……………………7分 AEAB又因为BCDBAEDBEDBC,
BDE∽ABE,所以
所以BCDDBC,BDCD.……………………8分
BEBDCD,……………………9分 AEABAB所以AEDCABBE.……………………10分
所以
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