第４３卷第５期 ２０１０年５月 天津大学学报 、／０１．４３ ＮＯ．５ Ｍａｙ２０１０ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ 基于Ｔ－Ｓ模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制 费向阳，封文娟，张国山 （天津大学电气与自动化１二程学院，天津３０００７２） 摘要：针对带有控制和状态滞后的一类不确定非线性时滞系统，研究了无记忆状态反馈保成本容错控制问题．应用 线性矩阵不等式（ＬＭＩ）给出了执行器故障时模糊闭环系统渐近稳定的充分条件，该条件保证了对所有允许的不确定 性．闭环系统是渐近稳定的，而且对于一个给定的二次型成本函数，能保证闭环成本不超过某个界．应用基于ＬＭＩ的 凸优化方法，给出了针对系统故障的最优保成本状态反馈控制器设计．最后给出了仿真实例说明该方法的有效性． 关键词：非线性系统；Ｔ－Ｓ模糊模型；时滞；保成本控制；线性矩阵不等式 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标志码：Ａ 文章编号：０４９３—２１３７（２０１０）０５—０４１７－０７ Ｆａｕｌｔ．．Ｔｏｌｅｒａｎｔ Ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ Ｃｏｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ Ｕｎｃｅｒｔａｉｎ Ｎｏｎ．．Ｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔ—Ｓ Ｆｕｚｚｙ Ｍｏｄｅｌ ＦＥＩ Ｘｉａｎｇ—ｙａｎｇ，ＦＥＮＧ Ｗｅｎ－ｊｕａｎ，ＺＨＡＮＧ Ｇｕｏ－ｓｈａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｔｉａｎｊｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ ３０００７２，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆａｕｌｔ—ｔｏｌｅｒａｎｔ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏ１ ｖｉａ ｍｅｍｏｒｙｌｅｓｓ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｍｏｄｅｌ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｓｔｕｄｉｅｄ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｌａｙｓ．Ｗｉｔｈ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ（ＬＭＩｓ）， ｔｈｅ ｓｕｆｉｃｉｆｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｆｕｚｚｙ ｃｌｏｓｅｄ—－ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｔｈｅ ａｃｔｕａｔｏｒ ｆａｉｌｕｒｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｒｏ－・ ｐｏｓｅｄ，ｗｈｉｃｈ ｇｕａｒａｎｔｅｅｓ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ ａｌｌ ａｌｌｏｗａｂｌｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ ａｎｄ ｔｈａｔ ｆｏｒ ａ ｇｉｖｅｎ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｃｏｓｔ ｉｓ ｂｏｕｎｄｅｄ ｗｉｔｈｉｎ ａ ｒａｎｇｅ．Ａ ｃｏｎｖｅｘ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＬＭＩ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｕｓｅｄ ｉｎ ｓｙｓｔｅｍ ｆａｕｌｔ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｈａｖｅ ｖｅｒｉｆｉｅｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ；Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｍｏｄｅｌ；ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ；ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ 设备运行的可靠性越来越引起人们的重视．容错 控制作为提高控制系统可靠性的一个重要手段，已成 为控制理论研究的一大热点．近年来，出现了许多有 关系统容错控制的研究成果ｌＪ Ｊ．对于不确定系统保 成本的控制也引起了众多学者的关注，基于Ｒｉｃｃａｔｉ 方程和线性矩阵不等式（１ｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ， ＬＭＩ）的处理方法取得了许多有价值的结果［６－９］，其中 文献［６］研究了保成本及最优控制器的设计及滤波问 题，文献［７］推广了文献［６］的结果，研究了范数有界不 制律保证闭环系统稳定且成本函数有上界．文献［９］ 对于给定的二次成本函数，研究了一类时滞系统具有 有界参数不确定的无记忆状态反馈保成本控制问题， 通过基于ＬＭＩ的凸优化方法求得控制器使成本 最小． 当被控对象含有时滞和不确定性时，往往还含有 不同程度的非线性，难以建立精确的数学模型．因此 近年来，已有一些采用Ｔ—Ｓ模糊模型研究状态或控制 带有时滞的不确定非线性系统的容错与保成本控制 问题论文，如文献［１０］应用ＬＭＩ方法，对一类带有时 确定系统带有时间乘积的保成本控制问题，该成本函 数使系统状态快速趋于零而暂态响应时间缩短．文献 ［８］研究了离散时间不确定系统基于状态反馈与静态 输出反馈的鲁棒二次保成本控制，通过ＬＭＩ给出控 收稿日期： ２００９—０１－０８：修回日期：２００９—０７．１７． 基金项目： 国家自然科学基金资助项目（６０６７４０１９）． 作者简介： 费向阳（１９６７一 滞不确定的模糊系统进行控制器设计，并且使得该模 糊控制器能保证闭环系统稳定和二次型性能指标具 有上界．文献［１ １］研究了基于状态反馈与动态输出反 ），男，讲师，ｘｙｆｅｉ＠ｔｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 通讯作者： 张围山，ｚｈａｎｇｇｓ＠ｔｊｕ ｅｄｕ．ｃｎ 天 津 大 学 学 报 第４３卷第５期 馈的非线性时滞系统Ｔ—Ｓ模糊模型的保成本控制问 题，通过平行分布补偿（ＰＤＣ）方法，及时滞相关 Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数方法，给出了个控制器存在的充分条 件，使用凸优化获得系统保持稳定时的时滞的上界， 并给出了成本函数次优上界的最小化方法．文献［１２】 研究了状态具有变时滞的非线性系统的Ｔ．Ｓ模糊模 型的保成本控制问题，使用基于ＬＭＩ的凸优化方法， 给出了基于状态反馈与基于观测器的输出反馈的保 成本控制器的设计．文献［１３］给出了Ｔ．Ｓ模糊系统的 非脆弱保性能控制器存在的充分条件，并且使系统 Ｈ，性能最小化同时具有期望的Ｈ一指标下的干扰抑 制作用．文献［１４］研究了不确定时滞系统的鲁棒容错 控制问题，基于Ｔ－Ｓ模糊模型，利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性 理论与ＬＭＩ，给出了对于传感器和执行器故障的鲁 棒容错控制方法．但就笔者所知，目前鲜有针对基于 Ｔ．ｓ模糊模型、带有控制滞后的非线性系统的保成本 容错控制问题的研究．因此，研究带有控制滞后的不 确定时滞系统的模糊保成本容错控制具有一定的理 论和实际意义． 为此，针对一类带有控制和状态滞后的不确定 非线性时滞系统，基于Ｔ．Ｓ模型，笔者研究了系统在 执行器故障时的保成本容错控制问题，导出了状态反 馈保成本控制器存在的充分条件，该条件保证了对所 有允许不确定性，闭环系统是渐近稳定的，且对于一 个给定的二次型成本函数，能保证闭环成本值不超过 某个界．所得结论均以线性矩阵不等式的形式给出， 应用Ｍａｔｌａｂ中的ＬＭＩ工具箱，给出了最优保成本控 制器的设计并通过仿真验证了所给方法的有效性． １ 问题描述 考虑由如下Ｔ．Ｓ模糊模型所描述的具有控制与 状态滞后的不确定非线性时滞系统 Ｒ ：Ｉｆ （ｔ）ｉｓ ｌ ａｎｄ…ａｎｄ Ｚｐ（ ）ｉｓ Ｔｈｅｎ Ｊ贾（ ）＝（ ＋ＡＡ ） （≠）＋（ ＋△ ） （，一 ）＋ ｛（ ＋ ） （ｆ）４－Ｂ２ｆｕ（ｔ一 ），ｉ＝１，２，…， （１ｊ 【ｘ（ｔ）＝ （，），ｆ∈［一ｍａｘ（ｒ１， ），０］． 式中： 表示Ｔ—ｓ模糊模型的第ｉ条规则，也称为模 糊子系统；ｚ。（ ），ｚ：（ ），…，Ｚｐ（ｆ）为模糊规则的前件变 量； ，为模糊语言集合；ｘ（ｔ）Ｅ Ｒ 和 （ ）∈Ｒ 分别 为系统的状态向量和控制向量．Ａ 、Ａ 、Ｂｉ和 为 已知的有适当维数的实矩阵， 、 和 为不确 定性矩阵函数，它们反映了系统模型中的不确定性； ＞０、Ｔ２＞０为滞后时间常数； （ ）为实值连续向量 函数． 假设不确定性是范数有界的，且满足 ［ ］＝Ｄｉｆ（ ） Ｅ Ｅ 】（２） 式中：Ｄｉ、Ｅ Ｅ 和Ｅ 为已知的具有适当维数的常 数实矩阵； （ｆ）为一个具有Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测元的未知 矩阵，且满足 （，） （ｆ）≤Ｊｒ （３） 应用单点模糊化、乘积推理和中心加权反模糊化 推理方法＿ｌ引，可得全局模糊系统模型为 （，）：∑ （ｚ（，））｛（ ，＋△ ） （ｆ）＋（ ＋△，４ ）・ ｉ＝１ ｘ（ｔ一 ）＋（Ｂ ＋△Ｅ）甜（ ）＋Ｂ： ｕ（ｔ一 ）｝ （４） 式中 ｚ（ｔ） 【Ｚ１【 ），Ｚ２（／），…，Ｚｐ（，）Ｊ， （ｚ（ｚ））： ，∑ｒ （ｚ（ ））：１， ∑ （ｚ（ｆ）） ｊ＝ｌ （ｚ（ｆ））＝兀Ｍ （ｚ ）） Ｍｏ．（ｚ ））表示前件变量ｚ ）对应于模糊值 的隶 属度． 对系统（１）定义成本函数为 ＝ 【ＸＴ（ｆ） （ｆ）＋Ｆ（ｆ） Ｈ（ｆ）］ｄｆ （５） 其中Ｑ＞０和Ｒ＞０是给定的加权矩阵． 基于平行分布补偿（ＰＤＣ）［１６１，本文考虑如下关于 模糊系统式（４）的模糊无记忆状态反馈控制律 Ｒ ：Ｉｆ ＺＩ（ ）ｉｓ Ｍｉｌ ａｎｄ…ａｎｄ Ｚｐ（ｆ）ｉｓ Ｔｈｅｎ （ ）＝Ｋ， （ ），ｉ＝１，２，…，ｒ （６） 全局状态控制器可以表示为 （ ）＝∑ （ｚ（，）） （ ） （７） ｉ＝１ 控制系统在运行的过程中，由于某些元件出现故 障会导致系统失效，因此定义某执行器输出恒为零时 为该执行器失效，引人表示执行器发生故障的开关矩 阵上 ，其形式为 Ｌｉ＝ｄｉａｇ（ｆ１，ｆｉ２，…， ） ｉ＝１，２，…，ｒ 式中 ｆ １表示第ｉ条规则的第Ｓ个执行器正常 ｌ ０表示第ｉ条规则的第 个执行器故障 Ｓ＝１，２，・一，ｍ 假设控制器设计 ．＝ ＝…＝ｆ，ｍ＝０是被排除 的，即不会 现所有执行器同时 现故障的情况，则 ２０１０年５月 费向阳等：荩于Ｔ－Ｓ模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制 ‘４１９・ 含执行器故障的不确定参数的闭环系统为 （ｆ）＝∑∑ （ｚ（ｆ）） （ｚ（ ））｛Ｇ （ｆ）＋ 。 ｘ（ｔ一 ）＋ Ｈｏｘ（ｔ— ）｝＝∑留（ｚ（，））｛ （，）＋ Ｈ¨ｘ（ｔ－ｒ，）＋Ｈ ，ｘ（ｔ一 ）｝＋２∑ （ｚ（ｆ））‘ ，：（学 Ｐ（学）＋ Ｐｆ ± 生 ± ± ］ＪＰ＋ ２ ＋＋２１ Ｕ Ｐ＋ ＋Ｉ ｆ—Ｈ￣／Ｕ］Ｈ７＋—Ｈ １ Ｔ］ｌＰ＋ ２ ／ ２Ｑ＋Ｋ７ＲＫ／＋ＫＴＲＫｉ＜０ 式中１≤ｉ， ≤ｒ，且相应的性能指标满足 （ （ｆ））｛ －． 生 （，）＋ （ｔ－ ）＋ （１０） —旦— ｘ（ｔ ）－ｒ２） ｌ （【８ ） ２ Ｊ 其中，Ｇ，，＝Ａ ＋△ ＋（ ，＋ＡＢ ）上，Ｋ／，Ｈ１，＝Ａ ＋△／４ ， Ｈ ＝Ｂ２，Ｌ Ｋｊ． 定义１ 对时滞模糊系统式（８）和性能指标式 （５），如果仔在控制器式（６）和一个正数＿， ，使得对所 有允许的不确定性和执行器故障，闭环系统渐近稳 定，．ＦＬ性能指标式（５）满足 ≤Ｊ ，则Ｊ 称为不确定 时滞模糊系统式（８）的一个性能上界，控制器式（６）称 为状态反馈容错保性能控制器． 引理１［＂ 对于给定的适当维数的任意常数矩阵 Ｄ、 和对称矩阵 ，若 Ｓ＋ＤＦＥ＋Ｅ Ｆ Ｄ ＜０ 成立，其中Ｆ Ｆ≤Ｕ，当且仅当存在某一常数￡＞０， 有 雌 叫［ Ｊ 引理２［ 对于任意适当维数的向量Ｘ、 和矩阵 Ｉ，，对任意正定矩阵 ，使得 ＋Ｊ， Ｙ Ｘ≤ ＹＵ Ｙ Ｘ＋Ｊ， ｕｙ ２容错保成本控制器的设计 本文研究的问题：针对给定的模糊系统式（１），设 计相应的模糊无记忆状态反馈控制器式（７），使闭环 系统式（８）在执行器故障时，仍能保持渐近稳定，同时 使性能指标式（５）具有适当的成本上界，进而，优化这 个指标使其卜界最小化． 首先，给出关于不确定时滞系统式（４）无记忆状 态反馈保成本控制律存在的一个充分条件． 定理１ 反馈控制律式（７）是一个保成本控制 律，如果对于不确定系统式（８）和一常数 ＞０，存在 公共正定矩阵Ｐ，Ｕ∈Ｒ 和矩阵 ，，使得对任意允许 的不确定性Ｆ（ｆ），有如下矩阵不等式成立，即 Ｓ ：ＧＴ Ｐ＋ＰＧ＋ＰＡｄｔＡｌｐ＋ｃｒＰＤＤＴ ｌｉ｜Ｐ＋ ２Ｉ＋Ｕ＋ＰＨ Ｕ Ｐ＋Ｑ＋Ｋ ＴＲＫ ＜０ （９） Ｊ≤Ｊ ＝妒 （０）Ｐ妒（０）＋２ 妒 ）妒（ ）ｄ ＋ Ｉ （ ） （ ）ｄ 证明定义如下准Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数 （ （ｆ））＝Ｘ （ｆ） （≠）＋２ Ｉ １ （ｓ）ｘ（ｓ）ｄｓ＋ ｔ （ ） （ ）ｄ （１１） 式中，Ｐ为对称正定矩阵，Ｕ：Ｐ ．显然 （ ）＞０， Ｖｘ≠０，则 （ （ｆ））沿闭环系统式（８）的任意运动轨迹 的时间导数为 （ （ｆ））＝∑ （ｚ（ｆ））｛ （ｆ）（ Ｐ＋ＰＧｉ ） （ｆ）＋ （，一ｒ１）Ｈ，］Ｐｘ（ｔ）＋Ｘ （ｔ）ＰＨＩ （，一 ）＋ （，一ｖ２）Ｈ￣Ｐｘ（ｔ）＋Ｘ （ｔ）ＰＨ ｘ（ｔ－ｒｅ）｝＋ ｒ２ ∽ ∽ｆ［半卜 Ｐ（学］］ｘ（ｔ）＋ｘｒ（ｔ－ｒ１）［ ］ ・ Ｐｘ（ｔ）Ｘ ＋ＸＴ（（ ）Ｐ（ — ＿ ） （ －Ｉ２ ）＋ＸＴ（） ｔ－－）・）． ［ ］。Ｐｘ（ｔ）＋ｘＴ（ｔ）Ｐ［ ］ ．（≠一 ）＋２Ｘ’、（ ） ）一２ｘ （ｆ—ｒ１）Ｘ（ｔ—ｒ１）＋ ＸＴ（ ） （ｆ）一ＸＴ（ 一ｒ￣）Ｕｘ（ｔ一 ）｝ （１２） 对于任意实矩阵 ，Ａ Ａ≤ （ Ａ）Ｉ成立．由 假设和引理２，可以得到 ＸＴ（ｆ—ｖ￣）ＨＴｐｘ（ｔ）＋ＸＴ（ｔ）ＰＨｌ ｘ（ｔ—ｒ１）≤ ＸＴ（ｔ）ＰＡ Ｔ （，）＋ＸＴ（，一 ） （ 一 ）＋ （ｆ）ＰＤｉＤ Ｔｅｘ（Ｏ十 （ 一 ） （ｆ一 ） （１ ３） 成市．其中， ＝ （Ｅ Ｔ，Ｅ ）．令 ＝ｍａｘ（ ），则由式 （１３）进一步推得 ＸＴ 一 ）Ｈ Ｏ）＋ＸＴ（ｔ）ＰＨ ｘ（ｔ一 ）≤ ＸＴ（ｆ）Ｐ（ Ａ Ｔ ＋ｃｒＤ Ｄ Ｔ） （ｆ）＋ ２ｘ （ —Ｚ＂Ｉ） （ｆ—ＴＩ） （１４） ・４２０・ 天 津 大 学 学 报 第４３卷第５期 同理可得 （ｆ）＋２∑ｈｉ（ｚ（，）） （ｚ（ｆ） （ｆ） ）（ （ Ｘｙ（ｆ）ＰＩ ｉ ｌ Ａ≈ＡＴ 七６Ｄ ３ 七ｏＤｌ ２ ｉ＜ｊ （ 一２Ｑ一 Ｔ麟，一ＫｊＴＲＫｉ）ｘ（ｔ）（１８） 由条件式（９）和式（１０），可得 矿（ （ｆ））≤一∑∑ （ｚ（ｆ）） ，（ｚ（ ）） （ｆ）． ｉ＝１ ｊ：ｌ （Ｑ＋Ｋ ＲＫｊ）ｘ（ｔ）＝一 ）． Ｑｘ（ｔ）一ｌｇＴ（ｔ）Ｒｕ（ｔ）＜０ （１５） ．（１９） Ｐｘ（ｔ）＋２ｘ （≠－Ｔ１）ｘ（ｔ一 ） 类似地 Ｘ （ｔ一 ）Ｈ ＴＰｘ（ｔ）＋ ）朋ｆｆ （ ～ ）≤ 因此，闭环模糊控制系统式（８）是渐近稳定的进一步 利用初始条件式（１），可得 Ｊ＝ ［ （ ）Ｑｘ（ ）＋ＵＴ（ｔ）Ｒｕ（ｔ）］ｄｔ≤ ＸＴ（ｔ）ＰＨｉｆＵ～Ｈ Ｔｐ （ ）＋ （０）Ｐ （０）＋２ Ｉ （ｓ）ｘ（ｓ）ｄｓ＋ （１６） Ｘｙ（ｔ－ｒ２）ｖｘ（ｔ一 ） ，Ｌ Ｘ （ｓ）Ｕｘ（ｓ）ｄｓ≤ （０）Ｐ （０）＋ （半 卅 ． （半 盟］． （１７） ２￡ ０） ）ｄ ＋￡ ０）（厂 ）ｄ 由定义１知，定理１的结论成立．证毕． 由于式（９）和式（１０）为非线性矩阵不等式，求解 网难，下面给出其ＬＭＩ的形式． 定理２ ｆ 矿（ （ ））≤ （１）存在公共的对称正定阵Ｐ，ＵＵ，使得矩阵不 等式（９）和（１０）成立，当且仅当存在正数 ， （ｆ＜ ）， Ｐｘ（ｔ）＋ｘ （，一ｖ２）Ｕｘ（ｔ一 ） 将式（１３）～式（１７）代人式（１２），得 （ （ｆ）） （，）（ —Ｑ—ＫＴＲＫ￣）． Ｅ Ｘ＋Ｅ２ｌＬｗ ｔ一矩阵 和公共正定阵 ，使得如下线性矩阵不等式 成立，即 ＢｎＬ ｌ Ｘ Ｘ ｗ ￡．Ｉ 一０ Ｉ ０ ｏ Ｉ ０ ８ ｏ ０ ｏ ＜０ ｏ （２０） 一 一Ｑ 一 ０ ｆｊ一基 ￡ Ｉ ：｝： ＬｊＷ Ｂ２ｉ口 ｓ， １ 术 一冰 ０ 球 半 球 木 掌 一 口 Ｄ ４ ＜０ （２１） ｄ— ０ 一 ，’ 费向阳等：基于Ｔ－Ｓ模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制 式中 ＝ＡＸ＋ＸＡｖ ＋ＢＩｌＬｗｌ＋ｗ Ｂ ＋Ａ ｌ＋ ＋￡、Ｄ ＋Ｉ ｒ ｜＝Ａ—Ｘ＋ＸＡ ＋Ａ Ｘ＋ＸＡＩ＋Ｂ Ｌｉｗｉ＋ ｗ ＋Ｂ｜Ｌｗ｜＋Ｗ ＋Ａ“ＡｎＴ ＋ ＋（ ＋ｅｏ）ＤｉＯ，Ｔ＋（ ＋ ）ＤｊＯ，Ｔ＋ ２Ｊ ＝（Ｅ Ｘ＋Ｅ 厶 ） （２）对于系统式（８），如果线性矩阵不等式（２０）、 （２１）有可行解Ｅｉ＞０， ，＞ｏ（ｉ＜Ｊ），ｗｉ，Ｘ＞０，则无记 忆状态反馈控制律 （ ）＝∑ （ｚ（ｆ）） （ｆ） （２２） ｉ＝１ 是系统的一个保成本控制律，且 Ｊ ＝ （０） （０）＋２厂． （ｓ）Ｏ（ｓ）ｄｓ＋ ｒ． （ｓ）ｘ Ｘ （ ）ｄ （２３） 是系统的一个保成本性能指标． 证明 （１）因为 ＝ＰＡｉ＋ Ｐ＋ＰＢ ＬｉＫ ＋ Ｐ＋ＰＤｉ （ｆ） （巨 ＋Ｅ２ ‘Ｋｉ）＋（巨 十Ｅ２ 厶Ｋｉ） （ｆ） Ｐ＋ ＰＡｍＡ ｔＰ＋ｏ＇ＰＤ￣Ｄ Ｐ＋２ｌ七Ｕ＋ＰＢｈＬｉＫｌＵ一・ （Ｂ２ ｆ） Ｐ＋Ｑ＋Ｋｆ ＲＫ，＜０ 上式两端左右同时乘尸，并用引理１，则等价于 ＡｔＰ ＋Ｐ Ａ ＋Ｂ１ＬｔＫｉＰ＿＋Ｐ ＥＢ ＋ Ｐ （Ｅ１，＋Ｅ２ ‘ （Ｅ１ｆ＋Ｅ２ ＬｉＫｉ）－ Ｐ＿’＋￡ Ｄ＋Ａｄ ｌ｜ ＋￣Ｄ，Ｄ７＋２Ｐ一． ＪＰ 十Ｐ—ＵＰ ＋ ２ ＫｉＵ （Ｂ２ 厶 ） ＋ Ｐ Ｑｐ 十Ｐ～Ｋ，ＴＲＫ Ｐ一＜０ （２４） 令Ｘ＝Ｐ～， ＝ＫｉＰ“。。，则由Ｓｃｈｕｒ补可得式（２４）等价 于式（２０）．同理，式（１０）等价于式（２１）． （２）由定理１证明可得．证毕． 定理２提供了～组保性能控制律的参数化表示， 这一参数化表示可用来求取使得性能指标值的上界 尽可能小的最优保成本控制律． 定理３考虑系统式（１）和性能指标式（５），如果 以下优化问题 ｘ， 咖 （０） （０）＋ｔｒ（Ⅳ）＋ｔｒ（ ） （２５） （１）式（２０）和式（２１）成立 （２）『 ｌ－一 ，ｌＪ — ｌ＜０ （３）１ｌ 一ｆ （１＋ ） ］＜０ （１＋ 一（１＋ａ）ｉ ｌ （４） Ⅳ Ｍ ｌ＜０ Ｌ朋 一』 有解 ，Ｃｉ， ＜／），Ｍ，Ｎ， ，则 Ｈ （ｆ）＝∑ （ｉ＝ｌ ｚ（ ）） ｘ（Ｏ 是系统的一个最优保成本控制律．其中 ｔ，ｏ Ｔ Ｉ． （ｓ）Ｏ（ｓ）ｄｓ Ｉ （ｓ）Ｏ（ｓ）ｄｓ 证明引进 ，其中 为对称矩阵，使得Ｘ ＜Ｍ，则 （ｏ）ｘ （０）≤ （Ｏ） （０） 同理 ￡ （ ） — （ｓ）ｄ ≤￡矿（ ） （ ）ｄ ｔｒ（ Ｍ ） 其中 是满足 （ｓ）Ｏ（ｓ）ｄｓ 的矩阵． 引进 ，使得２ ＜ｒｌ，则 ２￡ （ ） （ ）ｄ ＝２￡ｔｒ（ ） ））ｄ ＝ ｔｒ（２ ）＜ｔｒ（ ） 其中 是满足 （ｓ）Ｏ（ｓ）ｄｓ 的矩阵．所以，式 （２３）可变换为 ≤ （０） （０）＋ｔｒ（ Ｍ ）＋ｔｒ（ ） 进一步引入矩阵Ｎ，使得 Ｍ 仍＜Ｎ，则 ｔｒ（ Ｍ ）＜ｔｒ（Ｎ） 且ｔｒ（Ｎ）的最小化可以保证ｔｒ（ Ｍ ）的最小化，且 可得 ≤９ （０） （０）＋ｔｒ（Ｎ）＋ｔｒ（ｆ） 又因为 ＜Ⅳ可等价地表示成线性矩阵不等式 ｌ 定理得证． 因为式（２５）是一个具有线性矩阵不等式约束的 凸优化问题，因此，可以应用凸优化技术来求解该问 题的全局最优解． 如果考虑执行器故障但执行器的输出不恒为零 的情况，此时，取ｆｉｓ＝％（Ｏ＜ ＜１），这时上面结果仍 然成立．下一部分故障情况２即给出了某些故障下 ＝０．５时的仿真结果． ３仿真研究 为了说明控制器的有效性，以文献［１９］的非线性 系统加控制滞后为例用Ｔ－Ｓ模糊模型进行描述，即 规则１ Ｉｆ Ｘ１（ ）ｉｓ ｌ，ｔｈｅｎ ・４２２・ 天 津 大 （ｆ）＝（Ａｌ＋Ａｌｌ１） （ｆ）＋Ａ１ｄｘ（ｔ一 ）＋ Ｂｌｕ（ｔ）＋Ｂｌ ｕ（ｔ— ） 规则２ Ｉｆ Ｘｚ（ｔ）ｉｓ Ｍｌ２，ｔｈｅｎ （ｆ）＝（Ａ２＋ＡＡ２） （，）＋Ａ２ ｘ（ｔ一 ）＋ 正ｆ（ｆ）＋ ｄ （，一 ） 隶属度函数为 ＭｌＩ（ｘ２（，））＿ｌ－ Ｍ１２（ ）＝１一ＭＩ．（ｘ２（，））＝ 其中 （ ）＝［ （，）Ｘ２（ｆ）］‘，Ｘｌ（ ）∈［－１．５ １．５］， Ｘ２（ｆ）∈［－１．５ １．５］， ４ ＝［ｌ 一。’１ ２ ５一。０。２］， ＝［ｌ 一。・。０ ２ ５一。 ０。。５］｛， ｛ｌ －０．１ｌ １２ ５一１．０５ ２７ ｌｆＩ －０．００ｌ ２ ５－００．２ Ｉ３ ｌ ， Ｂ ｌ１ ０ ｌ ｌ０．１ ０ ｌ ｌ＝Ｂ２ ｌ ０ １ ｄ＝Ｂ２ａ ｆ ０ １ ｌ， ＡＡｌ＝ＤＩ （ｆ） ＡＡ２＝Ｄ２ （ｆ）Ｅ１２ Ｄｌ＝Ｄ：＝［－０．１１２ ５ ０】 ，Ｅ 。＝Ｅ ：＝［１ ０］ 考虑执行器故障分２种情况 况１：厶＝ｄｉａｇ［１ ０］，Ｌ ：ｄｉａｇ［０ １］． １情况２：厶＝ｄｉａｇ［１ １／２］，Ｌ２＝ｄｉａｇ［１／２ １］． 按定理３的ＬＭＩｓ进行优化，可得到 ＝ ｌｊ．３—‘。４２＝ －０ ０４２３ ０ ． ０９５７３ ｌＩＫ『－５． ｌ８５５４－２．９８８ ５ ｌ ＝，一２．９６５ ９—７．５５６ ７ｊｌ Ｋ 『－８．９４６４－４．２０００ Ｉ ＝ｌ Ｉ 一／－１．８６５ ２—５．１５７ ０ｊ 取式（２ ２）的控制律，以初始状态为Ｘ１（０）＝ 一１，Ｘ，（０）＝一１．２，图１为系统在执行器无故障时的状 态曲线，图２为系统在执行器故障情况１时的状态曲 线，图３为系统在执行器故障情况２时的状态曲线， ｒ／ 图１系统正常时状态曲线 Ｆｉｇ．１ Ｓｔａｔｅ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｎｏｒｍａｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ 学 学 报 第４３卷第５期 图２系统故障１时状态曲线 Ｆｉｇ．２ Ｓｔａｔｅ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｆａｉｌｕｒｅ ｃａｓｅ １ ： 图３系统故障２时状态曲线 Ｆｉｇ．３ Ｓｔａｔｅ ｃｕＦｖｅｓ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ ｉｎ ｆａｉｌｕｒｅ ｃａｓｅ ２ 如图１～图３所示，系统在执行器故障时仍能很快达 到稳定，且系统最优性能指标为Ｊ ＝３１．８５１ ５． ４结语 利用模糊Ｔ－Ｓ模型对一类不确定非线性时滞系 统进行建模，结合一个二次型成本指标，采用线性矩 阵不等式的方法，得到系统执行器故障时的保成本容 错控制律的一个充分条件．利用求解线性矩阵不等式 的方法给 了保成本控制律的设计．最后应用基于 ＬＭＩ的凸优化方法，实现了针对系统故障的最优保成 本状态反馈控制器设计．数值算例仿真结果表明，本 文提出的保成本容错控制设计方法是有效的． 参考文献： 周东华．叶银忠．现代故障诊断与容错控制［Ｍ］．北 京：清华大学Ｈ；版社，２０００． Ｚｈｏｕ Ｄｏｎｇｈｕａ，Ｙｅ Ｙｉｎｚｈｏｎｇ．Ｍｏｄｅｒｎ Ｆａｕｌｔ Ｄｉａｇｎｏｓｉｓ ａｎｄ Ｆａｕｌｔ—Ｔｏｌｅｒａｎｔ Ｃｏｎｔｔｖｌ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２０００（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）． ［２］ Ａｃｋｅｒｍａｎ Ｊ．Ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｐａｃｅ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓ ｏｎＡｕｔｏｍａｔｉｃＣｏｎｔｒｏｌ，１９８４，２０ （２）：２１１－２１５． ｒ ］ Ｌ Ｓｈｉｍｅｍｕｒａ Ｅ，Ｆｕｊｉｔａ Ｍ．Ａ ｄｅｓｉｇｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ ｓｔａｔｅ ￣ｅｄｂａｃｋ ｓｙｓｔｅｍｓ ｐｏｓｓｅｓｓｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒｉｔｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ２０１０年５月 费向阳等：基于Ｔ－Ｓ模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制 ・４２３・ ｏｆ ａ Ｒｉｃｃａｔｉ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．／ｎｔ Ｊ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９８５，４２（４）： ８８７—８９９． ［４］陈跃鹏，张庆灵，姚波．广义系统具有完整性的鲁 棒二次稳定［ｒ．自动化学报，２００２，２８（４）：６１５—６１９． Ｃｈｅｎ Ｙｕｅｐｅｎｇ，Ｚｈａｎｇ Ｑｉｎｇｌｉｎｇ，Ｙａｏ Ｂｏ．Ｒｏｂｕｓｔ ｑｕａｄ— ｒａｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｒｉｔｙ ｆｏｒ ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００２，２８（４）：６１５— ６１９（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）． ［５］ 梁 冰，段广ｆ＿＿：．基于状态观测器的广义系统鲁棒容 错控制［Ｊ］．吉林大学学报：信息科学版，２００４， ２２（４）：３９２—３９６． Ｌｉａｎｇ Ｂｉｎｇ，Ｄｕａｎ Ｇｕａｎｇｒｅｎ．Ｏｂｓｅｒｖｅｒ－ｂａｓｅｄ ｒｏｂｕｓｔ ｆａｕｌｔ—ｔｏｌｅｒａｎｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［ＪＪ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ， ２００４，２２（４）：３９２．３９６（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）． ［６］Ｐｅｔｅｒｓｅｎ Ｉ Ｒ，ＭｃＦａｒｌａｎｅ Ｄ Ｃ．Ｏｐｔｉｍａｌ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ ｆｉｌｔｅｒｉｎｇ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ，１９９４，３９（９）：１９７１— １９７７． ［７ ｊ Ｍｏｈｅｉｍａｎｉ Ｓ Ｏ Ｒ，Ｐｅｔｅｒｓｅｎ Ｉ Ｒ．Ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎ— ｔｒｏｌ ｏｆ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａ ｔｉｍｅ—ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｄ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｃｏｓｔ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ：Ａｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ，１９９８，３４（５）：６５１－６５４． １ ８ Ｊ Ｇｕａｎ Ｘ Ｐ，Ｌｉｎ Ｚ Ｙ，Ｄｕａｎ Ｇ Ｒ．Ｒｏｂｕｓｔ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆｒ ｄｉｓｃｒｅｔｅ—ｔｉｍｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｄｅｌａｙ［Ｊ］． １ＥＥ Ｐｒｏｃ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ Ａｐｐｌ，１９９９，１４６（６）：５９８— ６０２． ［９］Ｙｕ Ｌｉ，Ｃｈｕ Ｊ．Ａｎ ＬＭＩ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎ— ｔｒｏｌ ｏｆ ｌｉｎｅａｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｕｔｏ— ｍａｔｉｃａ，１９９９，３５（６）：１１５５—１１５９． １ １０ Ｊ Ｔｓｅｎｇ Ｃｈｗａｎ—Ｌｕ，Ｋｏ Ｊｕｎｇ—Ｙｕ，Ｊｉａｎｇ Ｊｏｅ—Ａｉｒ．ｅｔ ａ１． Ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙ［Ｃ］／／１ＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｓｙｓｔｅｍｓ，Ｍａｎ ａｎｄ Ｃｙｂｅｒｎｅｔｉｃｓ．Ｎｅｔｈｅｒｌａｎｄｓ，２００４： ２２６０．２２６５ ［１１］Ｇｕａｎ Ｘ Ｐ，Ｃｈｅｎ Ｃ Ｌ．Ｄｅｌａｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ ｄｅｌａｙｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ ｎｓ ｏｎＦｕｚｚｙＳｙｓｔｅｍｓ，２００４，１２（２）：２３６—２４９． ［１ ２］Ｃｈｅｎ Ｂｉｎｇ，Ｌｉｕ Ｘｉａｏｐｉｎｇ．Ｆｕｚｚｙ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｄｅｌａｙ【Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ ＦｕｚｚｙＳｙｓｔｅｍｓ，２００５，ｌ３（２）：２３８—２４８． ［１ ３］Ｈｕａｎｇ Ｙｉｑｉｎｇ，Ｈｕａｎｇ Ｙｏｕｒｕｉ，Ｔｉａｎ Ｙｉｍｉｎｇ．Ｏｎ ｏｐｔｉ— ｍａｌ Ｈ ７｝Ｈ ｎｏｎ—ｆｒａｇｉｌｅ ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｃｏｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓｔｅｍ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ＇ｏｆｔｈｅ ２７ｔｈ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｃｏｎ— ｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．Ｋｕｎｍｉｎｇ，Ｃｈｉｎａ，２００８：７６６—７６９． ［１４］Ｗａｎｇ Ｘｉｎｍｅｉ，Ｐｅｉ Ｈａｉｌｏｎｇ，ｗｕ Ｍｅｉ．Ｒｏｂｕｓｔ ｆａｕｌｔ— ｔｏｌｅｒａｎｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｆ ｓｔａｔｅ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｔ－Ｓ ｆｕｚｚｙ ｍｏｄｅ ＪＩＣ］／／２００８ ｌｎｔｅｒｎａ— ｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ．Ｃｈａｎｇｓｈａ，Ｃｈｉｎａ，２００８：９２５—９３０． １ １５ Ｊ Ｃａｏ Ｓｈｕｇｕａｎｇ，Ｒｅｅｓ Ｎ Ｗ，Ｆｅｎｇ Ｇａｎｇ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｕｓｉｎｇ ｄｙｎａｍｉｃ ｆｕｚｚｙ— ｓｔａｔｅ ｓｐａｃｅ ｍｏｄｅｌｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９９９，７（２）：１９２—２００． 【１６ ｊ Ｔａｎａｋａ Ｋ，Ｉｋｅｄａ Ｔ，Ｗａｎｇ Ｈ Ｏ．Ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｖｉａ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ： Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｚａｂｉｌｉｔｙ，Ｈ 。ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ， １９９６，４（１）：１－１３． １ ｌ７ ｊ Ｌｅｅ Ｈ Ｊ，Ｐａｒｋ Ｊ Ｂ，Ｃｈｅｎ Ｇ Ｒｏｂｕｓｔ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｉｅｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎＦｕｚｚｙＳｙｓｔｅｍｓ，２００１，９（２）：３６９—３７９． １ １ ８ Ｊ Ｘｕ Ｓｈｅｎｇｙｕａｎ，Ｌａｉｎ Ｊ．Ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｖｉａ ｏｕｔｐｕｔ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００５， ｌ３（Ｉ）：８２—９３． １ １９ ｊ Ｌｅｅ Ｋ Ｒ，Ｋｉｍ Ｊ Ｈ，Ｊｅｕｎｇ Ｅ Ｔ，ｅｔ ａ１．Ｏｕｔｐｕｔ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｆｕｚｚｙ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ—ｖａｒｙｉｎｇ ｄｅｌａｙ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ 一 ｔｅｍｓ．２０００．８（６）：６５７—６６３．
