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基于T-S模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制

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第43卷第5期 2010年5月 天津大学学报 、/01.43 NO.5 May2010 Journal of Tianjin University 基于T-S模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制 费向阳,封文娟,张国山 (天津大学电气与自动化1二程学院,天津300072) 摘要:针对带有控制和状态滞后的一类不确定非线性时滞系统,研究了无记忆状态反馈保成本容错控制问题.应用 线性矩阵不等式(LMI)给出了执行器故障时模糊闭环系统渐近稳定的充分条件,该条件保证了对所有允许的不确定 性.闭环系统是渐近稳定的,而且对于一个给定的二次型成本函数,能保证闭环成本不超过某个界.应用基于LMI的 凸优化方法,给出了针对系统故障的最优保成本状态反馈控制器设计.最后给出了仿真实例说明该方法的有效性. 关键词:非线性系统;T-S模糊模型;时滞;保成本控制;线性矩阵不等式 中图分类号:TP273 文献标志码:A 文章编号:0493—2137(2010)05—0417-07 Fault..Tolerant Guaranteed Cost Control for Uncertain Non..Linear Systems Based on T—S Fuzzy Model FEI Xiang—yang,FENG Wen-juan,ZHANG Guo-shan (School of Electrical Engineering and Automation,Tianjin University,Tianjin 300072,China) Abstract:Fault—tolerant guaranteed cost contro1 via memoryless state feedback controllers based on T-S fuzzy model has been studied for nonlinear uncertain systems with state and control delays.With linear matrix inequalities(LMIs), the suficifent condition for asymptotic stability of the fuzzy closed—-loop system in the actuator failure has been pro-・ posed,which guarantees the asymptotic stability of the closed—loop systems in all allowable uncertainties and that for a given quadratic cost function,the cost is bounded within a range.A convex optimization method based on LMI has been put forward for the design of the optimal guaranteed cost state feedback controller,which is used in system fault.Simulation results have verified the effectiveness of the proposed method. Keywords:nonlinear system;T-S fuzzy model;time—delay;guaranteed cost control;linear matrix inequality 设备运行的可靠性越来越引起人们的重视.容错 控制作为提高控制系统可靠性的一个重要手段,已成 为控制理论研究的一大热点.近年来,出现了许多有 关系统容错控制的研究成果lJ J.对于不确定系统保 成本的控制也引起了众多学者的关注,基于Riccati 方程和线性矩阵不等式(1inear matrix inequality, LMI)的处理方法取得了许多有价值的结果[6-9],其中 文献[6]研究了保成本及最优控制器的设计及滤波问 题,文献[7]推广了文献[6]的结果,研究了范数有界不 制律保证闭环系统稳定且成本函数有上界.文献[9] 对于给定的二次成本函数,研究了一类时滞系统具有 有界参数不确定的无记忆状态反馈保成本控制问题, 通过基于LMI的凸优化方法求得控制器使成本 最小. 当被控对象含有时滞和不确定性时,往往还含有 不同程度的非线性,难以建立精确的数学模型.因此 近年来,已有一些采用T—S模糊模型研究状态或控制 带有时滞的不确定非线性系统的容错与保成本控制 问题论文,如文献[10]应用LMI方法,对一类带有时 确定系统带有时间乘积的保成本控制问题,该成本函 数使系统状态快速趋于零而暂态响应时间缩短.文献 [8]研究了离散时间不确定系统基于状态反馈与静态 输出反馈的鲁棒二次保成本控制,通过LMI给出控 收稿日期: 2009—01-08:修回日期:2009—07.17. 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(60674019). 作者简介: 费向阳(1967一 滞不确定的模糊系统进行控制器设计,并且使得该模 糊控制器能保证闭环系统稳定和二次型性能指标具 有上界.文献[1 1]研究了基于状态反馈与动态输出反 ),男,讲师,xyfei@tju.edu.cn 通讯作者: 张围山,zhanggs@tju edu.cn 天 津 大 学 学 报 第43卷第5期 馈的非线性时滞系统T—S模糊模型的保成本控制问 题,通过平行分布补偿(PDC)方法,及时滞相关 Lyapunov函数方法,给出了个控制器存在的充分条 件,使用凸优化获得系统保持稳定时的时滞的上界, 并给出了成本函数次优上界的最小化方法.文献[12】 研究了状态具有变时滞的非线性系统的T.S模糊模 型的保成本控制问题,使用基于LMI的凸优化方法, 给出了基于状态反馈与基于观测器的输出反馈的保 成本控制器的设计.文献[13]给出了T.S模糊系统的 非脆弱保性能控制器存在的充分条件,并且使系统 H,性能最小化同时具有期望的H一指标下的干扰抑 制作用.文献[14]研究了不确定时滞系统的鲁棒容错 控制问题,基于T-S模糊模型,利用Lyapunov稳定性 理论与LMI,给出了对于传感器和执行器故障的鲁 棒容错控制方法.但就笔者所知,目前鲜有针对基于 T.s模糊模型、带有控制滞后的非线性系统的保成本 容错控制问题的研究.因此,研究带有控制滞后的不 确定时滞系统的模糊保成本容错控制具有一定的理 论和实际意义. 为此,针对一类带有控制和状态滞后的不确定 非线性时滞系统,基于T.S模型,笔者研究了系统在 执行器故障时的保成本容错控制问题,导出了状态反 馈保成本控制器存在的充分条件,该条件保证了对所 有允许不确定性,闭环系统是渐近稳定的,且对于一 个给定的二次型成本函数,能保证闭环成本值不超过 某个界.所得结论均以线性矩阵不等式的形式给出, 应用Matlab中的LMI工具箱,给出了最优保成本控 制器的设计并通过仿真验证了所给方法的有效性. 1 问题描述 考虑由如下T.S模糊模型所描述的具有控制与 状态滞后的不确定非线性时滞系统 R :If (t)is l and…and Zp( )is Then J贾( )=( +AA ) (≠)+( +△ ) (,一 )+ {( + ) (f)4-B2fu(t一 ),i=1,2,…, (1j 【x(t)= (,),f∈[一max(r1, ),0]. 式中: 表示T—s模糊模型的第i条规则,也称为模 糊子系统;z。( ),z:( ),…,Zp(f)为模糊规则的前件变 量; ,为模糊语言集合;x(t)E R 和 ( )∈R 分别 为系统的状态向量和控制向量.A 、A 、Bi和 为 已知的有适当维数的实矩阵, 、 和 为不确 定性矩阵函数,它们反映了系统模型中的不确定性; >0、T2>0为滞后时间常数; ( )为实值连续向量 函数. 假设不确定性是范数有界的,且满足 [ ]=Dif( ) E E 】(2) 式中:Di、E E 和E 为已知的具有适当维数的常 数实矩阵; (f)为一个具有Lebesgue可测元的未知 矩阵,且满足 (,) (f)≤Jr (3) 应用单点模糊化、乘积推理和中心加权反模糊化 推理方法_l引,可得全局模糊系统模型为 (,):∑ (z(,)){( ,+△ ) (f)+( +△,4 )・ i=1 x(t一 )+(B +△E)甜( )+B: u(t一 )} (4) 式中 z(t) 【Z1【 ),Z2(/),…,Zp(,)J, (z(z)): ,∑r (z( )):1, ∑ (z(f)) j=l (z(f))=兀M (z )) Mo.(z ))表示前件变量z )对应于模糊值 的隶 属度. 对系统(1)定义成本函数为 = 【XT(f) (f)+F(f) H(f)]df (5) 其中Q>0和R>0是给定的加权矩阵. 基于平行分布补偿(PDC)[161,本文考虑如下关于 模糊系统式(4)的模糊无记忆状态反馈控制律 R :If ZI( )is Mil and…and Zp(f)is Then ( )=K, ( ),i=1,2,…,r (6) 全局状态控制器可以表示为 ( )=∑ (z(,)) ( ) (7) i=1 控制系统在运行的过程中,由于某些元件出现故 障会导致系统失效,因此定义某执行器输出恒为零时 为该执行器失效,引人表示执行器发生故障的开关矩 阵上 ,其形式为 Li=diag(f1,fi2,…, ) i=1,2,…,r 式中 f 1表示第i条规则的第S个执行器正常 l 0表示第i条规则的第 个执行器故障 S=1,2,・一,m 假设控制器设计 .= =…=f,m=0是被排除 的,即不会 现所有执行器同时 现故障的情况,则 2010年5月 费向阳等:荩于T-S模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制 ‘419・ 含执行器故障的不确定参数的闭环系统为 (f)=∑∑ (z(f)) (z( )){G (f)+ 。 x(t一 )+ Hox(t— )}=∑留(z(,)){ (,)+ H¨x(t-r,)+H ,x(t一 )}+2∑ (z(f))‘ ,:(学 P(学)+ Pf ± 生 ± ± ]JP+ 2 ++21 U P+ +I f—H ̄/U]H7+—H 1 T]lP+ 2 / 2Q+K7RK/+KTRKi<0 式中1≤i, ≤r,且相应的性能指标满足 ( (f)){ -. 生 (,)+ (t- )+ (10) —旦— x(t )-r2) l (【8 ) 2 J 其中,G,,=A +△ +( ,+AB )上,K/,H1,=A +△/4 , H =B2,L Kj. 定义1 对时滞模糊系统式(8)和性能指标式 (5),如果仔在控制器式(6)和一个正数_, ,使得对所 有允许的不确定性和执行器故障,闭环系统渐近稳 定,.FL性能指标式(5)满足 ≤J ,则J 称为不确定 时滞模糊系统式(8)的一个性能上界,控制器式(6)称 为状态反馈容错保性能控制器. 引理1[" 对于给定的适当维数的任意常数矩阵 D、 和对称矩阵 ,若 S+DFE+E F D <0 成立,其中F F≤U,当且仅当存在某一常数£>0, 有 雌 叫[ J 引理2[ 对于任意适当维数的向量X、 和矩阵 I,,对任意正定矩阵 ,使得 +J, Y X≤ YU Y X+J, uy 2容错保成本控制器的设计 本文研究的问题:针对给定的模糊系统式(1),设 计相应的模糊无记忆状态反馈控制器式(7),使闭环 系统式(8)在执行器故障时,仍能保持渐近稳定,同时 使性能指标式(5)具有适当的成本上界,进而,优化这 个指标使其卜界最小化. 首先,给出关于不确定时滞系统式(4)无记忆状 态反馈保成本控制律存在的一个充分条件. 定理1 反馈控制律式(7)是一个保成本控制 律,如果对于不确定系统式(8)和一常数 >0,存在 公共正定矩阵P,U∈R 和矩阵 ,,使得对任意允许 的不确定性F(f),有如下矩阵不等式成立,即 S :GT P+PG+PAdtAlp+crPDDT li|P+ 2I+U+PH U P+Q+K TRK <0 (9) J≤J =妒 (0)P妒(0)+2 妒 )妒( )d + I ( ) ( )d 证明定义如下准Lyapunov函数 ( (f))=X (f) (≠)+2 I 1 (s)x(s)ds+ t ( ) ( )d (11) 式中,P为对称正定矩阵,U:P .显然 ( )>0, Vx≠0,则 ( (f))沿闭环系统式(8)的任意运动轨迹 的时间导数为 ( (f))=∑ (z(f)){ (f)( P+PGi ) (f)+ (,一r1)H,]Px(t)+X (t)PHI (,一 )+ (,一v2)H ̄Px(t)+X (t)PH x(t-re)}+ r2 ∽ ∽f[半卜 P(学]]x(t)+xr(t-r1)[ ] ・ Px(t)X +XT(( )P( — _ ) ( -I2 )+XT() t--)・). [ ]。Px(t)+xT(t)P[ ] .(≠一 )+2X’、( ) )一2x (f—r1)X(t—r1)+ XT( ) (f)一XT( 一r ̄)Ux(t一 )} (12) 对于任意实矩阵 ,A A≤ ( A)I成立.由 假设和引理2,可以得到 XT(f—v ̄)HTpx(t)+XT(t)PHl x(t—r1)≤ XT(t)PA T (,)+XT(,一 ) ( 一 )+ (f)PDiD Tex(O十 ( 一 ) (f一 ) (1 3) 成市.其中, = (E T,E ).令 =max( ),则由式 (13)进一步推得 XT 一 )H O)+XT(t)PH x(t一 )≤ XT(f)P( A T +crD D T) (f)+ 2x ( —Z"I) (f—TI) (14) ・420・ 天 津 大 学 学 报 第43卷第5期 同理可得 (f)+2∑hi(z(,)) (z(f) (f) )( ( Xy(f)PI i l A≈AT 七6D 3 七oDl 2 i<j ( 一2Q一 T麟,一KjTRKi)x(t)(18) 由条件式(9)和式(10),可得 矿( (f))≤一∑∑ (z(f)) ,(z( )) (f). i=1 j:l (Q+K RKj)x(t)=一 ). Qx(t)一lgT(t)Ru(t)<0 (15) .(19) Px(t)+2x (≠-T1)x(t一 ) 类似地 X (t一 )H TPx(t)+ )朋ff ( ~ )≤ 因此,闭环模糊控制系统式(8)是渐近稳定的进一步 利用初始条件式(1),可得 J= [ ( )Qx( )+UT(t)Ru(t)]dt≤ XT(t)PHifU~H Tp ( )+ (0)P (0)+2 I (s)x(s)ds+ (16) Xy(t-r2)vx(t一 ) ,L X (s)Ux(s)ds≤ (0)P (0)+ (半 卅 . (半 盟]. (17) 2£ 0) )d +£ 0)(厂 )d 由定义1知,定理1的结论成立.证毕. 由于式(9)和式(10)为非线性矩阵不等式,求解 网难,下面给出其LMI的形式. 定理2 f 矿( ( ))≤ (1)存在公共的对称正定阵P,UU,使得矩阵不 等式(9)和(10)成立,当且仅当存在正数 , (f< ), Px(t)+x (,一v2)Ux(t一 ) 将式(13)~式(17)代人式(12),得 ( (f)) (,)( —Q—KTRK ̄). E X+E2lLw t一矩阵 和公共正定阵 ,使得如下线性矩阵不等式 成立,即 BnL l X X w £.I 一0 I 0 o I 0 8 o 0 o <0 o (20) 一 一Q 一 0 fj一基 £ I :}: LjW B2i口 s, 1 术 一冰 0  球 半 球 木 掌 一 口 D 4 <0 (21) d— 0 一 ,’ 费向阳等:基于T-S模糊模型的不确定非线性系统的容错保成本控制 式中 =AX+XAv +BIlLwl+w B +A l+ +£、D +I r |=A—X+XA +A X+XAI+B Liwi+ w +B|Lw|+W +A“AnT + +( +eo)DiO,T+( + )DjO,T+ 2J =(E X+E 厶 ) (2)对于系统式(8),如果线性矩阵不等式(20)、 (21)有可行解Ei>0, ,>o(i<J),wi,X>0,则无记 忆状态反馈控制律 ( )=∑ (z(f)) (f) (22) i=1 是系统的一个保成本控制律,且 J = (0) (0)+2厂. (s)O(s)ds+ r. (s)x X ( )d (23) 是系统的一个保成本性能指标. 证明 (1)因为 =PAi+ P+PB LiK + P+PDi (f) (巨 +E2 ‘Ki)+(巨 十E2 厶Ki) (f) P+ PAmA tP+o'PD ̄D P+2l七U+PBhLiKlU一・ (B2 f) P+Q+Kf RK,<0 上式两端左右同时乘尸,并用引理1,则等价于 AtP +P A +B1LtKiP_+P EB + P (E1,+E2 ‘ (E1f+E2 LiKi)- P_’+£ D+Ad l| + ̄D,D7+2P一. JP 十P—UP + 2 KiU (B2 厶 ) + P Qp 十P~K,TRK P一<0 (24) 令X=P~, =KiP“。。,则由Schur补可得式(24)等价 于式(20).同理,式(10)等价于式(21). (2)由定理1证明可得.证毕. 定理2提供了~组保性能控制律的参数化表示, 这一参数化表示可用来求取使得性能指标值的上界 尽可能小的最优保成本控制律. 定理3考虑系统式(1)和性能指标式(5),如果 以下优化问题 x, 咖 (0) (0)+tr(Ⅳ)+tr( ) (25) (1)式(20)和式(21)成立 (2)『 l-一 ,lJ —  l<0 (3)1l 一f (1+ ) ]<0 (1+ 一(1+a)i l (4) Ⅳ M l<0 L朋 一』 有解 ,Ci, </),M,N, ,则 H (f)=∑ (i=l z( )) x(O 是系统的一个最优保成本控制律.其中 t,o T I. (s)O(s)ds I (s)O(s)ds 证明引进 ,其中 为对称矩阵,使得X <M,则 (o)x (0)≤ (O) (0) 同理 £ ( ) — (s)d ≤£矿( ) ( )d tr( M ) 其中 是满足 (s)O(s)ds 的矩阵. 引进 ,使得2 <rl,则 2£ ( ) ( )d =2£tr( ) ))d = tr(2 )<tr( ) 其中 是满足 (s)O(s)ds 的矩阵.所以,式 (23)可变换为 ≤ (0) (0)+tr( M )+tr( ) 进一步引入矩阵N,使得 M 仍<N,则 tr( M )<tr(N) 且tr(N)的最小化可以保证tr( M )的最小化,且 可得 ≤9 (0) (0)+tr(N)+tr(f) 又因为 <Ⅳ可等价地表示成线性矩阵不等式 l 定理得证. 因为式(25)是一个具有线性矩阵不等式约束的 凸优化问题,因此,可以应用凸优化技术来求解该问 题的全局最优解. 如果考虑执行器故障但执行器的输出不恒为零 的情况,此时,取fis=%(O< <1),这时上面结果仍 然成立.下一部分故障情况2即给出了某些故障下 =0.5时的仿真结果. 3仿真研究 为了说明控制器的有效性,以文献[19]的非线性 系统加控制滞后为例用T-S模糊模型进行描述,即 规则1 If X1( )is l,then ・422・ 天 津 大 (f)=(Al+All1) (f)+A1dx(t一 )+ Blu(t)+Bl u(t— ) 规则2 If Xz(t)is Ml2,then (f)=(A2+AA2) (,)+A2 x(t一 )+ 正f(f)+ d (,一 ) 隶属度函数为 MlI(x2(,))_l- M12( )=1一MI.(x2(,))= 其中 ( )=[ (,)X2(f)]‘,Xl( )∈[-1.5 1.5], X2(f)∈[-1.5 1.5], 4 =[l 一。’1 2 5一。0。2], =[l 一。・。0 2 5一。 0。。5]{, {l -0.1l 12 5一1.05 27  lfI -0.00l 2 5-00.2 I3 l , B l1 0 l  l0.1 0 l l=B2 l 0 1 d=B2a f 0 1 l, AAl=DI (f) AA2=D2 (f)E12 Dl=D:=[-0.112 5 0】 ,E 。=E :=[1 0] 考虑执行器故障分2种情况 况1:厶=diag[1 0],L :diag[0 1]. 1情况2:厶=diag[1 1/2],L2=diag[1/2 1]. 按定理3的LMIs进行优化,可得到 = lj.3—‘。42= -0  0423 0 . 09573  lIK『-5. l8554-2.988 5 l =,一2.965 9—7.556 7jl  K 『-8.9464-4.2000 I =l I 一/-1.865 2—5.157 0j 取式(2 2)的控制律,以初始状态为X1(0)= 一1,X,(0)=一1.2,图1为系统在执行器无故障时的状 态曲线,图2为系统在执行器故障情况1时的状态曲 线,图3为系统在执行器故障情况2时的状态曲线, r/ 图1系统正常时状态曲线 Fig.1 State curves of system in normal operation 学 学 报 第43卷第5期 图2系统故障1时状态曲线 Fig.2 State curves of system in failure case 1 : 图3系统故障2时状态曲线 Fig.3 State cuFves of system in failure case 2 如图1~图3所示,系统在执行器故障时仍能很快达 到稳定,且系统最优性能指标为J =31.851 5. 4结语 利用模糊T-S模型对一类不确定非线性时滞系 统进行建模,结合一个二次型成本指标,采用线性矩 阵不等式的方法,得到系统执行器故障时的保成本容 错控制律的一个充分条件.利用求解线性矩阵不等式 的方法给 了保成本控制律的设计.最后应用基于 LMI的凸优化方法,实现了针对系统故障的最优保成 本状态反馈控制器设计.数值算例仿真结果表明,本 文提出的保成本容错控制设计方法是有效的. 参考文献: 周东华.叶银忠.现代故障诊断与容错控制[M].北 京:清华大学H;版社,2000. 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