初一数学竞赛专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线

阅读与思考

在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行.

当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定

(1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行；

(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质

(1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；

(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形：

例题与求解

【例1】 (1) 如图①，AB∥DE，∠ABC＝80，∠CDE＝140，则∠BCD＝__________.

（安徽省中考试题）

(2) 如图②，已知直线AB∥CD，∠C＝115，∠A＝25，则∠E＝___________.

（浙江省杭州市中考试题）

E0000A

B D E ABFCD

C 图1

图②

解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解.

【例2】如图，平行直线AB，CD与相交直线EF，GH相交，图中的同旁内角共有( )． A．4对 B．8对 C．12对 D．16对

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手．

AEGACBDEFB

HFDC

例2题图 例3题图

【例3】 如图，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，求证：∠EDF＝∠BDF.

（天津市竞赛试题）

解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形．

【例4】 如图，已知AB∥CD，∠EAF＝

113∠EAB，∠FCF＝∠ECD.求证：∠AFC＝∠AEC. 444 （湖北省武汉市竞赛试题）

解题思路：分别过点E，F作平行线，利用平行线的性质找角之间的关系.

AECFDBD E 2 F A 1 B

C

例4题图 例5题图

【例5】如图，已知∠1＝ ∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F.

解题思路：从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系，是解这类问题的基本思路.

【例6】(1)已知平面内有4条直线a，b，c和d，直线a，b和c相交于一点，直线b，c和d也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．

(2)作第5条直线e与(1)中的直线d平行. 说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：(1)先设直线a，b，c的交点为P，直线b，c，d的交点为Q，证得P与Q实为同一点，得出结论．

(2)绘出图形，帮助解答，注意平行线的性质.

能力训练

A级

a3…，a10十条直线，a2⊥a3，a3//a4，a4⊥a5，a5//a6， 1．在同一平面内有a1，a2，如果a1//a2，a6⊥a7，…，那么a1与a10的位置关系是____________.

2．如图，已知AE∥BD，∠1＝130，∠2＝30，则∠C＝__________．

（湖南省常德市中考试题）

3．如图，直线a，b都与直线c相交，下列命题中，能判断a∥b的条件是_____________（把你认为正确的序号填在横线上）

①∠1＝∠2； ②∠3＝∠6； ③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝180．

（陕西省中考试题）

000AE5732411BCDa1b2第4题图286第2题图

第3题图

4. 将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2__________.

（山东省烟台市中考试题）

5．下面四个命题中正确的是( )．

A．相等的两个角是对顶角 B．和等于180的两个角互为邻补角 C．连结两点的最短线是过这两点的直线

0

D．两条直线相交所成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直

（“希望杯”邀请赛试题）

6．下列命题

①两条相交直线组成的四个角相等，则这两直线垂直．

②两条相交直线组成的四个角中，若有一个直角，则四角都相等． ③两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两直线垂直． ④两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两直线垂直． 其中正确的有( )．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

7．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中与∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的个数是( )． A.2 B．4 C．5 D．6

（山东省菏泽地区中考试题）

8．如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上，设与∠ɑ相等的角的个数为m（不包括∠a本身），与∠互补的角的个数为n．若a≠，则m＋n的值是( )． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

DHABEAGEDCβG第8题图FαBF第7题图0CH

9．如图，已知AB∥ED，∠NCB＝30，CM平分∠BCE，CN⊥CM，求∠B的度数．

10.如图，已知E是AB，CD外一点，∠D＝∠B＋∠E，求证：AB∥CD.

EMABCDN

11.平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能办到？

（吉林省竞赛试题）

EABCD

12.如图，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求证：AB//GF.

（重庆市竞赛试题）

B级

1. 如图，∠A＝60，∠1＝∠2，则∠ADC的度数是___________. 2．如图，直线a∥b，那么x的度数是____________.

（五城市联赛试题）

120°aAED0AxB12C第1题图D30°48°30°第2题图BbC'第3题图0D'CF

3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置，若∠EFB＝65，则∠AED'＝__________.

（山东省中考试题）

4．如图，已知DE∥BC，∠2＝70，∠1＝40，那∠EBA的度数是_____________.

00C1124kE2

ADB3

l

第4题图 第5题图

5. 如图，直线k∥l，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d＞0．其中∠3＜90，∠1＝50，则∠4最大可能的整数值是( )．

A. 1070 B．1080 C．1090 D．1100

6. 如图，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC＋∠ACE＋∠CEH等于( )． A．1800 B．2700

C．3600 D．4500

(北京市竞赛试题）

7．如图，两直线AB，CD平行，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ( )． A．6300 B. 7200 C．8000 D. 9000

（“希望杯”邀请赛试题）

00AABCHDEFC1EBFGD

2534H6 第6题图 第7题图

8．两条直线a，b互相平行，直线a上顺次有10个点A1，A2…，A10，直线b上顺次有9个点B1，B2，…，B3，将a上每一个点与b上每一个点相连可得线段．若没有三条线段相交于同一点，则这些线段的交点个数是( )

A. 90 B.1620 C.6480 D.2006

9．如图，已知两条平行线AB，CD被直线EF所截，交点分别为G，H，P为HD上任意一点，过P点的直线交HF于O点，求证：∠HOP＝∠AGF－∠HPO.

EABCOFPD

10．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD.求FC的长．

(2013年“《数学周报》”杯竞赛试题)

AFBDMC

11．平面上有七条两两不平行的直线，试证：其中必有直线的交角小于260．

（莫斯科八年级竞赛试题）

12．⑴如图①，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝_________.

如图②，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝_________.

如图③，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_________.

如图④，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝_________.

从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论. M A1

M A1 A2

A4

M A1

A2 A3

N

图①

A2

N A3

图②

M A2 A3 A4

N A5

图④

（第21题）

N An

A6

N

图③ A1

A2 A3 A4 A5

图⑤

M A1

（2）如图5，MA1||NAn，则A1A2A3An .

（3）利用上述结论解决问题：如图已知AB||CD，ABE和CDE的平分线相交于F，E140，求BFD的度数.

A F

B

E



C

D

图⑥

专题24 相交线与平行线

例1 （1）40° 过点 C 作CF∥AB，则∠BCF＝∠ABC＝80°．∠DCF＝180°—140°＝40°，∴∠BCD＝80°－40°=40°. （2）90° 过点E作EM∥AB，∴AB∥CD，∴EM∥CD，∠AEM=180°25°=155°. ∠CEM=180°115°=65°，∴∠E=∠AEM∠CEM=155°65°=90°.

例2 D 提示：原图可分解为8个基本图形.

例3 提示：由DF∥CE得，∠BDF=∠BCE，∠FDE=∠DEC，AC∥DE，得∠DEC=∠ECA. 例4 过E作EM∥AB.∴AB∥于CD，∴EM∥CD.

∴∠AEC=∠AEM+∠CEM=∠EAB+∠ECD.同理：∠AFC=∠FAB+∠FCD.∴∠AEC=∠FAB+∠FCD+∠

EAF+∠ECF=∠AFC+∠EAB++∠ECD=∠AFC+∠AEC.故∠AFC=∠AEC.

b，c直同只线d直

例5 提示：先证BD∥CE，再证DF∥BC.

例6 （1）直线a，b，c，d共有1个交点，理由如下：设直线a，的交点为P，直线b，c，d的交点为Q.这意味着点P和点Q都是线b和c的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此P和Q必为一个点.即4条直线a，b，c和d相交于同一个点.因此这4条直线有一个交点.

(2)不妨设（1）中交点为O.因为作的第5条直线e与（1）中的直平行，所以直线e和直线d没有公共点，因此这些e不过点O.而线a，b，c与直线e必然都相交. 如图所示.

设直线e与直线a，b，c分别相交于点A，B，C.这时有A，B，C，O共四个不同的点.可以连出OB，OC，AB，AC，BC共6条不同的线段.

OA，

A级

1.∥ 2.20° 3.①②③④ 4.90° 5.D 6.B 7.C 8.D 提示：

m=5，

n=6，m+n=5+6=11. 9.60° 10.提示：过点E作EF∥AB. 11如图所示.

12.作CK∥FG，延长GF，CD交于H点，则∠1+∠2=∠ABC，故∠ABC+∠BCK=180°，即CK∥AB，AB∥GF.

B级

1.120°2.72°3.50°4.30°5.C 提示：∠2=50°+d，∠3=50°+2d，∠4=50°+3d，又∵∠3=50°+2d<90°，∴d<20°，∠4=50°+3d<110°.故∠4的最大整数值为109°. 6.B 7.D

8.B 提示：由题意知每一个交点由a上两点和b上两点所确定.在a上取

两点有种情况，在b上取两点有种情况，

故交点个数为4536=1620个.

9.提示：过点O作CD的平行线.

10.如图，设N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB.

又MF∥AD，∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN.

∴FN=MN=AB.

因此FC=FN+NC=AB+AC=AB+AC）=（7+11）=9.

11.提示：在平面上任取一点O，将已知的七条直线平移过点O，它们把以O为圆心的圆周角分成14个彼此相邻的角,,……，其中的每一个都和原来某两条直线交角中的一个相等，假设(i=1,2,……,14)

都大于，则++……+>14=360°，与++……+

12.(1)180° 360° 540° 720° 证明略.（2）（n-1）180° （3）过F作FG∥AB，则AB∥FG∥CD.

则∠BFD=（∠ABE+∠CDE），又∠ABE+∠CDE+∠E=360°，得∠ABE+∠CDE=220°，故∠BFD=110°