东城区 2019—2020 学年度第二学期初三数学统一测试（含
答案解析）
初三数学
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 ．．
1．2019 年上半年北京市实现地区生产总值 15 212.5 亿元，同比增长 6.3%.总体来看，经济保持平稳运 行，高质量发展. 将数据 15 212.5 用科学计数法表示应为
A．1.521 25×105 C．0.152 125×105
B．1.521 25×104 D．0.152 125×106
球
D. 圆柱
2020．5
2. 如图是某几何体的三视图,该几何体是
A.长方体 B.正方体
3. 如图，将一块含有30 的直角三角板的顶点放在直尺的一边上.若1 = 48 ，那么2 的度数是
A． 48 B． 78 C． 92 D．102
4. 将 2a2﹣8 分解因式，结果正确的是 A．2（a2﹣4） C．2（a+2）（a﹣2）
B．2（a﹣2）2 D．2（a+2）2
5. 点 O,A,B,C 在数轴上的位置如图所示,O 为原点,AC＝1,OA＝OB,若点 C 所表示的数为 a,则点 B 所表示的数为
A.－(a+1)
B.－(a－1)
C.a+1
D.a－1
6. 已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 OB MN ，交射线
于 点 D，连接 CD；
(2) 分别以点 C，D 为圆心， CD 长为半径作弧，两弧交于点 P，连接 CP，DP；
1
（3）作射线 OP 交 CD 于点 Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 ．．
2
A．CP∥OB
C．∠AOP=∠BOP
B．CP= 2QC D．CD ⊥ OP
7. 将 4 张长为 a、宽为 b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空 白部分的面积之和为 S1，阴影部分的面积之和为 S2．若 S1＝ S2，则 a，b 满足
5
3
A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b
8. 党的十八大以来，全国各地认真贯彻精准扶贫方略，扶贫工作力度、深度和精准度都达到了新的水平， 为
2020 年全面建成小康社会的战略目标打下了坚实基础.以下是根据近几年中国农村贫困人口数量 （单位：万人）及分布情况绘制的统计图表的一部分.
2017 2018 2019 人数 地区 年份 东部 中部 西部
300 1 112 1 634 147 916 47 181 323 （以上数据来源于国家统计局）
根据统计图表提供的信息，下面推断不正确的是 A. 2018 年中部地区农村贫困人口为 597 万人
B. 2017-2019 年，农村贫困人口数量都是东部最少 C. 2016-2019 年，农村贫困人口减少数量逐年增多
D. 2017-2019 年，虽然西部农村贫困人口减少数量最多，但是相对于东、中部地区，它的降低率最低
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 若 2x −1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是
．
．
10. 随机从 1，2，3，4 中任取两个不同的数，分别记为 a 和b，则a+b＞4 的概率是 11．若 x+ x − 3 = 0 ，则代数式 2(x-2)(x+2)－x(x－1)的值是
2
．
．
12. 如果一个正 n 边形的每个内角为108 ，那么这个正 n 边形的边数为
3
13. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得
酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值 50 钱；行酒（劣质酒） 1 斗，价值 10 钱.现有 30 钱，买得 2 斗酒.问醇酒、行酒各能买得多少？ 设醇酒为 x 斗，行酒为 y 斗，则可列二元一次方程组为
．
14. 如图，半径为
3 的⊙O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB，BC 都相切．连接
．
OC，则 tan∠OCB＝
15. 甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程 s（米）与时间t（秒）之间的
函数图象如图所示，根据图象有以下四个判断：
○ 1 乙队率先到达终点 ；
○ 2 甲队比乙队多走了 126 米；
○ 3 在 47.8 秒时，两队所走路程相等；
○ 4 从出发到 13.7 秒的时间段内，甲队的速度比乙队的
慢.所以正确判断的序号是 ．
16. 从-1，0，2，3 四个数中任取两个不同的数（记作 ak，bk）构成一个数对 MK={ak，bk}（其中k=1，2…s，
且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数对），若满足：对于任意的 Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤s， 1≤j≤s）都有 ai+bi≠aj+bj，则 s 的最大值是 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： −
．
三、解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27-28 题,每小题 7
− (3 − π)+ 2cos60 + 1 −1 .
（ ） 3
2
0
18.
2x − 6 3x，
解不等式组： x + 2 − x −1 0.
5 4
19. 观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果.
x − 3 3x
． =解分式方程：1−
2x + 2 x +1
解：去分母，得 2x+2﹣（x﹣3）＝3x ...................................... 步骤 1
4
去括号，得 2x + 2 − x − 3 = 3x .................................... 步骤 2 移项，得
2x − x − 3x = 2 − 3 ....................................... 步骤 3
1 .......................................................... 2
1 ............................................ 2
合并同类项，得−2x = −1 ................................................... 步骤 4 解得
x =
步骤 5 步骤 6
x = 所以，原分式方程的解为
20. 已知关于 x 的方程 ax2+2x－3＝0 有两个不相等的实数根.
（1） 求 a 的取值范围；
（2） 若此方程的一个实数根为 1，求 a 的值及方程的另一个实数根.
21.
如图，在菱形 ABCD 中，BE⊥CD 于点 E，DF⊥BC 于点 F.
（1） 求证：BF=DE；
（2） 分别延长 BE 和 AD，交于点 G，若∠A=45°时，求
DG
22. AD
m
如图，一次函数 y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 y = （m≠0，x＞0）的图象在第一象限交于
x
点 A,B，且该一次函数的图象与 y 轴正半轴交于点 C，过 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 D，E．已
的值.
CD 1 知 A（1，4）， = ．
CE 4
（1） 求 m 的值和一次函数的解析式；
（2） 若点 M 为反比例函数图象在 A,B 之间的动点，作射线 OM 交直线 AB 于点 N，当 MN 长度最大
时，直接写出点 M 的坐标．
23. 如图，直线l 与⊙ O 相离，OA ⊥ l 于点 A ，与⊙ O 相交于点 P ，OA = 5 . C
是直线l 上一点，连接CP 并延长，交⊙ O 于点 B ，且 AB = AC .
（1） 求证： AB 是⊙ O 的切线；
1
（2） 若tan∠ACB =
2
，求线段 BP 的长.
5
24. 人口数据又称为人口统计数据，是指国家和地区的相关人口管理部门通过户口登记、人口普查等方式 统计得出的相关数据汇总.人口数据对国家和地区的人口状况、管理以及制定各项方针政策的制定都具 有重要的意义.下面是关于人口统计数据的部分信息.
a.2018 年中国大陆（不含港澳台）31 个地区人口数量（单位：千万人）频数分布直方图（数据分成 6
组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x≤12）：
b.人口数量在 2≤x＜4 这一组的是：
2.2 2.4 2.5 2.5 2.6 2.7 3.1 3.6 3.7 3.8 3.9 3.9
c.2018 年中国大陆（不含港澳台）31 个地区人口数量（单位：千万人）、出生率（单位：‰）、死亡率（单位：‰）的散点图：
d. 下表是我国三次人口普查中年龄结构构成情况： 0-14 岁人口比例 第二次人口普查 第五次人口普查 第六次人口普查 40.4% 22.89% 16.6% 15-59 岁人口比例 54.1% 66.78% 70.14% 60 岁及以上人口比例 5.5% 10.33% 13.26% e. 世界各国的人口出生率差别很大，出生率可分为五等，最高>50‰,最低<20‰,2018 年我国人口出生
率降低至 10.94‰，比 2017 年下降 1.43 个千分点.
根据以上信息，回答下列问题 （1）2018 年北京人口为 2.2 千万人，我国大陆（不含港澳台）地区中，人口数量从低到高排列，北
京排在第 位.
6
（2） 人口增长率=人口出生率-人口死亡率，我国大陆（不含港澳台）地区中人口在 2018 年出现负增
长的地区有 个，在这些地区中，人口数量最少的地区人数为 千万人.(保留小数点后一位）
（3） 下列说法中合理的是
① 我国人口基数较大，即使是人口出生率和增长率都缓慢增长的前提下，人口总数仍然是在不断攀升的，所以我国计划生育的基本国策是不变的； ② 随着我国老龄化越来越严重，所以出台了“二孩政策”，目的是为了缓解老龄化的压力.
25. 如图，P 是线段 AB 上的一点，AB=6cm，O 是 AB 外一定点．连接 OP，将 OP 绕点 O 顺时针旋转 120°
得 OQ，连接 PQ，AQ．
小明根据学习函数的经验，对线段 AP，PQ，AQ 的长度之间的关系进行了探
究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1） 对于点 P 在 AB 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 AP，PQ，AQ 的长度（单位：cm）的
几组值，如下表：
位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 AP PQ AQ 0.00 4.00 4.00 1.00 2.31 3.08 2.00 0.84 2.23 3.00 1.43 1.57 4.00 3.07 1.40 5.00 4.77 1.85 6.00 6.49 2.63 的长度和
在 AP，PQ，AQ 的长度这三个量中，确定 的长度都是这个自变量的函数；
的长度是自变量，
（2） 在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3） 结合函数图象，解决问题：当 AQ=PQ 时，线段 AP 的长度约为 cm．
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点．直线 y=ax 与
抛物线 y=ax2 -2ax-1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为 W. (1) 求抛物线顶点坐标（用含 a 的式子表示）； (2) 当 a= 时，写出区域 W 内的所有整点坐标；
1
2
7
(3) 若区域 W 内有 3 个整点，求 a 的取值范围.
27. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=3， M 是 CD 边上一动点（不与 D 点重合），点 D 与点 E 关于 AM 所
在的直线对称，连接 AE，ME，延长 CB 到点 F，使得 BF=DM，连接 EF，AF. （1） 依题意补全图 1； （2） 若 DM=1，求线段 EF 的长；
（3） 当点 M 在 CD 边上运动时，能使△AEF 为等腰三角形，直接写出此时 tan∠DAM 的值.
28. 在△ABC 中，CD 是△ABC 的中线， 如果CD 上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则CD 称为△ABC的中
线弧．
（1） 如图，在 Rt△ABC 中， ACB = 90，AC=1，D 是 AB 的中点．
①如图 1，若∠A=45 ，画出△ABC 的一条中线弧CD ，直接写出△ABC 的中线弧CD 所在圆的半径 r 的最小值；
②如图 2，若A = 60，求出△ABC 的最长的中线弧CD 的弧长 l．
图 1 图 2
（2） 在平面直角坐标系中，已知点 A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC 中，D 是 AB 的中
点．求△ABC 的中线弧CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标 t 的取值范围．
8
东城区 2019—2020 学年度第二学期初三年级统一测试（一）
数学参考答案及评分标准 2020.5
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 题号 1 2 3 4 答案 B D D C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9． x
5 B 6 A 7 C 8 C 1
2
50x +10 y = 30, 13．
x + y = 2.
10．
2
3
3
5
11． −5
3 ○4 15．○12．5 16．5
14．
三.解答题（本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题每小题 7
分）
17. 解：原式=
=
18. 解：
3 −1+1+ 2 -----------------4 分 3 + 2. ------------------------------------------ 5 分
1 得，x＞－6. ------------------------------- 由○2 分 2 得，x≤13. --------------------------------- 由○4 分
∴不等式的解集为－6＜x≤13 --------------- 5 分
19. 解：错误的步骤是：第一步、第二步、第三步、第六步，理由略 ---------- 4 分
正确的结果是 x = 1 . ------------------------------------------------------------------- 5 分
20. 解：（1）∵关于 x 的方程 ax2+2x－3＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且 a≠0.
即 2-4a (−3)＞0 ，且 a≠0．
1 a＞ − 且 a≠0. --------------------------------- 3 分 ∴
3
（2）将 x = 1 代入方程 ax2+2x－3＝0，
解得 a = 1 .
将 a = 1 代入方程 ax2+2x－3＝0，
解方程得 x1 = 1, x2 = −3. ∴ 方程的另一个根为 x = −3.
2
-----------------5 分
21.
解：（1）证明：∵四边形 ABCD 为菱形，
∴ CB=CD.
又∵ BE⊥CD 于点 E，DF⊥BC 于点 F，
∴ ∠BEC=∠DFC=90°.
∵ ∠C=∠C，
∴ △BEC≌△DFC.
∴ EC=FC.
9
∴ BF=DE ------------------------------------ 2 分
（2） 设 AD=
2 a，
∵∠A=45°，
∴△DEG 和△BEC 都是等腰直角三角形.
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴
DG DG DE
= = .AD BC CE
可求出CE = a, DE = ( 2 −1)a .
∴
DG
= 2-1 --------------------------------- 5 分 AD
m
,
22.解：（1）将点 A（4，1）代入 y =
x
得 m = 4 .
∴反比例函数解析式为 y = .
4
x
∵BE⊥y 轴，AD⊥y 轴，
∴∠CEB＝∠CDA＝90°.
∴△CDA∽△CEB.
∴ ∵
CD AD
= .CE BE
CD 1
= ， CE 4
∴BE＝4AD.
∵A（1，4），
∴AD＝1.
∴BE＝4.
∴xB＝4. ∴yB= =1.
x ∴B（4，1）.
4
将 A（1，4），B（4，1）代入 y＝kx+b，
10
k + b = 4, 得，
4 k + b = 1.
解得，k＝﹣1，b＝5.
∴一次函数的解析式为 y＝﹣x+5 .............................................................. 3 分
（2）当 MN 长度最大时，点 M 的坐标为（2，2） ....................... 5 分
23. 解：(1) 证明：如图，连结OB ，则OP = OB . OBP = OPB = CPA . AB = AC ， ACB = ABC .
而OA ⊥ l ，即OAC = 90 . ACB + CPA = 90 . 即ABP + OBP = 90 . ABO = 90 ，
OB ⊥ AB ，故 AB 是⊙ O 的切线 .............................. 2 分
1 tan∠ACB = ， （2）∵
2
∴ 在 Rt△ACP 中，设 AP=x,AC=2x. ∵ OA = 5 ， ∴ OP = 5 − x . ∴ OB = 5 − x . AB = AC ， ∴ AB = 2 x . ∵ ABO = 90 ， 由勾股定理，得OB+ AB= OA.
2
2
2
即（5-x)+（2x）= 5. 解 得 x = 2 . ∴ AP=2. ∴ OB = OP = 3 . ∴ AB = AC = 4 . ∴ CP = 2 5 .
过O 作OD ⊥ PB 于 D ， 在△ODP 和△CAP 中，
2
2
2
OPD = CPA ， ODP = CAP = 90 ， ∴△ODP ∽△CAP .
PD OP OD
= = .PA CP CA
10
PD =
OP PA 3
= 5 . CP 5
6
BP = 2PD = 5 ............................................ 6 分
5
24. 解： （1）6； -------------------------- 2 分 （2）2，3.8； --------------------4 分 （3）①② . ---------------------------------- 6 分
25.解： (1)AP，PQ，AQ； ------------------ 3 分
(2) 如图所示：
-----------------5 分
(3) 线段 AP 的长度约为 3.07cm． -----------6 分
26．解：（1）y=ax2 -2ax-1= a(x −1)2 − a −1 .
∴ 抛物线顶点坐标为（1， -a-1） ------------ 2 分
（2） 当 a= 时，画出直线 y= x 和抛物线 y =
1 1 1
2
2
x2 − x −1围成的封闭区域 W.
2
∴ 区域 W 内的所有整点坐标分别为(1,0)，(2,0)，(1,-1)，(3,1) ----------------- 4 分
1 a＞0 ， （3）○当 a= 时，区域 W 内的所有整点有 4 个；当 a＞ 时，区域 W 内的所有整点多于 3 个；当
1 2
1
2
1
1 1
＜a＜时，区域 W 内的所有整点有 4 个；当 a= 时，区域 W 内的所有整点有 3 个；当 3 2 3
1
0＜a＜时，区域 W 内的所有整点多于 3 个.
3
○ 2 a＜0 ，
11
当-1≤a＜0 时，区域 W 内的所有整点有 0 个；当 a＜− 时，区域 W 内的所有整点多于 3 个.
3
2
∴ 区域 W 内有 3 个整点，a 的取值范围是- a −1.
3
2
综上，a 的取值范围是 a= 或- a −1. ----------------------- 6 分
1 3
3 2
27. 解：（1）补全图形如图 1 所示. ------------------------------------------------- 1 分
（2）如图 2，连接 BM．
∵点 D 与点 E 关于 AM 所在的直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°.
又∵DM = BF，
图 1
∴△ADM≌△ABF.
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD．
∴∠FAB=∠MAE.
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE=∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF=BM．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=CD=AB=3．
图 2
∵DM=1，
∴CM=2．
∴在 Rt△BCM 中，BM= CM 2 + BC2 = 13 .
∴EF= 13 . ---------------------------------------------------------------- 5 分
（3） 当点 M 在 CD 边上运动时，若使△AEF 为等腰三角形，则
tan∠DAM=1 或 .
1
2
…………………………………7 分
28．（1）①如图（答案不唯一）
12
中线弧CD 所在圆的半径 r 的最小值为 ． ------------------- 2 分 ②当中线弧CD 所在圆与 AC，AB 都相切时，中线弧CD 的弧长 l 最大．
1
2
如图，此时中线弧CD 所在圆的圆心在 BC 上，半径为
3 3
．
所以最大弧长 l =
120 3 2 3
2π = π ． ----------- 3 分
9 360 3
(2) △ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心 P 在 CD 的垂直平分线上．如图，若中弧线CD 在 CD 下方，
当中弧线CD 所在圆与 BC 相切时，可得圆心 P 的坐标为（0,5）．
所以△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标t 5 ．如图，若中弧线CD 在 CD 上方，
13
当中弧线CD 所在圆与 AC 相切时，可得圆心 P 的坐标为（ ， − ）．
5 5
2 2
所以△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标t − ．
5
5
t 5 或t − ．
2
2
综上，△ABC 的中弧线CD 所在圆的圆心 P 的纵坐标 t 的取值范围为：
……………………………………………………7 分
14
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