北理工信号与系统4

§4.1 引言

连续信号卷积积分以(t)为基准信号

时域分析

离散信号卷积和

]以[n为基准信号

t连续信号付里叶分析以ej为基准信号

频域分析

连续系统付里叶分析

ejtejn离散信号与系统付里叶分析

连续信号拉氏变换法以离散信号Z变换法

以

est为基准信号zn为基准信号

以ejt作为基准信号的原因

要求分量必须满足正交性，完备性§4.2 复指数函数的正交性1、矢量的正交

v2v1v2v1v2cosQQ当v1v2时Q90cos900v1v20v1点积为零矢量正交

当v1与v2重合时Q0cos01v1v2k点积为常数

vmvekmvmve0meme2、函数的正交

如果在区间(t1,t2)内，一个复函数集{(t),(t),...,(t)}01n中的各个复函数间，满足如下条件

t20

*mmnt1n(t)(t)dtk

mn一个常数k,则称{n(t)}n=0,1,2…N为正交函数集注意几点：

1、一个实函数，则(t)m(t)正交公式将变为

*mt20

*mmnt1n(t)(t)dtk

mn、以上式中，如果k=1,则称{n(t)}，n=0,1,2…3为归一化的正交函数集

3、当在区间(t1,t2)内，对于正交函数集{n(t)}如果我们再也找不到一个函数(t)使能满足

t2t1(t)(t)dt0*mm=0,1,2,…N

则称此函数集{n(t)}n=0,1,2,…是完备的

Nx(t)c00(t)c11(t)...cNN(t)cnn(t)n0、系数cn的计算

由x(t)c00(t)c11(t)...cNN(t)两边积分

t2t1x(t)(t)dt(t)cnn(t)dt*mt1*mn0t2Nenn(t)(t)dtn0t1*mNt2由于(t)和n(t)满足正交条件*m所以除了m=n以外，其余项皆为零

t2t1x(t)(t)dtcn(t)n(t)dtt1*mt2*ncnt2t2t1t1(t)x(t)dt1t2*x(t)n(t)dtt1*kn(t)n(t)dt*n3、复指数函数的正交性对于复指数信号{ejn0t}(t1,t1T)t1T0t1ejn0t{ejm0t*}dt0

T0n0,1,2,....mnmn1、以上复指数函数ejn0t是周期性的，角频率为

0，周期为T02、把以上复指数函数用欧拉公式展开成

sinn0t和cosn0t两项，他们满足正交条件

t1T00

sinn0sinm0tdtmnt1T0/2mnt1T00

cosn0cosm0tdtmnt1T0/2mnt1T0t1cosn0sinn0tdt0对所有的m和n

§4.3 用付里叶级数表示周期信号

1、用复指数形式的付里叶级数表示周期信号

x(t)ncenjn0t1cnT01T0T0x(t)[ex(t)ejn0t*]dtjn0tT0dt！注意：如果是正弦将是如何？

2、用三角形式的付里叶级数表示周期信号三角级数{sinn0t,cosn0t}当n0,1,...时亦是一组正交函数集，从复指数付里叶级数亦可亦分解成三角付里叶级数

x(t)ncenn1jn0tc0[cnejn0tcnejn0tjn0t]c02Re{cnen1}x(t)c02Ancos(n0tn)n1在此设cnAnejnAncos(n0tn)Ancosncosn0tAnsinnsinn0tBncosn0tDnsinn0tAnBD12n2nBnDnnDnntgBnx(t)c02[Bncosn0tDnsin0t]n1An1BnT0T0x(t)cosn0tdtx(t)sinn0tdt1DnT0T0比较：(1)

复指数付里叶级数展开式

jnt综合公式x(t)cenn0分析公式

1cnT0T0x(t)ejn0tdt平均值

1c0T0T0x(t)dt三角付里叶级数展开式

x(t)c02[Bncosn0tDnsin0t]综合

2nn1AnBD1BnT02nDnntgBn1T0x(t)cosn0tdtx(t)sinn0tdt分析

1DnT0T0比较二者指数级数

n从有正负频率项

三角级数

n从1只有正频率项

(3)三角级数中，要计算出An和n才能代表谐波的幅度和相位，而指数级数中cn只需计算一次

因为计算出的cn是复数，它既有模又有相位所以比较方便

两者系数的关系

Bk(1/2)(cncn)cnBnjDnDk(j/2)(cncn)cnBnjDnc*n例1：已知x(t)是一个周期性的锯齿波如图试求其付里叶级数T0T0/2x(t)1/20-1/2T0/2T0t1/2tx(t)tT0/2T0T0T0(t)222T0/2T0/21c0T011ttdt2T0T0T02T0/20n1cnT0幅谱图

1jn0tj(1)tedtT0/2T02ncn1/21/4-2-1012n04.4 波形的对称性和付里叶级数

x(t)c02Ancos(n0tn)x(t)c02[Bncosn0tDnsin0t]n1n1其中

1BnT0T0x(t)cosn0tdtx(t)sinn0tdt1DnT0T0、当x(t)为偶对称时：

即x(-t)=x(t) x(t)对纵轴对称

则

1BnT01DnT0T0x(t)sinn0tdt02x(t)cosntdt0T0T0T0/2x(t)cosn0tdt当x(t)为偶函数时

Dn0Bn0c00没有正弦项只有余弦项和直流分量

、当x(t)为奇对称时，即x(-t)=-x(t)时即x(t)对原点对称时

1BnT01DnT0T0x(t)cosn0tdt0奇x 偶= 奇

2x(t)sinntdt0T0T0T0x(t)sinn0tdt0奇x 奇= 偶

Dn0Bn0c00、偶半波对称

x(t)x(tT0/2)此周期函数为偶半波对称

这样的信号，只会有偶次谐波，不会有奇次谐波

Dn0Bn0x(t)T0/2T0t

、奇半波对称

T0如果x(t)x(t)2这就是奇谐函数

此时：只有奇次谐波，没有偶次谐波

Dn0Bn0T0/20tT0/2、双重对称

当信号既是奇函数，又是偶函数，又是奇谐、偶谐函数时，它就兼顾二者的特点例1、3T0/4T0/40T0/43T0/4t

偶函数，偶谐

D00Bn0并只有偶次谐波，只有余弦项

2、

T0/2T0/2t

偶函数，奇谐D00,Bn0而只有cosn0t的奇次谐波

3、

T0/2T0/2T0t

奇函数偶谐

D00,Bn0只有sinn0t的偶次谐波

4、

T0/20T0/2奇函数奇谐函数

D00,Bn0只有sinn0t的奇次谐波概括一句话：

奇偶虚实

4.5 周期信号的频谱一、频谱的意义和特点

x(t)指数级数

ncenjn0t综合分析

cncnejn三角级数

x(t)c02Ancos(n0tn)n1jnAnAnex(t)c02Ancos(n0tn)2A1c0n12A22A32A4jnn0cncnec2c3c1c0c1A1c2A2cA33n0）离散性：是一根根离散的线谱2）谐波性：一根线就代表一次谐波

每根线所在的位置是处于各处谐波处3）收敛性：随着n的增大，谱线的幅度愈来愈降低，对于高次谐波它的幅度几乎为零4）幅谱是n的偶函数对称于纵轴，而相谱

j则是n0的奇函数，对称于原点cnAnecncnAnn而argcnargcnnn对n0来说是奇函数

nn0二、周期方波的频谱分析

x(t)A…1、频谱分析

…/2/2tP155 4-50式改写一下

Acnsin(n/T0)nAsin(n/T0)T0n/T0AT02T0画出其频谱图如右

02n0）幅度

Asin(n/T0)cnT0n/T0当A1,0.1秒T00.5秒即当n=0时

T01/5时当n=1时当n=2时

c01/5Asin/T01sin/5c1T0/T05/5Asin2/51sin2/5c2T02/552/51sinn/5cnn=n时

5n/5sinx的规律在变化随着n的增大，其包络是按xsinxSax叫做抽样函数，是非常重要的函数此时x22）间隔0T0一个间隔就等于一个基波周期

）节点

sinn/T0即

n/T0的分子sinn/T00n/T0k时

当n/T0时上下乘00.11/5T00.52250T0/5n02/(1)幅度与A,,T0有关，最大幅度为A/T0,其余按sinx/x的规律变化（2）间隔只与T0有关，02/T0(3)节点2/，只与脉冲的宽度有关三要素：A,,T02、幅谱随和T0的变化而变化的情况（1）当不变仅T0变化时当A1,0.1秒不变时，如果T00.5秒，其中有四根线，节点在第5次谐波上。T0如果T01秒，10,则节点在第10次谐波上，中间有9根线T0如果T02秒，20,则节点在第20次谐波上，中间有19根线（2）当T0不变仅变化时22当0.1秒，T00.5秒，即1/5时，5,T0T0中间有四根线2(a)当0.05，即10,节点发生在第10次T0谐波处，中间有9根线2(b)当0.025,即20时，节点发生在20次T0谐波处而间隔不变2、关于相谱问题

nsinn/T0cn为实函数，T0n/T0它无虚部，只有实部n0或n0cn为正时，相位为零cn为负时，相位为n4、频带宽度问题

Bs024.7 非周期信号的付里叶变换一、公式的推导

周期性非正弦信号的付里叶级数

xT(t)1cnT0ncenT0/2T0/2jn0txT(t)ejn0tdt使周期信号非周期化

当T01)xT(t)x(t)2)当T0时，2/T0减小，谱线愈来愈密，线谱消失A3)当T0增加时，谱线的幅度Sax将随着T0T0增加而减少设法求limcnT0?T0当T0时，T0T0/2T0/2jtn0xT(t)x(t)limcnT0x(t)edt(j)推导反变换公式

当T0时，xT0(t)x(t),n,n0,dlimcnT0(j)T0()()limcnlimlimT0T0TT0200()0jn0t1x(t)limeT022n()edjt二、（j)与cn的比较1x(t)2(j)edjtjt(j)x(t)edt不同点：

(1)n0(2)xT(t)1cnT0ncenT0jn0tT0xT(t)ejn0t注意：cn是代表了谐波幅度的一半cncn2An就是n次谐波的幅度而(j)仅表示频谱的密度三、常用信号的付里叶变换

例1、单边指数信号

x(t)ettu(t)jt0dte0(j)t()eu(t)e1jdt()1()22()tg1()1//2/4/42、门函数

A

GT1(t)AGT1(t)/20/2tt/20

()/2t/2sin(/2)dtAAsinc/22/2Aejt比较单个脉冲的频谱与周期信号的频谱，我们

可以看到

sinx频谱的形状是相同的，都是按的规律

x变化

2)它们的节点一样都是

223)它们的信号占有频带可以定义为一样，即Bw只与脉冲宽度有关

4)它们的幅频谱都是频率的偶函数，相谱是频率的奇函数

不同点：

(1)周期信号为离散线谱，而非周期信号为连续的带谱

A周期方波得最大幅度是

T而非周期与T无关，为A例3、求单位冲激函数，x(t)(t)的频谱解：()x(t)ejtdt(t)ejtdt1(t)1(t)0

t

()14、已知()()1解：x(t)2jt求x(t)=?

01jt()ede2121/2()(t)()(t)10

()1t

1/2()1/2()0

4.8 付里叶级数与付里叶变换的关系

1、cn和()的互换关系1cn()n0T0()T0cnn02、周期信号的付里叶变换狄里赫利条件就是

(1)x(t)绝对可积，即

x(t)dt(2)在任何有限区间内，x(t)只有有限个极大值和极小值

在任何有限区间内，x(t)不连续点个数有限，而且在不连续点处x(t)的值是有限的

例1、求()2(0)的x(t)?解：

1x(t)22(0)ed(0)edjtjteej0tjn0tj0t2(0)e2(n0)x(t)ncenjn0tn2c(nnn)周期信号的付氏变换公式，特点就是有()的存在

例2、当x(t)k(tkT)时求其付里叶变换0x(t)()2/T0…

1

……42T0T0…0246T0T0T03T02T0T00T02T03T0x(t)ncenjn0tnjn0t2c(nn0)1cnT0T0/2T0/2(t)e1dtT012x(t)(tkT0)2(n)T0T0nn2T0n(n0)sin0tj[(0)(0)]cos0t[(0)(0)]x()x()/j000000/jx(t)sin0tx(t)cos0t4.9 连续时间付里叶变换的性质1)线性性质

若x1(t)1()x2(t)2()a1,a2为两个任意常数则a1x1(t)a2x(t)a11()a22()说明我们研究的是线性时不变系统2)共轭对称性

若x(t)是一个实时间函数，则()()例、已知x(t)et*1u(t)()jx(t)etu(t)是一个实函数*1则（）（）j()()ej()R()jI()可见其实部是频率的偶函数

其虚部是频率的奇函数

当x(t)为一般实函数时，x(t)xeven(t)xodd(t)x(t)()(2)实偶函数实偶函数(3)实奇函数虚奇函数3)时移性质

若x(t)(),则x(tt0)()ejt0证：F[x(tt0)]x(tt0)ejtdtdejt0x()ej(t0)()例如f(t)()A0/2f(tt0)t2/24/2()t0t0t尺度变换性质

若x(t)()1则x(at)()aa其中a为一实常数例：sin2t与sint相比，相当于频率增大了一倍，时域压缩了一倍sin1/2t与sint相比，相当于频率减少了一倍，时域扩大了一倍sin2t2sint2sin1/2t2在a1的情况下，说明频带扩大了a倍在a1的情况下，说明频带压缩了a倍1从上面公式，x(at)(),说明了当时域aa压缩了a倍之后，其频域就扩大了a倍，反之，当时域扩大了a倍之后，频域缩小了a倍，而时宽频宽乘积是一个常数1前面的系数幅值是正比于时域图形的面积的。a时宽压缩a倍，必然时域面积要减少a倍。而频域的幅度要相应的减少a倍。下面画出tx()x(t)x(2t)时其频谱的图形2(2)x(t/2)2T11T1a0.5T10x(t)1ta1T1/T1()T1/20T1/2x(2t)1T1/40T1/4t()2/T1a2(/2)tT1/24/T1）反转性质

若x(t)(),则x(t)()6)移频性质若x(t)(),则x(t)e又x(t)cos0tx(t)ej0t(0)e2j0tj0tF{x(t)cos0t}1/2{(0)(0)}g(t)x(t)cos0tG()T1/2T1/2调制波t00()信号

x(t)1T1/20T1/2T1t()2/T1cos0t()()t007)对称性质

如x(t)A(),则A(t)2x()例

(t)1则12（）而()为偶函数12（），即1/2()函数下的积分

x(t)dtx(t)ejtdt0()0(0)()在0的值就是时域中x(t)与t轴围成的面积频谱函数()与轴围成的面积()d()ejtdt02x(t)t02x(0)()x(t/2)AT1AT1/2T1/20t/T10(t)()2/0/cc0c时域微分性质

若x(t)()dx(t)则j()dtndx(t)n(j)()ndtf(t)同理可证明

例2、求三角脉冲的付里叶变换式

f(t)f(t)Add0dA/dd0A/dA/dA/ddd2A/d1）先把f(t)连续求导，使全部出现冲

击为止

A2AAf(t)(td)(t)(td)dddAjdA4A2djdF{f(t)}[e2e][22cosd]sinddd24A2d22dF()sin/Adsinc()d22频域微分性质

d()若x(t)(),则jtx(t)d它说明信号在频域中对频谱函数求导，等效于在时域中用-jt去乘它的时间函数

d()同理(jt)x(t)nd例12()t2j()jt2()或

nnt2j()nn(n)1u(t)()j1tu(t)j()211)时域卷积定理

若x1(t)1()x2(t)2()则x1(t)x2(t)1()2()当我们计算卷积有困难时，就转到频域中去求三角脉冲的频谱函数

GT1(t)1tGT2(t)1T1/20T1/2T1/20T1/2tx(t)T1=T10T1T1sax22tT12T1SaxT1/2T1SaxT1/2T12T12/T1.

0T12/T1=

02/T1、频域卷积定理

1X()P()x(t)p(t)2例1、已知x(t)X()p(t)cosctP()求x(t)p(t)r(t)的频谱R()？1X()P()R()21X()(0)(0)21X(0)X(0)22、解调，把r(t)cosctg(t)求g()?解：前面已经计算出x(t)()x(t)cos0tr(t)R()1而R()[(0)(0)]2解：

相乘g()1R()P()cosctcosct21AX(0)X(0)22(0)(0)x(t)r(t)g(t)相乘低滤AAAX(20)X()X(20)424R()A20P()()()0A00G()A204A4200020此滤波比的传函写为

2H()000x(t)p(t)r(t)p(t)cos0tg(t)H(ω)x(t)13、时域积分Time Integrantion

若x(t)X()X(0)为有限值，则tX()x(t)dtX(0)()0j时域的微分相当于频域乘上jω

时域的积分相当于频域除上jω，并且后面多了

一项X(0)()3、求斜变信号的频谱Y(ω)=?解：

01y(t)tt0101y(t)t001y(t)t0y(t)t0tt00tt0tt0t00tt0tt01t0ty(t)Y(j)Saxt02et0j21y(t)y(t)dtY(j)Y(0)()jt0jt01Saxe1()Y(j)j2t0t0cost0jt022其中Y(0)Saxe001t02214、频域积分

1若x(t)X()则x(t)(t)X(0)jttX()d若X(0)或x(t)为奇函数时，1x(t)X()djt4.10 周期信号的功率谱、非周期信号的能量频

谱、帕塞瓦尔定理

1、周期信号的功率谱

1PT01T0T022T0x(t)dt22T0x(t)dtnc2n与频域的功率之和是恒等的。pc0Pnc2nc3c2c1c1c23020002030n02、能量频谱

一个非周期信号的时域能量公式为

1jtx(t)dtx(t)X()eddt21jtX()x(t)edtd2212122X()X()dX()d2x(t)dt102X()d2W10X()d就称为非周期信号的能量公式

3、能量密度函数

能谱G(ω)定义为以角频率ω为中心的单位频

带中的信号能量。

WG()d与G()d00210X()d2相比，即可得到G()1X()为此能谱G()就是幅谱的平方。F()例:f(t)AAG()A222022022022WG()d0