2020-2021学年广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共8小题）.

1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1}

B．{﹣1，0}

C．{﹣1，0，4}

D．{﹣1，4}

2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且A．±4

B．4

，则x＝（ ） C．﹣4

D．

3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（ ） A．∀x∈R，x2+2＜6 C．∃x0∈R，x02+2＜6

B．∀x∈R，x2+2≥6 D．∃x0∈R，x02+2≥6

4．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．C．

B．D．

上存在零点，则m的取值范围是

5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在（ ） A．

B．

C．

D．

6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（ ） A．x＞y

B．|x|＞|y|

C．x＞|y|

D．

7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间

的关系为

达最高点的最少时间为（ ）

．则盛水筒出水后到

A． B． C．10s D．

8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n的最小整数值为（ ） （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48） A．6

B．7

C．8

D．9

二、选择题（共4小题）. 9．下列命题中错误的是（ ） A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，B．当x＜0时，C．当0＜x＜1时，D．当10．关于函数

时，

的最大值是﹣2

的最小值是2

的最小值是2

，下列结论正确的是（ ）

的最小值是4

A．该函数的其中一个的周期为﹣π B．该函数的图象关于直线C．将该函数的图象向左平移D．该函数在区间

对称

个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象 上单调递减

11．下列几种说法中，正确的是（ ） A．面积相等的三角形全等

B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件

C．若a为实数，则“a＜1”是“D．命题“若a＞b＞0，则

”的必要不充分条件

”的否定是假命题

12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒

﹣

有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22x，则有（ ）

A．函数f（x）是周期函数，且周期为2

B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1 C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣x

D．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为 ． 14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝ ．

15．fx）2）fx） 已知函数（＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，，（≤0，则a的取值范围是 ．16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，

，若对于任意的x∈[t，t+1]，

不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 ．

四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集； （2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小． 18．（1）已知

，求

的值；

（2）已知，

，求cos（α+β）．

，且，

19．已知函数f（x）＝ex+ae﹣x（a∈R）． （1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；

（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明． 20．已知函数

．

（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心； （2）当

时，解不等式f（x）的值域；

（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0．

21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，不小于70台时，机器能全部卖完．

（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润． 22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．

（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3； （2）设函数g（x）＝2f（x）+≤2上的最小值为2，求b的值．

，若g（x）在1≤x（万元）；当月产量

（万元）．若每台机器售价100万元，且该

参

一、选择题（共8小题）.

1．设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣4x＞0}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1}

B．{﹣1，0}

C．{﹣1，0，4}

D．{﹣1，4}

解：∵A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x＜0或x＞4}， ∴A∩B＝{﹣1}． 故选：A．

2．已知角α的终边经过点（x，﹣3），且A．±4

B．4

，则x＝（ ） C．﹣4

D．

解：∵角α的终边经过点（x，﹣3），且故选：C．

3．已知命题P：∀x∈R，x2+2≥6，则￢P是（ ） A．∀x∈R，x2+2＜6 C．∃x0∈R，x02+2＜6 解：命题是全称命题， 则否定是：∃x0∈R，x02+2＜6， 故选：C．

＝，则x＝﹣4，

B．∀x∈R，x2+2≥6 D．∃x0∈R，x02+2≥6

4．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A． B．

C． D．

+

）＝4π，

解：由函数f（x）的图象知A＝2，T＝2×（∴ω＝

＝，

+φ＝π，且|φ|＜π，

由五点法作图可得×∴φ＝

，

∴函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+故选：D．

5．设函数f（x）＝x+log2x﹣m，若函数f（x）在（ ） A．

B．

C．

）．

上存在零点，则m的取值范围是

D．

解：函数f（x）＝x+log2x﹣m在区间（0，+∞）上为增函数， 由函数f（x）在

上存在零点，

∴f（）＝﹣2﹣m＜0，f（8）＝8+3﹣m＞0， 解得﹣＜m＜11， 故函数f（x）在故选：B．

6．x2＞y2的一个充分不必要条件是（ ） A．x＞y

B．|x|＞|y|

C．x＞|y|

D．

上存在零点时，m∈

．

解：x2＞y2等价于|x|＞|y|，

若x＝1，y＝﹣2，则x＞y，但|x|＜|y|，故选择A错误； |x|＞|y|是x2＞y2的充要条件，故选项B错误；

当x＞|y|时，则有x2＞y2，但x2＞y2不能得到x＞|y|，比如x＝﹣2，y＝1，故选项C正确；当x＝1，y＝2时，故选：C．

7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到

，但是x2＜y2，故选项D错误．

使用．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为

达最高点的最少时间为（ ）

．则盛水筒出水后到

A． B． C．10s

，

D．

解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，∴T＝则ω＝

，振幅A为筒车的半径，即A＝4，K＝

，

由题意，t＝0时，d＝0，∴0＝4sinφ+2，即sinφ＝﹣， ∵则

由d＝6，得6＝4sin（∴

＜φ＜

，∴φ＝

+2，

）+2，∴sin（

，k∈Z，得t＝

（s）．

）＝1，

，k∈Z．

．

∴当k＝0时，t取最小值为故选：D．

8．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，经过n小时后他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，则n的最小整数值为（ ） （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48） A．6

B．7

C．8

D．9

解：∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg， 则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝80×0.8n，

由80×0.8n＜20，解得，

因为他血液中的酒精含量在0.2mg/mL以下，所以 n≥7， 故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题中错误的是（ ） A．当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，B．当x＜0时，C．当0＜x＜1时，D．当

时，

的最大值是﹣2

的最小值是2

的最小值是2

＝

＝

＝

的最小值是4

解：对于A，当x＜0，y＞0，且x+y＝2时，y＝2﹣x＞2，

∈（﹣∞，0），所以A错；

对于B，当x＜0时，立，所以B对； 对于C，当0＜x＜1时，无最小值，所以C错； 对于D，当

≥1，x＝

故选：BD． 10．关于函数

，下列结论正确的是（ ）

＝﹣（

）≥﹣

＝﹣2，x＝﹣1时“＝“成

1），而函数f（t）＝t+在（0，上单调递减，

时，0＜sinx≤1，而函数f（t）＝t+在（0，1]上单调递减，时“＝“成立，所以D对；

A．该函数的其中一个的周期为﹣π B．该函数的图象关于直线C．将该函数的图象向左平移D．该函数在区间

对称

个单位长度得到y＝3cos2x+1的图象 上单调递减

解：令f（x）＝

对于A，因为f（x+（﹣π））＝＝

对于B，因为f（＝

；

＝

＝fx），所以A对；

）＝

＝fx），所以B对；

个单位长度得到函数f（

，

）＝

＝

对于C，f（x）的图象向左平移

＝

函数f（对于D，为[kπ﹣

，kπ+⊂

故选：ABD．

11．下列几种说法中，正确的是（ ） A．面积相等的三角形全等

]，k∈Z，

）与函数y＝3cos2x+1不同，所以C错；

⇒

⇒f（x）的单调递减区间

，所以D对；

B．“x（y﹣3）＝0”是“x2+（y﹣3）2＝0”的充分不必要条件 C．若a为实数，则“a＜1”是“D．命题“若a＞b＞0，则

”的必要不充分条件

”的否定是假命题

解：对于A，因为同底等高三角形未必全等，所以A错；

对于B，当x＝0，y＝4时，x（y﹣3）＝0，但，x2+（y﹣3）2＝1≠0，所以B错； 对于C，当a＜1，未必有反之，

，如a＝﹣1，所以不充分；

”的必要条件，所以C对； ”的否命题，

⇒a＞0⇒a＜1，则“a＜1”是“

对于D，先求出命题“若a＞b＞0，则

￢（a＞b＞0）⇔￢（（a＞b）∧（b＞0））⇔￢（a＞b）∨￢（b＞0）⇔（a≤b）∨（b≤0），

￢（）⇔，所以命题“若a＞b＞0，则

”，分情况说明：①若b＝0，

”的否命题是：

无意义，所以不成立，

不

“若a≤b或b≤0，则

②若b＜0，取a＝b＞b，则成立，

不成立，③若a≤b，取b＞0，a＜0，则

由①②③知，否命题为假，所以D对； 故选：CD．

12．设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，且对任意的x∈R，恒有f（x+2）＝f（2﹣x），已知当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x，则有（ ） A．函数f（x）是周期函数，且周期为2

B．函数f（x）的最大值是4，最小值是1 C．当x∈[2，4]时，f（x）＝22﹣x

D．函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减 解：根据题意，依次分析选项：

对于A，函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（﹣x）﹣f（x）＝0，即f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，

又由f（x+2）＝f（2﹣x），则f（﹣x）＝f（4+x），则有f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误， 对于B，当x∈[0，2]时，f（x）＝22﹣x＝（0）＝4，最小值为f（2）＝1，

又由f（x）为偶函数，则区间[﹣2，0]上，其最大值为f（0）＝4，最小值为f（﹣2）＝f（2）＝1，

又由f（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）的最大值是4，最小值是1；B正确， 对于C，当x∈[2，4]，则4﹣x∈[0，2]，f（x）是周期为4的偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝f（4﹣x）＝22﹣（4﹣x）＝2x+2，C错误，

对于D，f（x）是偶函数且在区间[0，2]上为减函数，则f（x）在[﹣2，0]上为增函数，f（x）是周期为4的周期函数，

则函数f（x）在[2，4]上单调递增，在[4，6]上单调递减，D正确， 故选：BD．

，在区间[0，2]上为减函数，则其最大值为f

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知f（x）＝log5（8﹣3x）的定义域为 （﹣∞，） ． 解：由题意得8﹣3x＞0，解得x＜， 故函数的定义域是（﹣∞，）， 故答案为：（﹣∞，）．

14．求值：sin25°cos115°+cos155°sin65°＝ ﹣1 ． 解：sin25°cos115°+cos155°sin65°

＝sin25°cos（90°+25°）+cos（180°﹣25°）cos25° ＝﹣sin25°sin25°﹣cos25°cos25° ＝﹣sin225°﹣cos225° ＝﹣1． 故答案为：﹣1．

15．已知函数f（x）＝2x2+ax﹣1（a∈R），若∀x∈（1，2），f（x）≤0，则a的取值范围是 （﹣∞，﹣] ．

解：若∀x∈（1，2），f（x）≤0， 则∀x∈（1，2），a≤只需a≤（令g（x）＝

恒成立，

）min，x∈（1，2）， ，x∈（1，2），

所以g′（x）＝＝＜0，

所以g（x）在（1，2）上单调递减， 所以g（x）＞g（2）＝所以a≤﹣，

所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣]． 故答案为：（﹣∞，﹣]．

16．设f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，

，若对于任意的x∈[t，t+1]，

＝﹣，

不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是 （﹣∞，﹣] ． 解：当x≥0时，f（x）＝﹣∵函数f（x）是奇函数，

∴当x＜0时，f（x）＝﹣f（﹣x）＝∴f（x）＝

，

，

，

∴f（x）在R上是单调递减函数， 且f（x）可化为f（x）＝﹣且满足2f（x）＝f（﹣4x），

∵不等式f（x+t）≥2f（x）＝f（﹣4x）在x∈[t，t+1]恒成立， ∴x+t≤﹣4x在[t，t+1]恒成立， 即5x≤﹣t在[t，t+1]恒成立， ∴5t+5≤﹣t， 解得t≤﹣，

即t的取值范围是（﹣∞，﹣]． 故答案为：（﹣∞，﹣]．

四、解答题：本题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（1）求不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3的解集； （2）设x≥1，试比较2x3+1与2x+x4的大小．

解：（1）不等式（x﹣1）2＜﹣x2+4x﹣3可化为x2﹣3x+2＜0， 即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2， 所以该不等式的解集为（1，2）； （2）x≥1时，x﹣1≥0，

所以（2x3+1）﹣（2x+x4）＝（2x3﹣2x）﹣（x4﹣1） ＝2x（x2﹣1）﹣（x2﹣1）（x2+1） ＝（x2﹣1）（2x﹣x2﹣1） ＝﹣（x+1）（x﹣1）3≤0， 所以2x3+1≤2x+x4．

，

18．（1）已知，求的值；

（2）已知，

，求cos（α+β）．

，且，

解：（1）∵，∴tanα＝＝＝，

＝＝＝＝

＝． （2）∵∴

+β∈（

，，﹣

，），则cos（），

+β）＝﹣

，

＝﹣

，

﹣α∈（﹣则

﹣α∈（﹣，0），

则sin（﹣α）＝﹣，

+β）﹣（

﹣α）]＝cos（）×

＝

．

+β）cos（

﹣α）+sin（

+β）

则cos（α+β）＝cos[（sin（

﹣α）＝

×+（﹣

19．已知函数f（x）＝ex+ae﹣x（a∈R）． （1）求a值，使得函数f（x）为奇函数；

（2）当a＝﹣2时，判断函数f（x）的单调性，并根据定义证明． 解：（1）显然f（x）的定义域为R， 若f（x）为奇函数，则f（0）＝1+a＝0， ∴a＝﹣1，经检验a＝﹣1时，f（x）为奇函数， ∴a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数．

（2）当a＝﹣2时，f（x）＝ex﹣2e﹣x，此时f（x）在R上单调递增，证明如下： 证明：任取x1，x2∈R且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）＝＝

∵x1，x2∈R且x1＜x2，∴，，

∴

∴f（x）在R上单调递增． 20．已知函数

＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

．

（1）求函数f（x）的单调递增区间和对称中心； （2）当

时，解不等式f（x）的值域；

（3）当x∈[﹣π，π]时，解不等式f（x）≥0． 解：（1）f（x）＝2sinxcosx+22sin（2x+由2kπ﹣得2kπ﹣

）+≤2x+

， ≤2kπ+

，k∈Z，

≤x≤kπ+]，k∈Z． ﹣

，

，k∈Z，

cos2x＝sin2x+2

×

＝sin2x+

cos2x+

＝

≤2x≤2kπ+，k∈Z，即kπ﹣

，kπ+，得x＝，

即函数的单调递增区间为[kπ﹣由2x+

＝kπ，得2x＝kπ﹣

﹣

即函数的对称中心为（（2）当则sin（2x+即sin（2x+则2sin（2x+

），k∈Z．

，]，

）∈（﹣1，2]，

），2x+

∈（﹣

，

），

时，2x∈（﹣

）∈（sin（﹣

），sin

）∈（﹣，1]，2sin（2x+）+

∈（

﹣1，2+﹣1，2+

）+

]， ]．

≥0，得sin（2x+

）≥﹣

，

即函数f（x）的值域为（

（3）由f（x）≥0得2sin（2x+得2kπ﹣

≤2x+

≤2kπ+

，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，

∵x∈[﹣π，π]，∴当k＝0时，当k＝1时，

≤x≤，

， ，π]．

≤x≤π，当k＝﹣1时，﹣π≤x≤﹣

]∪[

，

]∪[

即不等式的解集为[﹣π，﹣

21．5G技术对国民经济起到越来越重要的作用，某科技企业为满足某5G应用的需求，决定开发生产某5G新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p（x）（万元），当月产量不足70台时，不小于70台时，机器能全部卖完．

（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出最大月利润． 解：（Ⅰ）当0＜x＜70时，y＝100x﹣（当x≥70时，y＝100x﹣（101x+

﹣2060）﹣400＝1660﹣（x+

）， ）．

（万元）；当月产量

（万元）．若每台机器售价100万元，且该

∴；

（Ⅱ）当0＜x＜70时，y＝﹣当x＝60时，y取最大值1400万元； 当x≥70时，y＝1660﹣（x+当且仅当

）

＝，

，

，即x＝80时y取最大值1500．

综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大约利润为1500万元． 22．已知函数f（x）＝log2（x2+1）．

（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3； （2）设函数g（x）＝2f（x）+≤2上的最小值为2，求b的值． 解：（1）∵f（x）＝log2（x2+1）≥0．

∴由方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3可得f（x）＝2，

，若g（x）在1≤x

∴log2（x2+1）＝2，∴，

，﹣

}；

∴方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3的解集为{（2）∵2f

（x）

＝x2+1，

＝（x+）2﹣2b（x+）+b2﹣2，

，

∴函数g（x）＝2f（x）+＝

令t＝x+，（1≤x≤2），则t

g（x）＝h（t）＝t2﹣2bt+b2﹣2＝（t﹣b）2﹣2，t∈[2，]， ①当b

时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（）＝2，

整理可得4b2﹣20b+9＝0，解答b＝或（舍）

②当b≤2时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（2）＝2， 整理可得4b2﹣4b＝0，解答b＝0或4（舍） ③当2

时，g（x）在1≤x≤2上的最小值为h（b）＝﹣2≠2，

综上，b的值为0或．