第７卷第４期 华北科技学院学报 ２０１０年１Ｏ月 条件（ＰＡ）对幺半群的刻画① 许 军② （酒泉职业技术学院，甘肃酒泉７３５０００） 摘 要：利用条件（Ｐ ）刻画了左可消幺半群，给出了一类特殊幺半群的Ｓ一系范畴特征． 关键词：条件（Ｐ）；条件（Ｐ ）；左可消 中图分类号：Ｏ１５２．８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—７１６９（２０１０）０４—００８８～０２ Ｏ 引言 除特别声明外，本文中总是以Ｓ表示幺半群， 所用其他符号均同文 Ｊ． 相应于Ｒ一模范畴中的平坦性概念，在Ｓ一系 范畴中有强平坦、平坦、弱平坦、条件（Ｐ）、条件 （Ｅ）等不同概念．称左ｓ一系Ａ满足条件（Ｐ） ， 女口果ｓａ＝ｓｔａ （Ｓ，ｓ ∈Ｓ，ａ，ａ ∈Ａ），贝０存在ａ ∈Ａ， Ｕ，ｖ∈Ｓ，使得ＳＵ＝Ｓｔｖ，ａ＝ｕａ”，ａ ＝ｖａ ．称左ｓ一系 Ａ满足条件（Ｅ） Ｊ，如果对任意ｓ，ｔ∈Ｓ，任意ａ∈ ∈Ａ，ｂ，ｂ ∈Ｂ，则在Ａ⑧Ｂ中有ａ￣ｂ＝ａｔｏｂ 当且 仅当存在ｂ１…，ｂ ｏＢ，ａ２，…，ａ ∈Ａ，Ｓ１，ｔ１…Ｓ ，ｔ ∈Ｓ，使得 ｂ＝ １ｂ１， ａｓ１＝ａ２ｔ１，ｔ１ｂ１＝Ｓ２ｂ２， ａ２Ｓ２＝ａ３ｔ２， ａｎｓ ＝ａ＇ｔ ，２ｂ２＝ｓ３ｂ３， ｔｎｂ ＝ｂ ． （ ） 引理１．２＿３ 左ｓ一系Ｂ满足条件（Ｐ）当且仅 当对于任意右Ｓ一系Ａ，Ｂ满足条件（Ｐ ）． 引理１．３ ｌ２］Ａ（Ｉ）满足条件（Ｅ）但不满足 条件（Ｐ）． 引理１．４ ２ 设所有平坦Ｓ一系满足条件 Ａ，若ｓａ＝ｔａ，则存在ａ ∈Ａ，Ｕ Ｅ Ｓ，使得ＳＨ＝ｔｕ，ａ＝ ｕ ａ ．称左Ｓ一系Ａ是弱平坦的 Ｊ，如果对于Ｓ的 一任意右理想Ｉ，映射ＩｏＡ ｓ⑧Ａ是单的．称左ｓ 系Ａ是主弱平坦的 ，如果对于Ｓ的任意主右 理想Ｉ，映射ＩｏＡ—ＳｏＡ是单的．设Ａ、Ｂ分别 为右、左Ｓ一系，称Ｂ满足条件（Ｐ ） Ｊ，对于任意 ａ，ａ ∈Ａ，ｂ，ｂ ∈Ｂ，若在ＡｏＢ中有ａｏｂ＝ａ ｏ ｂ ，则存在ｂ ∈Ｂ，Ｘ，Ｙ Ｅ Ｓ，使得ａｘ＝ａ ，ｂ＝Ｘ ｂ”， ｂ ＝Ｙ ｂ”．称ｓ是右ＰＰ幺半群 ｊ，如果ｓ的任 意主右理想是投射的．右Ｓ一系Ａ的相关定义可 对偶得到． 设Ｉ是Ｓ的左理想，且Ｉ≠ｓ，ｘ，Ｙ，ｚ是三个符号， （Ｐ），则Ｉ Ｅ（Ｓ）Ｉ＝１． ２ 主要结果 定理２．１所有Ｓ一系满足条件（Ｐ ）当且仅 当Ｓ是群． 定理２．２ 对于幺半群Ｓ，以下条件等价： 令（ｓ，Ｘ）＝｛（ｓ，Ｘ）１ ｓ∈Ｓ｝，（ｓ，Ｙ）＝｛（ｓ，Ｙ）ｌ ｓ∈Ｓ｝， （Ｉ，ｚ）＝｛（Ｓ，ｚ）ｌ Ｓ∈Ｉ｝．构造Ａ（Ｉ）＝（Ｉ，ｚ）ｕ｛（ｓ，Ｘ） Ｉ ｓ∈Ｓ—Ｉ｝ｕ｛（Ｓ，Ｙ）Ｉ ｓ∈Ｓ—Ｉ｝，定义ｓ在Ａ（Ｉ）上 的左作用为 Ｓ（ｔ，ｚ）＝（ｓｔ，ｚ），Ｓ（ｔ，ｘ）＝ （１）所有满足条件（Ｅ）的Ｓ一系满足条件（Ｐ ）； （２）所有满足条件（Ｅ）的Ｓ一系是平坦的；（３）所 有满足条件（Ｅ）的Ｓ一系是投射的；（４）所有满足 ｛（Ｓｔ ｙＸ），￣＂＂ｓｔ ｅ Ｓ ＝＝ ：喜 ３条件（Ｅ）的Ｓ一系是自由的；（５）Ｓ是群． 定理２．３对于幺半群ｓ，以下三条等价：（１）ｓ 是左可消幺半群；（２）Ｓ是右ＰＰ的，且任意平坦Ｓ一 系满足条件（Ｐ ）；（３）Ｓ是右ＰＰ的，且任意弱平坦 Ｓ一系满足条件（Ｐ ）． 定理的证明 显然（Ｓ，Ｘ） Ｓ（１，Ｘ），（Ｓ，Ｙ） Ｓ（１，Ｙ），所以 Ａ（Ｉ）＝Ｓ（１，ｘ）Ｕ Ｓ（１，ｙ），且Ｓ（１，Ｘ）Ｎ Ｓ（１，Ｙ） ｛（ｓ，ｚ）ｌ Ｓ∈Ｉ｝＝（Ｉ，ｚ）． 定理２．１的证明：仁）设是群，Ａ，Ｂ分别是 右、左Ｓ一系，ａ，ａ ∈Ａ，ｂ，ｂ ∈Ｂ，且在ＡｏＢ中有ａ Ｏｂ＝ａｔｏｂ ，则由引理２．１知，存在ｂ …，ｂ ∈Ｂ， ａ２，…，ａ ∈Ａ，ｓ１，ｔ 一ｓ ，ｔ ∈Ｓ，使得等式组（：Ｉ＝） 成立．如果ｎ＝１，则结论即成立，设ｎ≥２．对于 等式ｔｌｂ１＝ｓ２ｂ２，ｔｌ＝ｔ１～ｓ２，ｖ＝１，ｂ ＝ｂ ，则有ｔ１ Ｕ １几个引理 引理１．１［ ①②８８ 设Ａ，Ｂ分别是右左Ｓ一系，ａ，ａ 收稿日期：２０１０—０７—２１ 作者简介：许军（１９６９一）男，甘肃敦煌人，硕士，洒泉职业技术学院副教授，研究方向为半群代数理论。 第４期 许军：条件（Ｐ ）对幺半群的刻画 Ｘ Ｖ ＝ｔ】ｔｌ～ ２＝ ２・１＝ ２ ｖ，ｂ１＝ｔＩ～ｓ２ ｂ ＝Ｉ１ ｂ”，ｂ２ ＝ｖ ｂ”．所以有 ｂ＝ｓ１ ｕ ｂ”， ａｓ１Ｕ ３３ｔ２ ｖ， ８３ｓ３＝ａ４ｔ３，ｔ２ｖ ｂ ＝ｓ３ｂ３， ｔ３ｂ３＝ ４ｂ４， 则在Ｓ＠Ａ中有ｘ⑧ａ＝ｘ⑧ｓａ ，由引理２．１可知，存 在ｃｌ…，ｃ ∈Ａ，ｗ２，…，ｗ ∈Ｓ，ｓ１，ｔ１…ｓ ，ｔ ∈Ｓ， 使得 ａ ｓ１ ｃ１ １ｌ Ｘ ２ — ． ｌＩＸ Ｘ ， Ｕ ， Ｉ ＸＳ１ ｘｗ２ｔＩ． ａ ｘｗ２ｓ２ ｘｗ３ｔ２． ： Ｖ ． 一 ａｎｓ ＝ａ＇ｔ ，ｔｎｂ ＝ｂ ． 此等式组的个数比（ ）少２，所以可用数学 ｘｗ ｓｎ＝ｘｔｎ，ｔｎｂ＝ｓａ ． 归纳法完成证明． 因为Ｓ是右ＰＳＦ的，所以ｘＳ是强平坦的，自然 ｊ）设所有Ｓ一系满足条件（ＰＡ），则所有Ｓ一 满足条件（Ｅ），则对等式ｘｓ ＝ｘｗ ｔ，存在ｖ∈ｘＳ，Ｐ 系满足条件（Ｐ）．假定Ｌ是Ｓ的真左理想，构造Ｓ ∈Ｓ，使得ｘ＝ｖｐ，ｐｓ１＝ｐｗ２ｔ１，而ｖ＝ｘｑ，这里ｑ∈Ｓ． 一系Ａ（Ｌ）＝Ｓ（１，ｘ）ｕ Ｓ（１，ｙ）．因为Ｓ（１，ｘ）ｎ Ｓ 所以有ｘ＝ｘｑｐ，ｓ ｑＰ＝ｗ ｔ ｑＰ，这说明ｘ是左半可 （１，Ｙ）≠ ，Ｓ（１，ｘ）≠Ｓ（１，ｙ），由命题知 有限生 消元．因此，存在ｈ ∈Ｓ，使得ｘ＝ｘｈ ｈ ｓ ＝ｈ 成的Ｓ一系Ａ若满足条件（Ｐ），则Ａ是有限个循环 ｗ ｔ ，由ｘ的左半可消性知，存在ｈ ∈Ｓ，使得ｘ＝ 子系的不交并即得矛盾．矛盾说明ｓ没有真左理 ｘｈ２．ｈ２ｈ１ ｗ２ｓ２＝ｈ２ｈ１ ｗ３ｔ２．令ｈ ＝＝ｈ２ｈ１，则ｘ＝ｘｈ ， 想，所以Ｓ是群 ｈ＇ｓ１＝ｈ ｗ２ｔ１， 定理２．２证明：（４） （３） （２） （１）显然． ｈ＇ｗ ｓ：＝ｈ ｗ。ｔ ，利用数学归纳法可以证明存 （１）＝＝＞（５）设Ｉ是Ｓ的真左理想，则Ａ（Ｉ）满 在ｈ∈Ｓ，ｘ＝ｘｈ，ｈｓ１＝ｈｗ？ｔ１，ｈｗ ｓ ＝ｈｔ ，ｈｗｉ ｓ ： 足条件（Ｅ），由条件知，Ａ（Ｉ）满足条件（Ｐ），当然 ｈｗｉ＋ｌｔｉ，ｉ＝２，…，１３—１．凶此，ｈａ＝ｈｓｌｃｌ＝ｈｗ２ｔｌ ｃ１ 满足条件（ＰＡ），矛盾，因此，ｓ是群． ＝ｈ ｗ２ｓ２ｃ２＝…＝ｈｗ…ｓ ｃ＝ｈｔ ｃ ＝ｈｓａ”． （５） （４）设Ｓ是群，则易证所有左Ｓ一系都 同理，由ｙａ ：ｚａ”＝ｙｔａ 知，存在ｇ∈Ｓ，使得Ｙ 是循环子系的不交并，若Ｂ是满足条件（Ｅ）的ｓ一 ＝Ｙｇ．ｇａ ＝ｇｔａ”． 系，则Ｂ Ｓ，因此，满足条件（Ｅ）的Ｓ一系是自由的． 令ｍ１＝ｈｓ，ｎｌ ｇｔ，则ｈａ＝ｍＩａ ，ｇａ ＝ｎ１ ａ”，且 定理２．３的证明：（１）＝＝＞（３）当ｓ是左可消 ｘｍｌ＝ｘｈｓ＝ｘｓ＝ｙｔ＝ｙｇｔ＝ｙｎ１，由ｓ的左可消性可 幺半群时，显然是右ＰＰ的，设Ａ是弱平坦Ｓ一 知，ｈ＝１＝ｇ，所以ａ＝ｍ１ ａ ，ａ ＝ｎ１ ａ”，因此Ａ满 系，ａ，ａ ∈Ａ，ｘ，Ｙ∈Ｓ，满足ｘａ＝ｙａ ．则在Ｓ Ａ 足条件（Ｐ），自然满足条件（Ｐ ）． 中有ｘ￣ａ＝ｙｏａ ，由Ａ的弱平坦性可知在（ｘＳ （３）ｊ（２）显然 ｕ ｙＳ）ｏＡ中有ｘｏａ＝ｙｏａ ，所以存在ｘ ，…ｘ （２） （１）由引理２．４知，Ｅ（Ｓ）：１，设ｒ，ｘ，Ｙ ∈（ｘＳ ｕ ｙＳ），ａ２，…ａ ∈Ａ，ｕ１，ｖ１，…，ｕ ，ｖ ∈Ｓ， ∈Ｓ满足条件ｒｘ＝ｒｙ，因ｓ是右Ｐ＿Ｐ的，所以存在ｅ 使得 ∈Ｅ（Ｓ），使得ｒ＝ｒｅ，且若ｒｓ＝ｒｔ，则ｅｓ＝ｅｔ，特别地 有ｅｘ＝ｅｙ，但ｅ＝１，所以ｘ＝Ｙ，这说明ｓ是左可消 的． 参考文献： ｘｎＶｎ Ｙ， ｕｎａｎ＝ｖｎ ａ ． ［１］Ｊ．Ｍ．Ｈｏｗｉｅ．Ａｎ ＩｎｔｒｏｄｕＣｔｉｏｎ ｔｏ Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｔｈｅｒｏｙ 令ｚ１＝ｘ，ｚｉ＝ｘＩ＇ｌ ｖ ，ｉ＝２，…，ｎ＋１．显然存 ［Ｍ］．Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９７６ 在ｋ＝｛１，２，…，ｎ＋１ ｊ，使得ｚ＝ｚ ∈（ｘｓ ｎ ｙｓ），令 ［２］ 刘仲奎．半群的Ｓ一系理论［Ｍ］．科学出版社，１９９８ ａ ＝ａ ∈Ａ，则利用上述等式组计算可知ｘａ＝ｙａ ＝ ［３］ 刘仲奎．强忠实右Ｓ一系［Ｊ］．数学杂志，１９９５， １５（４）：，４２９—４３５ ｚ１ａ＝ｚｎ＋１ ａ ：ｚｋａｋ＝ｚｋａ”＝ｚａ”．因为ｘａ＝ｚａ”＝ｘｓａ”， Ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ Ｍｏｎｏｉｄｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ（ＰＡ） Ｕ Ｊｕｎ （Ｊｉｕｑｕａｎ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｕｑｕａｎ Ｇａｎｓｕ ７３５０００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：ｗｅ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｔｈｅ ｌｅｔｆ ｅｈｍｉｎａｉｆｏｎ ｍｏｎｏｉｄｉ ｗｉｈｔ ｈｔｅ ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ（ＰＡ），ａｎｄ ｇｅｔ ａ ｃｈａｒａｃｔｅｉｆｚ￣ｉｏｎ ｏｆ Ｓ－ａｃｔｓ ｏｎ ｓｏｉｎｅ ｓｐｅｃｉａｌ ｍｏｎｏｉｄｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ（Ｐ）；Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ（ＰＡ）；Ｌｅｆｔ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ ８９ ａ ２