一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线
与圆
的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 参考答案： B 2. 若函数的导数为
，则
可以等于
A．
B. C．
D．
参考答案： B 略
3. 有一部四卷文集，按任意顺序排放在书架的同一层上，则各卷自左到右或由右到左卷号恰为1，2，3，4顺序的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
参考答案：
B
4. 下列框图属于流程图的是
（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
C
5. 已知函数（其中
为自然对数的底数），则下列说法错误的是（ ）
A. 函数的图象关于y轴对称 B. 函数的极小值为4 C. 函数在R上为增函数
D. 函数
的值域为(1,+∞)
参考答案：
C 【分析】
对于A项，利用偶函数的定义可判断其为偶函数，从而得到其正确性；对于B项，利用导数研究其单调性，从而求得其最值，得到其正确性，同时可以得出C是错误的，对于D项，可以利用二次函数的
最值来判断，从而求得结果. 【详解】根据题意，依次分析选项：
对于，则
，
函数
为偶函数，其图象关于
轴对称，
正确；
对于
其导数，若解可得
且当当
时，
则函数的极小值为正确；
对于，有
的结论，
错误；
对于
，函数
其值域为正确；
故选：
．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，涉及复合函数的单调性的判断，属于基础题．
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6. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为﹣1，则判断框①中可以填入的条件是（ ）
A．﹣1 B.0.5 C．2
D．10
参考答案：
A
A. n≥999
B. n≤999
C. n＜999
D. n＞999
参考答案：
C 【分析】
分析循环结构中求和式子的特点，可到最终结果：确定判断框的内容. 【详解】由图可得：
，因为此时需退出循环，所以填写：
故选：C.
.
，则
，所以
，当
时计算的值，此时再
8. 数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则（ ）
＋＋…＋等于
A. B.
C. D.
参考答案：
B
9. “m=﹣1”是“直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
【点睛】，通过将除法变为减法，达到简便运算的目的.
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的 y值是
参考答案：
C
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】当m=﹣1时，经检验，两直线平行，当两直线平行时，由充要条件的定义可得结论．
可得m=﹣1．利用
【解答】解：当m=﹣1时，直线l1：x+my+6=0 即 x﹣y+6=0．l2：（m﹣2）x+3y+2m=0 即﹣3x+3y﹣2=0，即 x﹣y+=0，
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显然，两直线平行．
当直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行时，由
可得m=﹣1．
故“m=﹣1”是“直线l1：x+my+6=0与l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行”的充要条件， 故选 C．
10. 下列特称命题中，假命题是 A．x∈Z，x2
-2x-3=0
B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除 C．存在两个相交平面垂直于同一条直线 D．x∈｛x是无理数｝，x2是有理数 参考答案： C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知三棱锥S﹣ABC所在顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，则球O的表面积为 ．
参考答案：
5π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．
【解答】解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°， ∴BC=
=
，
∴三角形ABC的外接圆直径2r==2，
∴r=1，
∵SC⊥面ABC，SC=1，三角形OSC为等腰三角形，
∴该三棱锥的外接球的半径R=
=
，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=5π．
故答案为：5π． 12. 不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
参考答案：
13. 将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 种.（用数字作答）
参考答案：
720
试题分析：本题可以分步来做：
第一步：首先从4个盒子中选取3个，共有4种取法；
第二步：假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑。由于前三个盒子中的球必须同时包含黑白红三色，所以我们知道，每个盒子中至少有一个白球，一个黑球和一个红球。
第三步：①这样，白球还剩一个可以自由支配，它可以放在三个盒子中任意一个，共3种放法。②黑球还剩两个可以自由支配，这两个球可以分别放入三个盒子中的任意一个，这里有两种情况：一是两个球放入同一个盒子，有3种放法；二是两个球放入不同的两个盒子，有3种放法。综上，黑球共6种放法。③红球还剩三个可以自由支配，分三种情况：一是三个球放入同一个盒子，有3中放法。二是两个球放入同一个盒子，另外一个球放入另一个盒子，有6种放法。三是每个 盒子一个球，只
有1种放法。综上，红球共10种放法。 所以总共有4×3×6×10=720种不同的放法。
考点：排列、组合；分布乘法原理；分类加法原理。
点评：本题考查排列、组合的运用，注意本题中同色的球是相同的。对于较难问题，我们可以采取分步来做。 14. 若函数f(x)=
的定义域是R则实数k的取值范围是 .
参考答案：
[0,1]
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15. 已知实数x，y满足
，若z=ax+y有最大值7，则实数a的值为 ．
参考答案：
﹣
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 则A（7，10）， 由z=ax+y得y=﹣ax+z，
若a=0，则y=﹣ax+z，在A处取得最大值，此时最大值为10，不满足条件．
若a＞0，即﹣a＜0，此时在A处取得最大值，此时7a+10=7，即7a=﹣3，a=﹣，不成立， 若a＜0，即﹣a＞0，此时在A处取得最大值，此时7a+10=7，即7a=﹣3，a=﹣， 综上a=﹣， 故答案为：﹣，
16. 计算：
+（3+i17）﹣
= ．
参考答案：
4+2i
【考点】A7：复数代数形式的混合运算．
【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．
【解答】解：原式=+（3+i）﹣
=
+3+i﹣i10
=i+3+i+1 =4+2i；
故答案为：4+2i． 17. f（x）=ax3﹣x2+x+2，，?x1∈（0，1]，?x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实
数a 的取值范围是 ．
参考答案：
[﹣2，+∞） 【考点】全称命题．
【分析】求出g（x）的最大值，问题转化为ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，即a≥在
（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：g′（x）=
，而x∈（0，1]，
故g′（x）＞0在（0，1]恒成立， 故g（x）在（0，1]递增， g（x）max=g（1）=0，
若?x1∈（0，1]，?x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）， 只需f（x）min≥g（x）max即可； 故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，
即a≥
在（0，1]恒成立，
令h（x）=
，x∈（0，1]， 4 / 7
h′（x）=
h（x）在（0，1]递增，
＞0，
故h（x）max=h（1）=﹣2， 故a≥﹣2，
故答案为：[﹣2，+∞）．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表： （1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名?
（2）根据列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？
参考答案：
（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有名，样本中不看营养说明的女生有
男 女 总计 (2) 假设
名；
：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则
应该很小.
看营养说明 50 30 80 根据题中的列联表得
由有,
可知
%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关？
不看营养说明 10 20 30 19. (10分)已知x，y都是正数．若3x＋2y＝12，求xy的最大值； 参考答案：
解 xy＝·3x·2y≤2＝6. 当且仅当即时取“＝”号．
总计 60 50 110 所以当x＝2，y＝3时，xy取得最大值6.
的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,直线的参
P(k2≥k0) 0.50 k0 0.40 0.25 1.323 0.15 0.10 0.05 3.841 0.025 0.010 0.005 0.001 已知曲线20. 5.024 6.635 7.879 10.828 0.455 0.708 2.072 2.706 数方程
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(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2)设曲线经过伸缩变换得到曲线,若在曲线上有一点,使点到直线的距离最
小，求出最小距离.
参考答案：
解：（Ⅰ）由
得，，…………………………２分
由
得，圆
.………………………………………………………４分
(Ⅱ)设点
是圆C上的任意一点，经过伸缩变换得到点
由得，把代入圆得，
所以曲线 …………………………………………………………………６分
令
，则点
到直线的距离
…………
…………………………………………………１０分
∴当即时，，此时，
∴当时，点到直线的距离的最小值为.…………１３分
略
21. 如图，在三棱锥
中，
底面
，点
，
分别在棱
上，且
． w.w.w..c.o.m
（１）求证：平面
；
（２）当
为
的中点时，求与平面
所成的角的正弦值； （３）是否存在点
使得二面角
为直二面角？并说明理由．
参考答案：
证明（１）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又
，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
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∴直线CD⊥平面PDE．
22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，
AN=2NB，E是AB中点．
（1）求证：直线AM∥平面PNC； （2）求证：直线CD⊥平面PDE； （3）求三棱锥C﹣PDA体积．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，通过证明四边形MFNA为平行四边形，得AM∥NA，于是AM∥平面PNC；
（2）由菱形性质可得CD⊥DE，由PD⊥平面ABCD可得PD⊥CD，故而CD⊥平面PDE； （3）利用公式VC﹣PDA=VP﹣ACD=
计算．
【解答】证明：（1）在PC上取一点F，使PF=2FC，连接MF，NF， ∵PM=2MD，AN=2NB，∴MF∥DC，MF=CD， 又AN∥DC，AN==CD．
∴MF∥AN，MF=AN，
∴MFNA为平行四边形，即AM∥NA． 又AM?平面PNC，FN?平面PNC， ∴直线AM∥平面PNC．
（2）∵E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°， ∴∠AED=90°．
∵AB∥CD，∴∠EDC=90°，即CD⊥DE． 又PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD， ∴CD⊥PD．
又DE∩PD=D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
（3）VC﹣PDA=VP﹣ACD=
=
=
，
【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
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