SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘要

SARS(严重急性呼吸道综合症，，俗称非典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。为了能定量的研究传染病的传播的规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。

本题中给出了一个早期指数模型，它在短期内有一定的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。

由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数r，用来表示发病率。在假设所研究地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合地区SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控

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和拟合世界上优于早期模型。同时，我们也通过Matlab语言对北京疫情的计算和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。

应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效地减少累计患病人数；“严格隔离能有效缩短疫情持续时间。

本文亦分析了海外旅游人数受SARS的影响情况，并用Matlab语言对2003年以前的每个月份旅游人数与月份进行数据拟合，进而估算出正常情况下2003年的旅游人数。在SARS的影响下，求出每个月份人数的减少率，拟合出月份与减少率的曲线图，从图中可以看出旅游人数在9月份开始恢复。

最后，给当地报刊写了一篇短文，说明传染病模型的研究任重道远和建立传染病模型的重要性。

一．问题的重述

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SARS的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。为此我们需要做以下工作：

(1)对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性。

(2)建立我们自己的模型，说明优于早期模型的原因；特别要说明怎样建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播所造成的影响。

(3)收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

(4)给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二．早期模型的分析和评价

1．对早期模型的简述

早期模型采用公式：N(t)=N0(1K)t (其中N0为初始时刻的病例数，k为 平均每病人每天可传染的人数，t为病例数目的增长时间)在L(平均每个病人可以直接感染他人的时间)天之内对疫情数据相对比较完整准确的地区进行数据拟合，进而运用相应的软件作出患病人数与时间的关系曲线。进而利用SARS传播的数学模型对北京疫情进行分析并预测其疫情的走势。

K代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、和公众采取的各种措施有关。整个模型的K值从开始到高峰期间保持

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不变，高峰期后的10天范围内k值逐步被调整到比较小的值，然后保持不变。并考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数规律，增长速度会放慢，采用半循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。 2．对早期模型的评价

实用性 ：通过建立这一模型可以定量的研究SARS出发期的疾病传播规率 依据参数k、t可以实现各地区的相关估计，预测SARS的发病高峰时间，发病趋势等。这些措施对SARS等疾病的防控具有重大的知道意义。

局限性：该模型在传染病病发初期具有一定的合理性，可以预防 疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足。模型的参数L，k的设定缺乏依据，具有一定的主观性。K值以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但却加大了与实际的偏差。模型中也混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念，而且借助其他地区的数据进行预测，后期预测结果不够准确，存在较大的偏差。由于SARS的发病情况与诸多因素有关，而实际上SARS的传播发展也需要一个较长的周期，所以，用短期的模型来描述长期的病发过程是不够科学合理的。

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三．建立自己的优化模型

1．建立更优模型的困难所在

要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，存在着许多的困难，还有许多努力地方向。

(1)缺乏详尽的、反应SARS疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参数的具体取值。本文的模型计算与分析研究，主要依据关于北京市的SARS疫情通告的数据。这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式不能满足模型求解的要求。

(2)需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构与调整参数，以及估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果。

(3)需要研究SARS在不同自然条件和社会条件下的差异，总结SARS传播与控制的典型地域性模式。

2．模型建立的过程

(1)模型建立中的假设与说明：假设所研究的人口为理想状态下的人群，对该病普遍易感，每个发病病人单位时间内传染的易感者人数与为被感染的人数成正比，隔离或预防意识增强可在一定程度上影响病人单位时间内传染易感者人数的比率。不考虑气温、气压等自然因素对SARS发病的影响。假设预测地区足够大，发病人数足够多。在整个过程中不考虑由人口流动因素所造成的影响，也不考虑人口的自然出生和死亡 。

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(2)符号说明：N: 某地累计发病人数 t0: 计算病例的初始时间 N0: t0时的累计发病人数 r: 发病率 K: 预防效果指数

Nmax: 理论预计累计发病最多人数 t'： 发病高峰时间

R2: Logistic模型的决定系数

(3)SARS模型建立及相对早期模型的优越性：早期模型只考虑了传染期限和传染率的问题，涉及的参数及考虑的因素存在许多不足。而实际的情况中，SARS的发病规律并不为我们所熟知，最原始的预防手段—隔离防治在控制疾病的蔓延上起到了至关重要的作用。于是我们引入了预防效果指数k，用来反映疾病的控制程度，它直接影响SARS的流行趋势、发病时间、发病高峰出现的时间及累计发病人数。又SARS发病传染迅猛，引入参数r来表示发病率。应用Logistic回归研究各地SARS发病的疫情资料，其趋势可用如下式(1)描述：

rNkN2dNdtNttN00

对式(1)求解得式(2):

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N=1k1krt()erN0r

(2)式中，Nmaxrk为预期传染病发病总人数，即理论上最多累计发病人数，

t'r2k所对应的时间为发病高峰时间。

依据题中的数据并按所建模型拟合，可得下表中北京地区的参数估计值 。

表一 Logistic回归对北京地区的参数估计值

地区 北京

根据北京地区确诊病例累计，经过Matlab编程拟合(见附录1)，得到疫情走势及预测值与真实值的比较，如下图：

N0 339 K 0.00007605; r 0.191

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为了更进一步证明我们的Logistic模型对疫区发病情况的拟合程度，引入决定系数R2作为检测标准。决定系数R21残差平方和总平方和。经过计算，北京地区模型的决定系数R2大于0.99，预测值与实际值非常相近，拟合优度检验无显著性差异，说明Logistic回归模型很好的描述了SARS的发病、流行情况，适合于SARS发病拟合及流行特征研究。在模型中，r表示流行发病增加速率，r越大，疾病发展变化越快，反应最初阶段发病人数增长速度越快，高峰到来时间越早，持续时间越短；r越小，高峰到来时间越晚，持续时间越长。另外，从医学的角度来讲，对SARS采取相应的预防措施(如：隔离、消毒等)后，病例数有所下降，说明预防措施与该疾病的发生发展密切相关。在我们所建立的Logistic SARS模型中引入了预防指数k，恰能更贴切的反应实际情况。

3．分析卫生部门所采取的措施

在SARS流行病期间，卫生部门采取的措施可以有：卫生部门控制人们之间的密切联系，控制传染期时间，引入反馈机制(如：强制措施)，加强疾病危险性的宣传教育，信息透明度等。在所有措施中，隔离开始的时间和隔离程度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现作出如下预测：

(1)在相同的隔离强度下，发现隔离时间开始的时间越早，累计病例总数就越小。

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(2)在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间久越短。

(3)累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短主要由隔离强度的大小决定。

综上，有关部门采取的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间。如果延后5天采取严格的隔离措施，其严重的影响后果不可设想；如果提前5天，则可使疫情得到有效的控制。

4．模型的特点 (1)模型的优点

首先，此模型引入了参数k(预防指数)，并运用Logistic阻滞增长模型来拟合，比较符合实际情况以及相关医学解释，也即用医学与数学相结合的知识阐明了SARS发生发展规律，拟合结果与实际流行趋势贴近。

其次，用t'和Nmax能够预测SARS高峰期的到来时间、可能累计最大发病数，这样，人们就可以以此为参考，人为地来改变一些参数或控制一些相关因素，从而达到预防疾病的传播与蔓延的效果，在现实中具有实用性。如：加强消毒，控制人口流动，这些措施均可以增大k，从而可以使实际高峰期累计病例数降低。

第三，结果用图像拟合说明、验证，简洁直观。

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(2)模型的不足

尽管我们的预测结果已经很好了，但仍然存在一些不足。当医疗条件变化时，治疗可能会成为最有效的手段，而且医源性感染的可能性也会大大降低，那么，此时k的意义就不会像现在这样的明显重要。而且根据现有数据，所拟合的模型都具有滞后性，原始数据的精确度会影响到模型的效果。而下一代的SARS模型或许应该更复杂，涉及到更详细的空间和随机过程、作为病毒源头的动物、季节因素和多种传染模式，那么，Logistic SARS模型的应用就受到了。因此，它应该随着条件的改变而逐步改进。

(3)模型的改进与推广

如果能够将传染源、接触率等因素化为参数考虑进去，可以进一步完善模型，使之提供潜伏期、阈值、恢复期、最多感染人数、易感系数、平均感染人数等参数。并且，若将功能基因组的分析工作进一步扩张到冠状病毒以外与SARS相关的病原体中，则对该模型的分析还可以为疫苗和新型药物的研制提供理论支持。

四．SARS对旅游业的影响

SARS的流行会对国民经济带来一定的影响。现在题目中提供了北京市接待海外旅游人数的数据，我们根据这些数据，预测SARS对北京市的旅游业所产生的影响。

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1.预测正常情况下2003年的旅游人数

一般情况下，旅游业会随着经济的发展，有一个逐年提高的趋势。如果没有SARS的传播和流行，那么，海外旅游人数在相应的月份会以一定的规律保持逐年增长的趋势。

现在需要预测正常情况下2003年的旅游人数，我们利用Matlab语言对1997年到2002年的每个月份的旅游人数进行数据拟合，做出人数对月份的函数关系图，并运用函数关系图预测出2003年的每个月份的旅游人数。数据拟合图以及数据表格如下：

一月份的拟合曲线：

二月份拟合曲线：

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(注：三月份至九月份的旅游人数与时间的数据拟合依据同样的方法进行，其中用到的Matlab语言程序如附录2所示)

表二 预测正常情况下2003年的旅游人数

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ,.

人数 15.2000

36.4700 25.9700 32.1500 32.8300 31.6000 29.3300 36.4100 33.1400 33.0667 31.0000 27.7990

2.预测受SARS影响下2003年的实际旅游人数

实际旅游人数受到SARS的影响，从附件3的表格中可以看出，旅游人数从3月份开始下降，在5月达到最低点后开始回升。

我们接下来需要做的就是预测什么时候开始旅游人数不受SARS的影响，亦即什么时候旅游人数开始恢复。这样，我们我们就可以在接下来的月份内用正常的旅游人数来估计，对于什么时候开始恢复，我们先求出每个月实际旅游人数与正常预测的旅游人数相比的减少率。计算公式为：

预测人数-实际人数

这样我们可以求出每个月的减少率，再用Matlab语言拟合出月份与减少率的函数关系，图像如下图：

预测人数减少率

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再求出上图的根，求得减少率在8月29号变为0，因此我们可以知道从9月份开始旅游人数就几乎不再受SARA的影响。从而获得受SARA影响下的旅游人数如下表(所用程序如附录3)：

表三 预测SARS影响下2003年9月份到12月份旅游人数

月份 人数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 33.1 33.1 31.0 27.8 ,.

五．写给当地报刊的短文

传染病模型的研究任重道远

传染病是危及人类身体健康的重要因素之一，长期以来一直受到世界各国的关注。随着社会的发展、卫生设施和医疗水平的改善和人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染病已经得到了有效的控制。但是在世界的某些地区，由于战争对抗、人为失误或病毒变异等因素，还不时出现传染病流行的情况，如82年英国的全国性沙门氏菌病暴发流行，以及最近迅速蔓延全SARS

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目前很多学者对SARS的传播进行了大量的研究。大部分研究采用常微分方程方法进行分析，以个体相互作用的方式研究病毒的传播。最近中国科学院研究生院借鉴流体力学中宏观偏微分方程与微观分子动力学方法相结合的方法，首次建立了传染病传播概率模型。这些模型的出现为疫情的评估和控制提供了科学数据，其重要性可从这次SARS事件中窥见一斑：

1、科学预测，合理分析。

在疫情忽然爆发引起公众普遍关注后，人们最关心的问题有：“SARS疫情将如何发展？何时才能得到有效控制？有没有办法对它进行科学预测？”以上问题均可以通过建立数学模型来解决。作为中国的首都，同时又是重灾区的北京，正是众人关注的焦点。之前已有模型预测北京在实施严格的隔离之后，4月底高峰期过后将呈现下降趋势，直至7月将实现零增长，届时累计患者数将达2800多人。事实证明这一预测虽不全中亦不远矣。

2、理智对待，减小恐慌。

在疫情爆发初期，未知病毒的神秘性容易对人造成心理干扰，导致大片人群的恐慌。但根据传染病模型，我们知道当一个传染期内每个病人有效接触易感者的平均人数小于一个人时，病人的比例将逐渐变小，最终实现零增长。也就是说一旦采用严格控制隔离的方法有效地切断了病源和易感人群的联系，将病人的有效接触人数减少到一个以下，必然可以达到有效控制或消除疾病的目的。

3、模拟预测，指导控制措施。

一些模型对控制的力度和时机作了相应的模拟，为各地区SARS疫情发展前景预测及控制疫情的制订给出了科学依据，并提出了一些实用的建议。如：及早采取果断控制措施；即使防范措施晚了一些，出现了高峰，但只要

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控制严格，降低感染率（即严格进行人群隔离，切断传染途径），前景还是乐观的，因为疫期长度与感染人数峰值并不呈正比例关系等。

4、吸取经验教训，预防疫情反弹。

即使在疫情已接近尾声的今天，对传染病模型的研究仍在继续。在此次SARS战役中，我们获得了宝贵的数据，也吸取了不少的经验教训。通过模型预测，有专家指出：后期绝对不能松懈大意，哪怕是几个病人逃脱控制，也可能造成疫情的反弹，不仅会造成总感染人数的增加，更为严重的是导致疫期的显著延长，由此对我国的国际形象、社会心理、经济增长造成重大损失。

目前对SARS传播的研究主要是以个体相互作用的情况而言，其计算结果的准确性、可靠性将受到。随着疫情接近尾声，对SARS的传染病学机理和传播机制越来越了解，可考虑疫情的空间分布和时间发生的概率，结合计算机进行大量模拟，得出更为全面和准确的模型。进一步的工作和更准确结果的得出，将有待于专家学者们进行深入研究。

六．参考文献

郭大伟，数学建模，安徽教育出版社，2009年2月。

段广才，临床流行病学和统计学，郑州：郑州大学出版社，2002年8月。 胡鞍钢，正确认识SARS危机，民主与科学，第三期：第5-8页，2003年。 周品等，Matlab数理统计分析，北京：国防工业出版社，2009年四月。 黄得生等，Logistic回归模型拟合SARS发病及流行特征，中国公众卫生，

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第19卷第6期：第71-72页，2003年。

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附录1：Matlab语言程序 function y=f(a,t)

y=a(1)./(a(2)+exp(-a(1)*t)*(a(1)+399*a(2))./399) x=1:65; y=[];

[a(1),a(2)]=lsqcurvefit(‘f’,[1;1],x,y);

y1= a(1)./(a(2)+exp(-a(1)*t)*(a(1)+399*a(2))./399); plot(x,y1,’-’); hold on plot(x,y,’*’) xlabel(‘X’) ylabel(‘Y’)

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legend(‘拟合图像’,’原始图像’) 附录2：

x=[x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12];

y1=1:6;c=0:0.1:10; p1=polyfit(y1,x,1); p2=polyfit(y1,x,2); p3=polyfit(y1,x,3);

plot(y1,x,'*',c,polyval(p1,c),'x',c,polyval(p2,c),'d',c,polyval(p3,c),'o') axis([0,10,15,35]) xlabel('年份') ylabel('旅游人数')

legend('原始数据','一次拟合','二次拟合','三次拟合') 附录3：

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y1=1:8;c=0:0.1:15; p1=polyfit(y1,a,1); p2=polyfit(y1,a,2); p3=polyfit(y1,a,3); p4=polyfit(y1,a,4); p5=polyfit(y1,a,5);

plot(y1,a,'*',c,polyval(p1,c),'x',c,polyval(p2,c),'d',c,polyval(p3,c),'o',c,polyval(p4,c),'h',c,polyval(p5,c),'p') axis([0,15,-0.1,1]) xlabel('月份') ylabel('月减少率')

legend('原始数据','你第一次拟合','你第二次拟合','你第三次拟合','你第四次拟合','你第五次拟合')

plot(y1,a,'*',c,polyval(p3,c),'o') axis([0,15,-0.1,1]) xlabel('月份') ylabel('月减少率'

legend('原始数据','你第三次拟合')