A.30°B.45°C.60°D.90° 【答案】D 【解析】
试题分析:如图所示,连接B1C,
则B1C∥A1D,B1C⊥BC1,∴A1D⊥BC1,∴A1D与BC1所成的角为90°. 故选:D.
考点:异面直线及其所成的角
2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°,则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值() A.
6141510B.C.D. 3755【答案】B 【解析】
试题分析:设向量ABa,ADb,AA1c,则AC1abc,A1Dbc,
AC12,A1D7, cosAC1,A1DAC1A1DAC1A1D14。 7考点:空间向量的集合运算及数量积运算。
3.正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则直线EF与
GH所成的角是()
A.30°B.45°C.60°D.90° 【答案】C 【解析】
试题分析:由三角形中位线可知EFA1B,GHBC1,所以异面直线所成角为A1BC1,大小为60°
考点:异面直线所成角
4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是B1C1的中点,则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为() A.251025B.C.10D. 5555【答案】B 【解析】
试题分析:取BC中点F,连结FD,FC1,则DC1F为异面直线所成角,设边长为2,
C1F5,DC18,DF5cosDC1F10 5考点:异面直线所成角
5.如图,正四棱柱ABCDABCD中(底面是正方形,侧棱垂直于底面),AA3AB,则异面直线AB与AD所成角的余弦值为()
473A、9B、C、D、
510510【答案】A
【解析】
试题分析:连结BC',异面直线所成角为A'BC',设AB1,在A'BC'中
''AC2,A'BBC'10 考点:异面直线所成角
6.点P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PAAB,则PB与AC所成的角是
A.60B.90C.45D.30 【答案】A 【解析】
试题分析:作出空间几何体如下图所示:设正方形的边长为2,
.
所以PB与AC所成的角就是FEA,由题意可知:EFAEAF2, 所以FEA60.
考点:异面直线的位置关系.
7.如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是棱CD的中点,则A1M与DC1所成角的余弦值为() A.210210B.C.D. 610610【答案】A 【解析】
试题分析:以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系
1D-xyz,由棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),M(0,,0),C1(0,1,1),所以
210+-1212,故选A. A1M=(-1,,-1),DC1=(0,1,1),故cos 8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为AB、BC中点,则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为 A.3321B.C.D. 2232【答案】D 【解析】 试题分析:联结AC、B1C则B1AC即为所成的角。B1AC为等边三角形,所以 1 2考点:异面直线所成的角 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所的θ角的取值范围是() cosB1ACcos60P A.B.C.D. 【答案】D 【解析】如图,连结CD',则异面直线CP与BA'所成的角θ 等于∠D'CP,由图可知,当P点与A点重合时,θ= 3当P点无限接近D'点时,θ趋近于0.由于是异面直线,故θ≠0. 选D 考点:空间几何体,异面直线所成角 10.如图,正方体ABCDA1B1C1D1,则下列四个命题: ①P在直线BC1上运动时,三棱锥AD1PC的体积不变; ②P在直线BC1上运动时,直线AP与平面ACD1所成角的大小不变; ③P在直线BC1上运动时,二面角PAD1C的大小不变; ④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,则M点的轨迹是过D1点的直线 其中真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4 【答案】C 【解析】 试题分析:①∵BC1∥平面AD1,∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等,所以体积不变,正确.②P在直线BC1上运动时,直线AB与平面AD1C所成角和直线AC1与平面AD1C所成角不相等,所以不正确.③当P在直线BC1上运动时,AP的轨迹是平面PAD1,即二面角PAD1C的大小不受影响,所以正确.④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点,∴M点的轨迹是一条与直线DC1平行的直线,而DD1D1C1,所以正确,故答案为:C. 考点:异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积;与二面角有关的立体几何综合题. 11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线B1M与CN所成的角是() A.0B.45C.60D.90 【答案】D 【解析】 试题分析:解:取AA1的中点E,连接EN,BE交B1M于点O, 则EN//BC,且ENBC 四边形BCNE是平行四边形 BOM就是异面直线B1M与CN所成的角, 而RtBB1MRtABE ABEBB1M,BMB1AEB, BOM900.故选D. 考点:异面直线所成角 12.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=2,则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 【答案】60° 【解析】 试题分析:由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=2可得BD12,由ABA1B1知ABD1就是异面直线A1B1与BD1的夹角,且cosABD1AB1,所BD12以ABD1=60°,即异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于60°. 考点:1正四棱柱;2异面直线所成角 13.如果直线AB与平面相交于B,且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同,则直线AB与CD所成的角=_________. 【答案】900 【解析】 试题分析:因为,直线AB与平面相交于B,且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同,所以,直线AB在平面内的射影应是BC,BD夹角的平分线,同时也应是 BD,BE夹角及BC,BE的平分线,因此,直线AB在平面内的射影是点B,即AB, 而CD,所以ABCD,直线AB与CD所成的角为900 考点:直线与直线、直线与平面的位置关系. 14.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为2,且两两夹角为60°,则DB1和C1A1所成角大小为____________. 【答案】arccos【解析】 试题分析:由于DB1ABAA1AD,A1C1ABAD,而 6 6DB1C1A1[ABAA1AD](ABAD)ABABADAA1ABAA1ADADABAD4,同理求 22DB1AB1AA1ADAB1AA1AD2AB1AA12AB1AD2AA1AD 22222=8,DB122,同理:C1A123,设DB1和C1A1所成角大小为,则 coscosDB1,C1A1DB1C1A1DB1C1A1466,arccos. 662223考点:1.向量的加法和减法;2.向量的数量积;3.向量的模;4.异面直线所成的角; 15.已知四面体ABCD中,DADBDC32,且DA,DB,DC两两互相垂直,点O是 ABC的中心,将DAO绕直线DO旋转一周,则在旋转过程中,直线DA与直线BC所成 角的余弦值的最大值是____ 【答案】 6. 3【解析】 试题分析:当OA//BC时,直线DA与直线BC所成角最小,对应的余弦值最大,即cosOAD; 易知:ABACBC6,OA6考点:异面直线所成的角. 16.如图所示,ABCDA1B1C1D1为正方体,给出以下五个结论: ①BD//平面CB1D1; ②AC1⊥平面CB1D1; ③AC1与底面ABCD所成角的正切值是2; ④二面角CB1D1C1的正切值是2; ⑤过点A1且与异面直线AD和CB1均成70°角的直线有2条. 其中,所有正确结论的序号为________. 【答案】①②④ 【解析】 试题分析:如下图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, 由于BD∥B1D1,由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1,故①正确. 由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1,CC1⊥B1D1,故B1D1⊥平面ACC1A1,故B1D1⊥AC1. 同理可得B1C⊥AC1.再根据直线和平面垂直的判定定理可得,AC1⊥平面CB1D1,故②正确. AC1与底面ABCD所成角的正切值为 3OA23623,cosOAD. 3DA323CC112,故③不正确. AC22取B1D1的中点M,则∠CMC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角,Rt△CMC1中,tan∠CMC1= CC112,故④正确. C1M22如下图,由于异面直线AD与CB1成45°的二面角,过A1作MN∥AD、PQ∥CB1,设MN与PQ确定平面α,∠PA1M=45°,过A1在面α上方作射线A1H, 则满足与MN、PQ成70°的射线A1H有4条:满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条,满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条,满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条, 满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条.故满足与MN、PQ成70°的直线有4条,故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条,故⑤不正确. 故答案为①②④. 考点:二面角的定义及求法;直线和平面平行的判定;直线和平面垂直的判定;异面直线的判定. 17.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心,G是CC1的中点。设GF,C1E与AB所成的分别为,,则 2【解析】 【答案】 试题分析:取正方形B1C1CB的中点为点O,连结OC1,OE,取BC的中点为点A,连结 GH,FH,通过分析可知OC1//GH,OE//FH 得平面C1EO//平面GFH,设正方形边长为2,在GFH中,GH2,FH1,GF3,则sin23,cos2313,在C1EO中,OE2,C!E6,OC12,则sin2613, cos26,所以。 2考点:直线与平面所成角,面面平行问题。 18.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是 【答案】 3【解析】 试题分析:如图所示,建立空间直角坐标系.由于AB=BC=AA1,不妨取AB=2,则E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2).∴EF=(0,﹣1,1),BC1=(2,0,2).∴ cosEF,BC1为: EFBC121.∴异面直线EF和BC1的夹角为.故答案 3|EF||BC1|282. 3考点:用空间向量求直线间的夹角、距离;异面直线及其所成的角. 19.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB900,AA12,ACBC1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____________. 【答案】【解析】 试题分析:由于AC∥A1C1,所以BA1C(或其补角)就是所求异面直线所成的角,在BA1C11中,A1B6,AC111,BC15,cosBAC11考点:异面直线所成的角. 20.在正三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长均相等,BC1与B1C的交点为D,则AD与平面 6 66156. 6261BB1C1C所成角的大小是_______. 【答案】60 【解析】 试题分析:如图所示取BC中点E,连接AE,DE, 易得AD与平面BB1C1C所成角为ADE,设正三棱柱棱长为2,则等边三角形ABC,边上的中线AE3,DE1,直角三角形中ADE60 考点:直线与平面所成的角. 21.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________. 【答案】15 15oo【解析】 试题分析:求异面直线所成的角,关键是作出这个角,一般把异面直线的一条平移后与另一条相交,得到要求的角(当然异面直线所成的角不大于90)本题中我们就可以把C1D向 EBD1,下平移到过点C(实际作图时,是延长B1B到E,使B则有CE∥C1D,然后在A1CE中求出A1CE,就可得出题中要求的角. 考点:异面直线所成的角. 22.四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为5,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA 所成角的余弦值为. 【答案】 5 5【解析】 试题分析:∵正方形ABCD中,CD∥AB,∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所 PA2AB2PB25455成的角,△PAB中,PA=PB=5,AB=2,∴cos∠PAB=. 2PAAB5252考点:1.余弦定理的应用;2.异面直线及其所成的角 23.如图所示,正方形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,将此正方形沿EF折成直二面角后,异面直线AF与BE所成角的余弦值为. 1【答案】 2【解析】 试题分析:过F做FH//DC,过A做AGEF,连接GH, 在三角形AGH中,AH102=3,AFH即为异面直线AF与BE所成角. 44设正方形ABCD的边长为2,则在AFH中,AF1,FH2,AH3, 11,故答案为. 22考点:异面直线所成的角的计算 2【答案】 3【解析】如图,由AD∥BCDAE是异面直线AE与BC所成角,连结DE, ∴cosAFH则DE平面CD1中 设正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2,则 25.有一中多面体的饰品,其表面右6个正方形和8各正三角形组成(如图),AB与CD所成的角的大小是_____________ A B C D 3【解析】AB与CD是正方形的边,则AB//EF,CD//FG, 【答案】 因为EF和FG是正三角形EFG的两边,则AB与CD所成的角为 . 326.如图,在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为1,已知B1E1=D1F1= 3A1B1.则4BE1与DF1所成的角的余弦值为. 7【答案】 25【解析】略 27. 图2是正方体的展开图,其中直线AB与CD在原正方体中的成角的大小是_______。 【答案】60度 【解析】 28.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在A上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是. D1 A1 y D P A M B C x B1 C1 【答案】y2x 【解析】【思路分析】过P点作PQ⊥AD于Q,再过Q作QH⊥A1D1于H,连PH,利用三垂线定理可证PH⊥A1D1.设P(x,y), 2319131∵|PH|2-|PH|2=1,∴x2+1-[(x)2+y2]=1,化简得 3y221x. 39【命题分析】以空间图形为载体,考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法. 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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