异面直线所成角练习

A．30°B．45°C．60°D．90° 【答案】D 【解析】

试题分析：如图所示，连接B1C，

则B1C∥A1D，B1C⊥BC1，∴A1D⊥BC1，∴A1D与BC1所成的角为90°． 故选：D．

考点：异面直线及其所成的角

2．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值（） A．

6141510B．C．D． 3755【答案】B 【解析】

试题分析：设向量ABa,ADb,AA1c，则AC1abc,A1Dbc，

AC12,A1D7， cosAC1,A1DAC1A1DAC1A1D14。 7考点：空间向量的集合运算及数量积运算。

3．正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H分别是AA1,AB,BB1,B1C1的中点，则直线EF与

GH所成的角是（）

A．30°B．45°C．60°D．90° 【答案】C 【解析】

试题分析：由三角形中位线可知EFA1B,GHBC1，所以异面直线所成角为A1BC1，大小为60°

考点：异面直线所成角

4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为（） A．251025B．C．10D． 5555【答案】B 【解析】

试题分析：取BC中点F，连结FD,FC1，则DC1F为异面直线所成角，设边长为2，

C1F5,DC18,DF5cosDC1F10 5考点：异面直线所成角

5．如图，正四棱柱ABCDABCD中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），AA3AB，则异面直线AB与AD所成角的余弦值为（）

473A、9B、C、D、

510510【答案】A

【解析】

试题分析：连结BC'，异面直线所成角为A'BC'，设AB1,在A'BC'中

''AC2,A'BBC'10 考点：异面直线所成角

6．点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是

A．60B．90C．45D．30 【答案】A 【解析】

试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，

．

所以PB与AC所成的角就是FEA，由题意可知：EFAEAF2， 所以FEA60．

考点：异面直线的位置关系．

7．如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD的中点，则A1M与DC1所成角的余弦值为（） A.210210B.C.D. 610610【答案】A 【解析】

试题分析：以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系

1D-xyz，由棱长为1，则D(0,0,0),A1(1,0,1),M(0,,0),C1(0,1,1),所以

210+-1212，故选A. A1M=(-1,,-1),DC1=(0,1,1),故cos==-32622考点：空间向量所成角的余弦值.

8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为 A．3321B．C．D． 2232【答案】D 【解析】

试题分析：联结AC、B1C则B1AC即为所成的角。B1AC为等边三角形，所以

1 2考点：异面直线所成的角

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所的θ角的取值范围是（） cosB1ACcos60P A.B.C.D.

【答案】D

【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP与BA'所成的角θ 等于∠D'CP，由图可知，当P点与A点重合时，θ＝

 3当P点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0. 选D

考点：空间几何体，异面直线所成角

10．如图，正方体ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥AD1PC的体积不变；

②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角PAD1C的大小不变；

④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线 其中真命题的个数是 A．1B．2C．3D．4 【答案】C 【解析】

试题分析：①∵BC1∥平面AD1，∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成角和直线AC1与平面AD1C所成角不相等，所以不正确．③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角PAD1C的大小不受影响，所以正确．④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴M点的轨迹是一条与直线DC1平行的直线，而DD1D1C1，所以正确,故答案为：C.

考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题.

11．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是（） A.0B.45C.60D.90 【答案】D 【解析】

试题分析：解：取AA1的中点E，连接EN，BE交B1M于点O， 则EN//BC，且ENBC 四边形BCNE是平行四边形

BOM就是异面直线B1M与CN所成的角， 而RtBB1MRtABE

ABEBB1M，BMB1AEB，

BOM900．故选D．

考点：异面直线所成角

12．如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=2,则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 【答案】60° 【解析】

试题分析：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=2可得BD12,由ABA1B1知ABD1就是异面直线A1B1与BD1的夹角,且cosABD1AB1,所BD12以ABD1=60°,即异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于60°．

考点：1正四棱柱；2异面直线所成角

13．如果直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC，BD，BE所成的角相同，则直线AB与CD所成的角=_________. 【答案】900 【解析】

试题分析：因为，直线AB与平面相交于B，且与内过点B的三条直线BC,BD,BE所成的角相同，所以，直线AB在平面内的射影应是BC,BD夹角的平分线，同时也应是

BD,BE夹角及BC,BE的平分线，因此，直线AB在平面内的射影是点B，即AB，

而CD，所以ABCD，直线AB与CD所成的角为900

考点：直线与直线、直线与平面的位置关系. 14．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为____________. 【答案】arccos【解析】

试题分析：由于DB1ABAA1AD,A1C1ABAD，而

6 6DB1C1A1[ABAA1AD](ABAD)ABABADAA1ABAA1ADADABAD4，同理求

22DB1AB1AA1ADAB1AA1AD2AB1AA12AB1AD2AA1AD

22222=8,DB122，同理：C1A123，设DB1和C1A1所成角大小为，则

coscosDB1,C1A1DB1C1A1DB1C1A1466，arccos. 662223考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角； 15．已知四面体ABCD中，DADBDC32，且DA,DB,DC两两互相垂直，点O是

ABC的中心，将DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成

角的余弦值的最大值是____ 【答案】

6. 3【解析】

试题分析：当OA//BC时，直线DA与直线BC所成角最小，对应的余弦值最大，即cosOAD；

易知：ABACBC6,OA6考点：异面直线所成的角.

16．如图所示，ABCDA1B1C1D1为正方体，给出以下五个结论： ①BD//平面CB1D1； ②AC1⊥平面CB1D1；

③AC1与底面ABCD所成角的正切值是2； ④二面角CB1D1C1的正切值是2；

⑤过点A1且与异面直线AD和CB1均成70°角的直线有2条．

其中，所有正确结论的序号为________． 【答案】①②④ 【解析】

试题分析：如下图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

由于BD∥B1D1，由直线和平面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，故①正确． 由正方体的性质可得B1D1⊥A1C1，CC1⊥B1D1，故B1D1⊥平面ACC1A1，故B1D1⊥AC1．

同理可得B1C⊥AC1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1⊥平面CB1D1，故②正确． AC1与底面ABCD所成角的正切值为

3OA23623,cosOAD. 3DA323CC112，故③不正确． AC22取B1D1的中点M，则∠CMC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，Rt△CMC1中，tan∠CMC1=

CC112，故④正确． C1M22如下图，由于异面直线AD与CB1成45°的二面角，过A1作MN∥AD、PQ∥CB1，设MN与PQ确定平面α，∠PA1M=45°，过A1在面α上方作射线A1H， 则满足与MN、PQ成70°的射线A1H有4条：满足∠MA1H=∠PA1H=70°的有一条，满足∠PA1H=∠NA1H=70°的有一条，满足∠NA1H=∠QA1H=70°的有一条，

满足QA1H=∠MA1H=70°的有一条．故满足与MN、PQ成70°的直线有4条，故过点A1与异面直线AD与CB1成70°角的直线有4条，故⑤不正确． 故答案为①②④．

考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.

17．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点。设GF，C1E与AB所成的分别为,，则

 2【解析】 【答案】

试题分析：取正方形B1C1CB的中点为点O，连结OC1,OE,取BC的中点为点A，连结

GH,FH，通过分析可知OC1//GH,OE//FH

得平面C1EO//平面GFH,设正方形边长为2，在GFH中，GH2,FH1，GF3，则sin23,cos2313,在C1EO中，OE2,C!E6,OC12，则sin2613,

cos26,所以。 2考点：直线与平面所成角，面面平行问题。

18．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是

【答案】

3【解析】

试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系．由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，则E（0，1，0），F（0，0，1），C1（2，0，2）．∴EF=（0，﹣1，1），BC1=（2，0，2）．∴

cosEF,BC1为:

EFBC121．∴异面直线EF和BC1的夹角为．故答案

3|EF||BC1|282． 3考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角．

19．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900,AA12,ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____________． 【答案】【解析】

试题分析：由于AC∥A1C1，所以BA1C（或其补角）就是所求异面直线所成的角，在BA1C11中，A1B6，AC111，BC15，cosBAC11考点：异面直线所成的角．

20．在正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等，BC1与B1C的交点为D，则AD与平面

6 66156． 6261BB1C1C所成角的大小是_______． 【答案】60

【解析】

试题分析：如图所示取BC中点E，连接AE，DE，

易得AD与平面BB1C1C所成角为ADE，设正三棱柱棱长为2，则等边三角形ABC，边上的中线AE3，DE1，直角三角形中ADE60

考点：直线与平面所成的角.

21．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为__________． 【答案】15 15oo【解析】

试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于90）本题中我们就可以把C1D向

EBD1，下平移到过点C（实际作图时，是延长B1B到E，使B则有CE∥C1D，然后在A1CE中求出A1CE，就可得出题中要求的角． 考点：异面直线所成的角．

22．四棱锥P—ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA 所成角的余弦值为.

【答案】

5 5【解析】

试题分析：∵正方形ABCD中，CD∥AB，∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所

PA2AB2PB25455成的角，△PAB中，PA=PB=5，AB=2，∴cos∠PAB=. 2PAAB5252考点：1.余弦定理的应用；2.异面直线及其所成的角

23．如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为.

1【答案】

2【解析】

试题分析：过F做FH//DC，过A做AGEF，连接GH， 在三角形AGH中，AH102＝3，AFH即为异面直线AF与BE所成角. 44设正方形ABCD的边长为2，则在AFH中，AF1，FH2，AH3，

11，故答案为. 22考点：异面直线所成的角的计算

2【答案】

3【解析】如图，由AD∥BCDAE是异面直线AE与BC所成角，连结DE，

∴cosAFH则DE平面CD1中

设正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2，则

25．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB与CD所成的角的大小是_____________ A B C

D

 3【解析】AB与CD是正方形的边，则AB//EF，CD//FG， 【答案】

因为EF和FG是正三角形EFG的两边，则AB与CD所成的角为

． 326．如图，在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为1，已知B1E1=D1F1=

3A1B1.则4BE1与DF1所成的角的余弦值为.

7【答案】

25【解析】略 27．

图2是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中的成角的大小是_______。 【答案】60度 【解析】

28．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在A上，且AM=AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是.

D1 A1 y D P A M B C x

B1 C1 【答案】y2x

【解析】【思路分析】过P点作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连PH，利用三垂线定理可证PH⊥A1D1.设P（x，y），

2319131∵|PH|2-|PH|2=1，∴x2+1-[(x)2+y2]=1，化简得

3y221x. 39【命题分析】以空间图形为载体，考查直线与平面的位置关系以及轨迹方程的求法.