每静 譬 浅谈数学思想在解题中的运用 ◆林国福 （ＩＩＩ东省栖霞市庙后镇中学） 【摘要】中学数学的内容是由具体的数学知识和系统的数学思想方法组成的有机整体。在中学数学的教学中，对学生数学思想的培养与 锻炼是一个重要的方面，它贯穿于整个数学教学的始终，对于学生数学素质的提高以及数学能力的培养具有十分重要的作用 【关键词】数学思想解题方法运用 Ｈ口／（ ）一，（ ）＜０，所以ｆ（ｘ ）＜，（ ）。 所谓的数学思想是指人们对于数学理论与内容的本质认识，它直接支 配着数学的实践活动，是解决数学问题的灵魂。数学思想的范围较为广 泛，同一种数学思想可以应用于不同的教学阶段，因此在中学数学教学中 所以函数／（ ） 一６ｘ ＋９在Ｉ 问（Ｏ，１） 是 嘲递减溶ｆ数。 个，ｌ ｌ，Ｊ 能订 这说明假设函数，、（ ）在 间（Ｏ，１） 有零点的话，也只能订注重数学思想的渗透与挖掘具有十分重要的意义。本文以数学教学中常 用的几种数学思想为基础，并结合相应的例题分析如何运用数学思想方法 解决数学问题。 一汹个，从『 ＋得疗程，’（ ）＝０在区问（Ｏ，１）内不可能有两个不同的实根。 点评：有的同学看见这个题可能感觉到无从下手，平时我们接触最多 的是处理二次方程根的问题，而这里出现的却是三次方程，于是我们可以 考虑是否可以将问题转化为一些我们熟悉的问题。由证明的过程可知，我 们将寻求方程根的问题转化成了寻求函数单调区间，再根据函数在区间端 点处的值的具体情况来确定方程的根的情况。这样就使得问题的处理变 得简单和明朗了许多。 三、分类讨论思想 、函数与方程思想 函数思想，是指变量与变量之间的一种对应关系思想，或者说是一个 集合到另一个集合的一种映射思想。方程思想是从问题的数量关系入手， 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不 等式组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还可 分类讨论思想是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对 以通过实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。当一个 象区分为不同类的思想方法。分类是以比较为基础，它能揭示数学对象之 问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究 间的规律，所以分类是近代和现代数学中一种重要的思想方法。分类讨论 以解决这个问题。 是一种重要的数学思想，又是～种重要的解题策略，用分类讨论解决问题， 例１．若关于 的方程 十ｍ —ｌ：０百个ＩＥ根和『ｌ一个便报，儿负根的绝 关键是要选定好标准、角度，最后还要注意归纳、总结，这样才能做到分析 对值较犬，求实数ｍ的墩值范潮。 分析：此力程是 元 次疗程，它订Ｍ个撤棚 ｊ 玖蛹数 问题不重复，不遗漏。 ／’ ）＝ ：＋ Ｈ＋ｍ—ｌ有两个零点，所以应借助 次函数有关理沧及 像去解决 解：令ｆ（ｘ）＝ ＋ｍｘ＋ｍ一】，其 像 例０．盔ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝ ，ＢＣ＝ ＋ｐ（ｍ＞０ Ｐ＞０），ＡＣ＝√ｍ：＋ｎ ，若 ｍ ＝ ：＋Ｐ ，试分制就Ｆ列羔＝｝【｝Ｉ｛ 况讨论＆４ＢＣ的形状。 的对称轴为 ：一：ｍ２ ｌ为力ｌ ＋，， 十 —ｌ＝０仃 个 揪和个负撤， 姗 数，（ ）有两个零点 ，． ，。 ｉｈ题意 妨设 ．＞０， 满足题没的充要条＜０，ｌｉ 件为 ； ｆ ｌ ＼ ＼ ①０＜ ＜ 历 ２：⑦ 一￣／５－！￣４５－２＜旦＜１：＿＿． ／ｌ ： ｌ／ ， ２ ２ ｌ Ｉ、 ｌ，Ｉ嘲出甬数的 像如 １ １ ｊ珂永， 分析：咳题扁】 她 的分类讨论的题Ｈ， 要根据Ｐ＿群ｊｍ在 嗣范陶｝＿ｆｊ的比 值来确定＆４ＢＣ的形状，砺对 ｊ角形形状的确定，根据我们所学习的知识可知， 常用的方法是根据余弦定理，利用一ｊ角形蔓条边、Ｆ方的大小关系来判断。 解： 为ＡＢ足ＡＡＢＣ三边中的鳢小边，所以它的对角 ’定是锐角。 Ｆ㈨再对占与Ａ是否人于９０。作ｍ判断： 曰 ＋ＢＣ：一ＡＣ ＣＯＳＢ＝ ２ｒａｐ＋２ｐ １Ｉ，（ｏ）＜０， 一１＜０ 【 ｏ。１ ｏ 。 ” ’ ２ 疗．ＢＣ ２ＡＢ．ＢＣ 一 一ｐ： 所以 ＣＯＳＡ＝ 定是锐角。 Ａ８２＋Ａｃ２一ＢＣ２ ２ ４ ・Ａ（ ． 所求的 的取俯范州为（０．１）。 ・ＡＣ 点评：利用方程的根与相应函数零点的联系，把方程问题转化成函数 问题求解，这正是函数与方程思想的具体体现，应该牢固掌握并加以灵活 运用。本题充分利用了函数与方程的思想去求解，这样既提高了知识运用 的灵活性，又体现了数学思想在解题过程中所发挥的巨大作用。 二、化归思想 ①、 ０＜卫＜ ２ ｌｌ］１ Ⅲ：一Ⅲ — ：＞０，此时 为锐角．ｃ，￣４ＢＣ为锐角 ｊ角形； ② 形： ：！ ，ｎ Ｚ 州７１１ ２，一 一 ：０，此时Ａ为赢角， ｃ为 角三角 ． 化归思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、 熟知问题的基本解题模式。如学习方程和方程组时，通过逐步“消元”或 ③ ｊ 角形。 ＜旦＜ｌ时， ｍ 一ｍｐ—ｐ＜０，此时 为钝角，＆４ＢＣ为钝角，ｉ “降次”的方法使“多元”转化为“一元”、“高次”转化为“低次”方程进行求 点评：本题主要考察了如何利用三角形的边角关系和余弦定理来判断 解；将多边形的内角和转化为三角形的内角和进行研究等问题都是化归思 三角形的形状，就题目本身而言，该题较低了考察的难度，本题也可以将问 想的运用，其核心就是将待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题， 题“试分别就下列三种情况讨论△ＡＢＣ的形状”改为“试讨论△ＡＢＣ的形 以便利用已有的理论、技术来加以处理。 例２．求证方挂 ～６ｘ ＋９＝０在区问ｆ０，１）肉不可能宵两个不矧的实根。 状”，而将Ｐ和ｎｌ在不同范围内的比值这个条件去掉，让学生自己去探索当 分析：由于万程的根是相应甬数的零点 故只需判断函数，’ ）：ｒ 一６ ：＋９ 在 闻（Ｏ．【｝【：零点的个数齄甭订两个就町以了 证明：菏先证驯，（ ）＝ 一６ｘ ＋９在区问（０．１）｝ 是簦调递减函数。 任取 …Ｘ∈『ｏ１１）｝｛． ＞ｒ，别 ，（ ｝）一ｆ（ｒ！）＝（ Ｉ’一６ｘｌ ＋９｝一（ ：’一６ｘ ‘＋９）＝（ Ｉ— ：）【（ １＋ ２）（ ｌ十 一６）～ ｛ ：】 为 ｌ＞ ，ｒ１． ２∈（Ｏ，ｆ）， Ｐ和ｎｌ的比值在什么范围内时对应的三角形的形状。 四、数形结合思想 数学最本质的东西是抽象的，然而数学教学要把抽象的东西形象化、 符号化、量化，又要通过直观的形象来深化抽象的内容，这种使抽象的问题 形象化正是数学教学的真谛。在教学过程中渗透数形结合思想，就是要培 养思维的逻辑性和创造性。在学习实数时，我们知道把数从有理数扩充到 所以 ｌ— ：＞０，ｘ｝十 ２＞０， ； ：＞０并ｎ ｛＋ ２—６＜０， 所以（ ｌ＋ ：）（ ｊ＋ ２—６）一 ｊ ＜０． 扶惭（ ｛一 ）ｆ（ Ｉ＋ｒ２）（ ｌ＋ｒ：一６）一 ｊ ２ Ｊ＜０， 实数以后，实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可用数轴上 的一个点来表示。反过来数轴上的每一个点都表示（下转第２５页） ５０ ０３／２０１１ 黟零簪警博 浅析班主任工作评价的问题与对策 ◆蒋超 （河北省唐【ＩＪ市乐亭县马头营镇北港小学） 【摘要】班主任工作评价是新课程教育评价的一个重要方面，它是根据学校教育目标，对班主任工作所实施的多种活动的效果所进行的 科学的评定。在＿１２作中，它起着导向、调节、激励、鉴定的作用。 【关键词】班主任工作新课程教育 评定 在新课程改革轰轰烈烈开展的今天，班主任工作的评价仍存在着不少 任发挥自己的创造性，形成自己的特色。所以，在评价工作中必须坚决抛 问题：单求分数定论；领导主观臆断；目标体系过空或过细；方法单一化等。 弃。对于笼统的目标体系要分解成若干具体的、可操作的目标；对于缜密 这些都是存在于现实工作中的极片面、极不科学的评价问题。它导致许多 细致，面面俱到的目标体系要加以总结概括，找出重点，利于操作。 班主任怨声载道、丧失信心，失去干劲，不能强化班主任工作进取的方向， 四、评价手段的灵活性 不能引发班主任更强的内驱力，不利于提高学校的管理水平，不利于新课 在班主任工作评价中，只有灵活运用、综合运用多种评价方法，才能获 程改革的深入实施。所以，在班主任工作评价过程中，必须坚决纠正这些 得最佳的反馈效果。如：既可采用自我评价，也可采用同事互评，从多方面 错误倾向，建立新的评价机制。 考查评价对象的工作，在评价的基础上提出更贴切的要求；既要有形成性 评价方向的正确性 评价，在工作中及时发现问题，及时纠正，也要有总结性评价，工作一个阶 教学工作是学校的主要工作，提高学生学习成绩，发展智力是班主任 段及时加以总结；既要有分析性评价，也要有综合性评价；既要有考查量化 一、工作的～项重要任务，但并不是全部任务。考试不过是评定学生学业成就 评价，也要有调查问卷评价等。 和考察教师教学效果的一种测量方法，分数等级只是作为评价材料的测量 五、评价角度的多元性 结果。从学生个体角度讲，要实现一个人生命的价值，仅靠发展智力是远 班主任工作的复杂性决定班主任评价工作是一个多要素、多层次、多 远不够的。因此，这就要求在评价时，必须明确把坚持新课程改革、促进学 渠道的系统评价工程。因此必须从不同角度、不同侧面、不同环节去做好 生的全面发展作为工作的奋斗目标，任何工作都要围绕这一中心，评价也 班主任评价工作。对班主任的工作必须全面要求，对班主任的评价必须全 应把握这一方向。 面展开，如针对不同年级学生的心理、生理特点和存在问题，分别提出不同 二、评价态度的客观性 层次的要求。这样，既能使个体目标有较强的针对性，又便于全校管理。 在班主任评价过程中，一定要采取实事求是的态度，排除任何主观因素。 六、评价效果的导向性 评价者的心理状态一定要与整个评价活动的健康开展一致，克服那种主观臆 班主任工作评价本身是通过教育价值判断过程，引导班主任树立正确 断的心理，用发展的眼光看问题，深入调查研究，广泛征求意见，深刻挖掘各 的教育观和质量观，实现教育目标的手段。评价结果要有实效，才能推动 方面的积极因素，获得符合实际的结论。要看到班主任的点滴进步，使之充 工作顺利开展。评选出的先进，树立的榜样要名副其实，让大家心服口服， 满信心，哪怕是暂时的退步也要把它作为进步的起点，才会带来不断上进的 起到端正方向、引导方向的作用，才能保证学校工作的正确方向和教育质 勇气和动力。那带有鼓励性的评价，一定会调动班主任工作向更高的目标奋 量的全面提高。 斗，向更完善的方向发展，从而达到宣传先进、发扬先进的目的。 七、评价过程的完整性 三、评价体系的合理性 评价过程的每个环节都要有周密的部署，严格的实旋。要建立明确的 评价的目标体系应该具体明白，切实可行。过空的目标会使人无从下 评价制度，有计划，有检查，有反馈，有总结。要广泛收集翔实的材料，然后 手，难以把握；过细的目标则容易引导班主任追求表面的东西，不利于班主 进行深刻的分析，最后得出科学的结论。 一 一 ’ ～ ～ （上接第５Ｏ页）～个实数。这就是数与形的良好结合，抽象问题与具体符 号的相互转化。 例４设抛物线 ＝２ｘ的焦点为Ｆ 过 Ｍ（√ｊ，０）的随线 抛物线十珏交ｊ Ａ，Ｂ隅点 ０抛物线的准线相交］ Ｃ， ｊＢＦｌ：２，求Ａ （ 与 （’Ｆ的 积之 比二坐 。 Ｓ、 （ｒ （ Ｊ ｙ 点评：圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，这部分知识就是介绍如 何用代数的方法解决几何问题，可以说每个题目都蕴含着数形结合的思 想，因此在处理与圆锥曲线有关的问题时，我们首先要根据题意画出草图， 利用图像的直观性来简化问题，同时还要熟练掌握各种圆锥曲线的性质和 与圆锥曲线有关的一些重要结论，这些知识对于我们解题有时会起到事半 功倍的效果。 分析：本题求两个■角形的面秘比， ：坐标系 中 Ⅲｌ ＝ ㈣ｃ ９ ： 综上所述，我们看到了数学思想在解题过程中所发挥的重要作用，其 实在我们求解问题时也会发现，每～种数学思想本身并不是孤立存在的， 有时候当我们解决一个问题时可能会同时运用多种数学思想．这就体现了 不同数学思想之间的相互联系。数学思想是数学知识在更高层次上的概 括和总结。在平时的教学过程中，我们应该注重数学思想的渗透和探索，对 学生加强这发面的锻炼与培养，达到让学生不仅知道，还要会熟练运用的 目的。 与ＡＣ的比州以转化为Ａ，８蹦点到丰｝¨照准线的距离 比，最后爵利Ⅲ ，Ｂ，Ｍ ｊ点的共线天系求得脚 税比 … ∞“ ： ＢＣ＝ ： 义 为 ＝ ｌ＝２，所以 ，进博Ｊ ：一 ，ｏ），所以 二 ：—３％－—Ｙｎ √ ，义因为Ａ． ，Ｍ。 点的ｊ￡线 面 （，一 ｛ 一 参考文献： ［１］荣德基．综合应用创新题——典点［Ｍ］．北京：学苑出版社，２００７． ［２］薛金星．中学教材全解——高中数学必修５［Ｍ］．陕西：陕西人民教 育出版社，２０１０． 即 ｏ－＃７： ：２ √３ 所以 ： ： ：兰 ［３］王丽波．数形结合在解高考题中的妙用［Ｊ］．中学数学杂志，２００９ ＳＨ Ｆ ２ｘｆ＋１ ４＋１ ５ ０３／２０１１ ２Ｂ
