示范教案(课题学习—设计遮阳篷 第1课时)

课题学习 设计遮阳篷

课时安排 2课时 从容说课

本课题学习旨在使学生能够综合应用所学知识(如三角函数、圆、抛物线等数学知识及地理知识等)解决实际问题，体会到数学是一门具有广泛联系的学科，数学是一门十分有用的学科．

在解决问题的过程中，学生要经历查阅资料、实地测量、提出设想、动手制作模型的过程．在此过程中，学生将初步获得科学研究的体验．同时，通过与同伴合作、克服困难，使他们的自信心得到发展．

本课题学习也是使学生经历将实际问题数学化，用所学数学知识表示实际问题，进行数学计算或数学推理，得到数学结沦，回到实际进行检验的建模过程．数学建模是解决问题的过程，也是学习数学思想方法的过程． 本节的重点是经历把实际问题数学化，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题的过程，发展数学应用能力，并体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值；经历查阅资料或实地测量获得所需数据、动手制作模型、撰写研究报告的过程，初步获得科学研究的体验；能够综合运用数学、地理或其他学科的知识解决生活中的问题，发展社会责任感．教学时，由于实际应用问题和通常所习惯的数学问题不问，实际应用问题的条件往往不是直接给出的．要引导学生自己分析哪些量是已知的，哪些量是未知的，以及可以进行怎样的假设(如假设窗户的朝向等)；

在建立量与量之间的关系时，要引导学生将复杂问题简单化，即舍弃一些次要的因素，抓住主要矛盾，作出合理的假设，并在此基础上寻求最合理的答案．如以冬至和夏至的日照角度为准来考虑和解决遮阳篷的设计问题等．通过解决实地问题的数学活动，学生要逐步习惯这种先把问题理想化，然后建立数学模型的过程．鼓励学生自己通过查阅资料或进行实际测量获得数据，为解决问题提供必需的条件．鼓励学生把所得的结果一般化，或将问题进一步延伸与拓展．

第一课时

课 题

课题学习：设计遮阳篷(一) 教学目标

(一)教学知识点

1，经历把实际问题数学化．

2．综合运用数学、地理或其他学科的知 识解决生活中的问题． (二)能力训练要求

1．用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题的过程，发展数学应用能力，并体

会数学与生活的密切联系和数学的应用价值． 2．初步获得科学研究的体验． (三)情感与价值观要求

1．积极参与数学活动，激发学习数学的兴趣．发展社会责任感． 2．培养克服困难的勇气和信心．

教学重点

1．经历把问题数学化，发展数学应用能力． 2．经历查阅资料或实地测量获得所需数

据．动手制作模型、撰写研究报告的过程，初步获得科学研究的体验．

3．能够综合运用数学、地理或其他学科的知识解决生活中的问题，发展社会责任感． 教学难点

1．将实际问题数学化．

2．综合运用数学、地理或其他学科的知识，解决生活中的问题． 教学方法

活动——探究法． 教具准备

多媒体演示 教学过程

Ⅰ．提出课题学习的主要课题，引入新课

[师]日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．你会设计遮阳篷吗?

大家知道，我们地处北半球，为了充分地享受阳光的温暖，房屋的窗户大部分朝南，但这给生活在北半球的居民也带来了烦恼，如果在寒冷的冬天，有温暖的太阳光射人室内，人们的心情便会舒畅；如果在酷热的夏天，炙热的太阳光从窗户射人，人们的心情便会因为室内的温度太高而烦躁，于是人们就想到了为该窗户设计一个遮阳篷．这个遮阳篷不仅能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，还要能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 这得考虑哪些因素呢?

[生]太阳光在冬天和夏天与地平面的夹角是不同的．就我们北半球的居民来说，冬至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最大，我觉得遮阳篷的设计应考虑太阳光与地平面夹角的大小． [生]遮阳篷的设计也和窗户的高度有关系．

[师]很好!假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为hcm，此地一年中正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α。最大夹角为β请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．(如图)

Ⅱ．讲授新课——探究遮阳篷的设计方案 做一做

把图1画成图2，某中AB表示窗户(AB＝hcm)，BCD表示直角形遮阳篷．

(1)当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，遮阳篷BCD 应如何设计?请在图3中画图表示．此时BC唯一吗?CD呢?

(2)当太阳光与地平面的夹角为卢时，要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳篷BCD应如何设计?请在图3中画图表示，此时，BC唯一吗?CD呢? (3)如何要同时满足(1)(2)两个条件，那么遮阳篷BCD应如何设计?请在图3中画图表示．此时BC唯一吗?CD呢?你能用含h、α、β的关系式分别表示BC和CD吗? (请同学们在小组内讨论、交流)

[生](1)当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，那么遮阳篷的边BD必须和太阳光平行，即BD边必须与地平面的夹角为α，又因为△BCD是直角三角形，CD平行于地平面，此时只要直角形遮阳篷△BDC＝α，就能保证太阳光刚好全部射入室内．如图所示，我们可以注意到对于直角三角形BCD，△BCD＝90°，只要△BCD＝α，就能满足条件，而这样的直角形大家知道不是唯一确定的，即BC不唯一，CD当然也不唯一，但BC／CD＝tanα．

[生]当太阳光与地平 面的夹角为β时，要想使 太阳光刚好不射科室内， 则太阳光从遮阳篷的端点 D射科后，刚好过A点， 因为CD平行于地平面， DA与地平面的夹角为β，

则CD与太阳光的夹角即△CDA也等于β，只要△CDA＝β，太阳光就刚好不射入室内．如图所示，满足条件的CD有无数条，因此CD是不唯一的，BC当然也不唯一． [生]如果同时满足 条件(1)(2)，如图所示， 则∠BDC＝α，∠ADC＝ β，又∵AB＝h，BC应该 是唯一确定的．我们在 《直角三角形的边角关

系》一章中，曾解过这样 的问题．

[师]很好．下面就请同学们用含h、α、β的关系式表示BC．

[师生共析]在Rt△BCD中，△BDC＝α，则BC＝Cdtanα①．在Rt△ACD中，∠ADC＝β，则AC＝h+BC＝CD·tanβ． ②

把①代入②得

h+CDtanα＝CDtanβ． ③ 解③得 CD＝

h．

tantanhtan

tantan 因此在Rt△BCD中，BC＝CD·tarα＝

多媒体演示 议一议

就北半球的一个居民区而言，冬至这一天；的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光与地平面的夹角最大，如果根据上面(3)中的BC和CD设计遮阳篷BCD，那么你认为它符合本课题学习一开始提出的要求吗?与同伴进行交流．

(对于这一问题，学生可能会有各种各样的看法．教学时应鼓励学生发表自己的看法，并引导学生体会什么是数学建模及数学建模的方法．)

[生]我认为上面(3)中的BC和CD的设计是符合本课题一开始提出的“遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射人室内”的要求的．因为在北半球，夏至这天正午太阳直射北回归线，北半球是地球温度最高的时候，而冬至这天正午太阳直射南回归线，北半球的温度最低，是满足条件的．

[生]我认为不符合开始提出的课题，夏至那天，对于我们居住的地区，虽然太阳光与地平面的夹角最大，但那一天，我们这个地方却不是最热的时候，所以最热的时候，太阳光与地平面的夹角不是最大，那么太阳光就会照到室内，那样遮阳篷就不能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光．…… Ⅲ．课时小结

本节课我们从设计生活中常见的遮阳篷入手，让学生经历了把实际问题数学化，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题的过程，体会到了数学与生活的密切联系和数学的实际应用价值． Ⅳ．课后作业

查阅资料，了解当地的地理位置及夏至 和冬至这两天太阳光与地平面的夹角大小． Ⅴ．活动与探究

请在语段处添上标点符号，使它成为一个简单的数学问题，并加以解答． 几何三角共6角三角三角几何几何 [过程]《几何》《三角》共6角，《三角》三角，《几何》几何? [结果]《几何》三角． 板书设计

课题学习：设计遮阳篷(一)

课题：假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为hcm，此地一年中的正

午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为尽请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 做一做

(1)当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内． (2)当太阳光与地平面的夹角为β时，要想使太阳光不射入室内． (3)同时满足(1)(2)． 议一议 备课资料

例谈构建数学模型解中考应用题 一、构建方程(组)模型的应用问题

需通过寻找已知量与未知量的某种等量 关系，来解决的应用问题，例如增长率、储蓄利息、浓度配比、股市交易、工程施工以及调配、行程等问题，可构建方程(组)模型来求解. 1．1列方程解应用问题

[例1](2001年南京市中考数学试题)某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%(即每100千克花生可加工成花生油50千克)，现在种植新品种花生油，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增产率是亩产量增长率的求新品种花生亩产量的增长率．

解：设新品种花生亩产量的增长率为x根据题意，得： 200(1+x)·50%(1+

1，21x)＝132． 2 解得x1＝0．2，x2＝-3．2(不合题意，舍去)． 答：新品种花生亩产量的增长率是20%． 1．2列方程组解应用问题

若涉及未知数较多，往往需要列方程组来解答．

[例2](2001年宿迁市中考数学试题)下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价：(收盘价：股票每天交易结束时的价格) 收盘价（元/股） 时间 名称 甲 乙 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 12 13．5 12．5 13．3 12．9 13．9 12．45 13．4 12．75 13．15 某人在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算(不计手续费、税费等)，该人账户上星期二比星期一获利200元，星期三比星期二获利1300元．试问该人持有甲、乙两种股票各多少股?

解：设该人持有甲、乙两种股票分别是x、y股．由题意，得 （12.5-12）x+(13.3-13.5)y=200 (12.9-12.5)x+(13.9-13.3)y=1300 x=100, 解这个方程组，得 y=1500. 答：该人持有甲、乙两种股票分别是1000、1500股． 二、构建不等式(组)模型的应用问题

对于在市场经济的应用问题，如估计生产数量、核定价格和温度范围、盈亏平衡分析、最佳决策等问题，往往可通过对给出的一些数据进行分析，转化成相应的不等式(组)问题，并通过解不等式(组)，使问题得到解答．

[例3](2001年苏州市中考数学试题)某园林的门票每张10元一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年)年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票，B类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需再购买门票，每次3元．

(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使你进入该园林的次数最多的购票方式，

(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算．

分析：根据题设条件，先列出满足题意的不等式组，再求它们的公共部分． 解：(1)不可能选A类年票，若选B类年票，则＝

806010(次)：若选C类年票，则280401＝13去(次)；若不购买年票；则＝8(次)，所以计划用80元花在该园林的门票上33时，选择购买C类年票的方法，进入园林的次数最多为13次． (2)设至少超过1次时，购买A类年票比较合算． 60+2x>120， x>30， 则 40+3x>120， 解之，得 x>262， 3 10x>120， x>12．

所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算．

[例4](2001年常州市中考数学试题)在容器里有18℃的水6立方分米，现在要把8立方分米水注入里面，使容器里混合的水的温度不低于30℃，且不高于36℃，求：注入的8立方分米水的温度应该在什么范围? 解：设注入的水的温度为t℃．

18×6+8t≥14×30， 由题意，得：

18×6≤14×36 解得39≤t≤49．5．

答：注入的水的温度在39℃与49．5℃之间．