趋势面分析

1.趋势面分析基本原理与方法

1.1趋势面分析原理

趋势面分析，是利用数学曲面模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。它实质上是通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二维非线性函数，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化趋势。

趋势面分析的观测面由趋势面部分和残差部分组成。趋势面部分反映区域性大范围内的变化情况，残差部分是实测值与趋势函数对应值之差，反映局部变化情况，二者结合其就有助于深入分析。趋势面分析的一个基本要求，就是所选择的趋势面模型应该是剩余值最小，而趋势值最大，这样拟合度精度才能达到足够的准确性。空间趋势面分析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。对于变化较缓和的资料，可用低次数的趋势面进行分析；而对于变化复杂、起伏较多的资料，可用多项式阶次高些的趋势面；

1.2趋势面模型的建立

本例将降雨量zi(xi,yi)(i1,2,...,n)作为因变量，地理位置坐标(xi,yi)作为自

i(x,y)，则有： 变量，趋势拟合值为ziii(x,y) （1） zi(xi,yi)zii趋势面分析的核心：从实际观测值出发推算趋势面，一般采用回归分析方法，使得残差平方和趋于最小，即：

(x,y)]2minQi2[zi(xi,yi)ziii1i1nn (2)

这就是在最小二乘法意义下的趋势面拟合。

1.3趋势面模型的适度检验

R2nSSRSS1R (3) SSTSSTi2其中，SSD)(zzii1n

iz)2 SSR(zi1ni)2(zSST(ziziz)2SSDSSR

i1i1n式中:SSD为剩余平方和，它表示随机因素对z的离差的影响；SSR为回归平方和，它表示p个自变量对因变量z的离差的总影响。SST为总离差平方和。

SSR越大（或SSD越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。R2越大，趋势面的拟合度就越高。

FSSR/p （4）

SSD/(np1)式中：p为趋势面中除常数项外的系数个数；n为观测点个数。

在显著水平α下，查F分布表的Fα若计算的F值大于Fα，则认为趋势面方程显著；反之则不显著，需要进行更高次面的趋势面分析。

2.实例分析

表1是某地区某月份20个气象站的平均降水量信息和测站地理坐标位置数据。将降水量在地理空间位置上的分布情况作趋势面模型构建，用来揭示降水量的空间地理分布规律，其中以降水量为因变量z,地理坐标为自变量x,y。

表1 某地区降水量及地理位置坐标

序号 1 2 3 降水量z(mm) 32.8 41.2 26.7 横坐标x(104m) 1.04 0.2 3.43 纵坐标y（104m） 2.13 3.50 1.72 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 24.6 51.2 38.8 42.7 35.4 .6 27.9 38.0 40.1 29.6 46.6 37.5 38.2 25.7 36.6 48.9 42.8 2.85 0.65 2.68 3.52 1. 2.19 3.27 0.38 1.92 0.74 2.65 0.27 3.12 2.41 1.10 3.85 0. 0.48 0.27 3.82 2.65 2.95 1.03 0.85 1.12 3.19 2.14 0.98 3.65 1.27 2.86 3.00 0.46 1.63 2.1趋势面建立

根据表1中的数据，运用最小二乘法原理构造趋势面方程，MATLAB软件编制计算程序得到二次、三次趋势面多项式分别如下：

z256.66956.2491x13.7701y0.7919x21.1138xy2.42y2 （5）

z314.800884.6072x10.17y49.4388x20.4870xy16.8451y27.3193x2.3817xy2.0620xy4.19y3223 （6）

将自变量x和y的值代入以上两个趋势面模型（5）和（6），得到一系列趋势值z，输出结果见图1，图2：

2.2模型检验

对结果进行R2检验和F检验结果如下：

表2 某地区降水量趋势面分析R检验和F检验结果

2

阶次 SSD SSR SST R2 2次 1127.5723 242.5772 1370.1495 0.1770 3次 772.6714 597.4781 1370.1495 0.4361 p 5 9 n-p-1 F 14 0.6024 10 0.8592 F0.05 2.96 3.02 R2检验：由表2可知，根据R2检验结果，二次趋势面和三次趋势面的判定

图1：某地区降水量二次多项式趋势面

图2：某地区降水量三次多项式趋势面

系数分别为0.1770和0.4361，三次趋势面的拟合度要高一些。

F检验：在置信水平α=0.05下查F0.05(5，14)=2.96>0.6024，F0.05(9，10)=3.02>0.8592。二次和三次趋势面模型均比较显著。

趋势面适度的逐次检验：从二次趋势面增加到三次趋势面F3→2由下面公式

*(3)(2)求得，其中SSR SSRSSR

*SSR/(P3P2) （7） F(3)SSD/(np31)代入表2中的数据得到F3→2=1.148，在置信水平α=0.05下查F0.05（4,10）=3.48，从趋势面逐次检验结果来看，选取二次趋势面比较合适。

根据上面建立的趋势面模型，估计整个地区的降水量分布，对。而如何合理

选择趋势面的次数，往往要根据实际情况。一般用次数低的趋势面逼近变化较小的地理要素数据，次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素。