高考压轴题瓶颈系列之
——浙江卷数列
【见证高考卷之特仑苏】
abaaan1. 【2014年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知数列n和n12若
2nN.
bnan为等比数列,且a12,b36b2.
an与
(Ⅰ)求
bn;
cn(Ⅱ)设(i)求
11nNcSanbn。记数列n的前n项和为n.
Sn;
(ii)求正整数k,使得对任意nN,均有
SkSn.
2. 【2011年.浙江卷.理19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列
{an}的首项
a1a
111Saaa(aR),设数列的前n项和为n,且1,2,4成等比数列
(Ⅰ)求数列
{an}的通项公式及
Sn
An(Ⅱ)记
11111111Bn......a1a2a22a2nS1S2S3Sn,
,当n2时,试比较
An与
Bn的大
;..
.
3. 【2008年.浙江卷.理22】(本题14分)已知数列
22an1an11an(nN)an,an0,a10,
.
Sna1a2anTn1111a1(1a1)(1a2)(1a1)(1a2)(1an).
求证:当nN时,(Ⅰ)
anan1;(Ⅱ)
Snn2;(Ⅲ)
Tn3。
4. 【2007年.浙江卷.理21】(本题15分)已知数列方程x(3k2)x3k20的两个根,且(Ⅰ)求
2kk{an}中的相邻两项
a2k1,a2k
是关于x的
a2k1a2k(k1,2,3,)a1,a3,a5,a7;
(Ⅱ)求数列
{an}的前2n项的和
S2n;
(1)f(2)(1)f(3)(1)f(4)1|sinn|f(n)(3)Tnaaaaaa2sinn123456(Ⅲ)记,15Tn(nN*)24求证:6
;..
(1)f(n1)a2n1a2n
.
5. (2015年浙江卷第20题) a112,an1anan(nN*) 2(1)求证:1an2 an1(2)设数列{an}的前n项和为Sn,证明:
2S11n(nN*)
2(n2)n
an16.【2016高考浙江理数】设数列anan满足
21,n.(I)证明:
a1n2na12,n;
na3n(II)若
2,n,证明:an2,n.
;..
2(n1)
.
【例题讲解之伊利奶粉】
例1.(浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考)已知数列an满足a1=3,
2an1an2an,nN* , 设bnlog2(an1).
(I)求{an}的通项公式; (II)求证:1+11++23+1n(n2); bn1cn1n)<3. cn(III)若2
cnbn,求证:2≤(例2.(浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟)正项数列an满足
22anan3an12an1,a11.
(Ⅰ)求a2的值;
(Ⅱ)证明:对任意的nN,an2an1;
(Ⅲ)记数列an的前n项和为Sn,证明:对任意的nN,2
1Sn3. 2n1;..
.
例3.(浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末)已知数列{an}满足
a11,an112anm, 8(1)若数列{an}是常数列,求m的值; (2)当m1时,求证:anan1;
(3)求最大的正数m,使得an4对一切整数n恒成立,并证明你的结论。
例4.(浙江省温州市2017届高三下学期返校联考)设数列an,bn均为正项数列,其中
a12,b11,b23,且满足: an,bn1,an1成等比数列,bn,an,bn1成等差数列。
(Ⅰ)(1)证明数列(Ⅱ)设xn
(2)求通项公式a,b。 a是等差数列;
nnn11,数列xn的前n项和记为Sn,证明:Sn。
(n2)an2
;..
.
例5.(浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估)已知数列an满足a12anan1an,nN
20161,2(1) 求证
an1an
(2) 求证a20171
(3) 若证ak1,求证整数k的最小值。
a11a,例6.(浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试)数列an定义为a10,
12,nN an1anan2111a(1)若a1,求的值; (a0)2a12a22a1012a(2)当a0时,定义数列bn,b1ak(k12),bn1112bn,是否存在正整
数i,j(ij),使得bibja不存在,说明理由。
12a12a1。如果存在,求出一组(i,j),如果2;..
.
例7.(2017年浙江名校协作体高三下学期)函数f(x)(Ⅰ)求方程f(x)x的实数解;
4,
4x15(Ⅱ)如果数列an满足a11,an1f(an)(nN),是否存在实数c,使得
a2nca2n1对所有的nN都成立?证明你的结论.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明:
例8.(2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测)数列an满足a11na1a2Lann. 41,2an1an2an2(nN)
an1(1)证明:an1an;
(2)设{an}的前n项的和为Sn,证明:Sn1.
;..
.
例9.(2017年4月浙江金华十校联考)数列an满足a11,an1an(nN)
1n(1) 求证:
an2an; nn1(2)求证:2(n11)
111....n 2a33a4(n1)an2例10.(2017年4月高二期中考试)数列an满足a11,an1an1(nN),其an中11S前n项和为,其中2前n项和为Tn nanan(1) 求证:anan1; (2)求证:Tnan12n1 (3)求证:2n1Sn
;..
22n .
例11.(2017年4月稽阳联谊高三联考)已知数列an满足a01,3an121an1(nN),bn2anan, 其中bn的前n项和为Sn, 2(1) 求证:an1an1; (2)求证:0Snn
例12.(2017年4月温州市普通高中模拟考试)已知数列an的各项都是正数,
1n2 2an1an21, 其中an的前n项和为Sn, an 若数列an为递增数列求a1的取值范围
例13:(2016浙江高考样卷20题) 已知数列an满足a11,an112an1(nN*).
(Ⅰ) 证明:数列an1为单调递减数列; 2(Ⅱ) 记Sn为数列an1an的前n项和,证明:Sn(nN*).
;..
53.
例14:(2016杭州市第一次模拟质量检测)已知数列an满足a11,2an1an2an1(1) 证明:
(nN*).
an13; an1前n项的和为sn,那么Sn3 an(2) 证明:数列
例15:(2016宁波市第一次模拟质量检测)对任意正整数n,设an是方程x求证:(1) a(2)
例16:(2016温州市第一次模拟质量检测)数列an满足0a12x1的正根, nn1a n1111111 2a3ana23n123na11,an1n
6an2(Ⅰ) 证明:a2n11a2n(nN); 2(Ⅱ)若a11,求证:|a2a1||a3a2|34|an1an|(nN).
3(本题与例13的题型一样)
;..
.
例17:(2016年金华市模拟)已知数列an的首项为a11,且an1(Ⅰ)求证:a2n1a2n12; (Ⅱ)令bna2n12,Snb1b2
2*例18:(2016名校联盟第一次模拟20)设数列{an}满足a1a,an1anan1(nN).
n917bn.求证:1Sn.
869an4,nN*. an1(Ⅰ)若a35,求实数a的值; 23n(n2,nN*). 2(Ⅱ)若a1,求证:an
;..
.
例19.(2016嘉兴一模)数列{an}各项均为正数,a12an1ancan(c0).
1*,且对任意的nN,有2(Ⅰ)求
cc1的值;
1ca11ca2a3(Ⅱ)若c1*,是否存在nN,使得an1,若存在,试求出n的最小值,若不存2016在,请说明理由. (本题就是例5,不过要判断出an11,an1的界限)
例20.(2016浙江六校联考20)已知数列{an}满足:an114(an); 2an(Ⅰ)若a341,求a1的值; 208 3(II)若a14,记bnan2,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn
;..
.
2*例21(2016丽水一模20)已知数列{an}满足:an1an2(nN),且
1a1a(0a1).
a(Ⅰ)证明:an1an; (Ⅱ)若不等式
111a1a1a2a1a2a31a1a2a3an1*对任意nN都成立, 2求实数a的取值范围.
例22.(2016十二校联考20).已知各项为正的数列{an}满足
12122a1,ananan(nN*). 1233*(I)证明:0anan11(nN);
(II)求证:a1a2
;..
9ann(nN*).
4.
例23. (2016宁波十校20)设各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足(Ⅰ)若a1=2,求数列an的通项公式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设bn求证:Tn
例24. (2016桐乡一模20)设函数f(x)axbx,a、bR.若3x1f(x)6x2
对任意的xR恒成立.数列{an}满足a122Sn1nr. an31a2n1(nN*),数列{bn}的前n项和为Tn,
2n. 3n11,an1f(an)(nN*). 3(Ⅰ)确定f(x)的解析式;(Ⅱ)证明:
11an; 321. n3(Ⅲ)设Sn为数列{an}的前n项和,求证:4Sn2n1
;..
.
2例25.(2016大联考 20).已知数列an满足an1can其中常数c(0,). 1c,nN*,
12(1)若a2a1,求a1的取值范围;
(2)若a1(0,1),求证:对任意nN*,都有0an1;
2(3)若a1(0,1),设数列an的前n项和为Sn.求证:Snn2. 12c
2an例26.(2016宁波二模)已知数列{an}中,a11,an1.
tan2(Ⅰ)若t=0,求数列{an}的通项公式。
2nan22a14a22(Ⅱ)若t=1,求证:。
3a12a22an23
;..
.
例27.(嘉兴二模 20).已知数列P(xn,2)与An(an,0)满足xn1xn,P,nPn1AnPn1xn*且PnPn1AnPn1,其中nN,x11.
(Ⅰ)求xn1与xn的关系式;
222(Ⅱ)求证:nx2x322xn14n.
例28. (2016温州二模20)设正项数列{an}满足:a11,且对任意的n,mN,nm,
2222均有anmanmnm成立.
(1)求a2,a3的值,并求{an}的通项公式; (2)(ⅰ)比较a2n1a2n1与2a2n的大小; (ⅱ)证明:a2a4
;..
a2nn(a1a3n1a2n1).
.
23例29 (2016五校联考二20)已知正项数列an满足:Sna13a23annN*,
其中Sn为数列an的前n项的和。(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)求证:
1112n1(n1)n1a1a2a332323213。 a2n132例30.(2016诸暨质检20)已知数列{an}的各项都大于1,且
22*a12,anaa10(nN). 1n1n(Ⅰ)求证:
n7anan1n2; 4(Ⅱ)求证:
12a32112a32212a32312a32n1
【课后习之三鹿奶粉】
例1.设数列an满足an1an2an1nN*,Sn为an的前n项和.证明:对任意nN*,
;..
.
(Ⅰ)当0≤a1≤1时,0≤an≤1; (Ⅱ)当a11时,ana11a1n1; (Ⅲ)当a1
例2.已知数列an满足a11时,n2nSnn. 21且an1anban2(nN) 2(1) b1,求证:1an2 an1(2) b2,数列12的前n项和为Sn,求证:1nSn1
312an
例3.已知各项均为正数的数列an,a122anan1(1) 求证:Sn
42an2Sn1. 1,前n项和为Sn,且an(2)求证:
SnS1 S1S2Snn122
;..
.
例4.设A(1)当x1x1,f(x1),Bx2,f(x2)是函数f(x)1log22x的图象上的任意两点. 1xx21时,求f(x1)f(x2)的值;
12n1n*fff,其中nN,求Sn; n1n1n1n12(2)设Snf1*(3)对于(2)中的Sn,已知anS1,其中nN,设Tn为数列an的前n项的
n和,求证:
45Tn. 93
例5.给定正整数n和正数M.对于满足条件a1an1M的所有等差数列a1,a2,a3,…,
22S=an1an2…+a2n1,
2S(1)求证:M5n1
例6.已知数列{an}满足a123,an1an2an,nN*,n2,设 bnlog2(an1).
2(Ⅰ)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式;
;..
.
(Ⅱ)求证:1111n(n2); 23bn1(III)若2cnbn,求证:2(cn1n)3. cn
例7.已知数列{an}满足a11,an112anm, 8(1)若数列{an}是常数列,求m的值; (2)当m1时,求证:anan1;
(3)求最大的正数m,使得an4对一切整数n恒成立,并证明你的结论.
例8.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2an3,nN*. n2(1)求证{an1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; n2;..
.
(2)设数列{1}的前n项和为Tn,是否存在正整数,对任意Snm,nN*,不等式Tm-Sn0恒成立?若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由
例9.已知数列an满足:a11,an1anan2n12nN.
(Ⅰ)证明:
an111; 2ann12n1an1n1.
n3(Ⅱ)证明:
an*nN例10.已知数列an满足:a11,an1an.(), 2(n1)证明:当nN时, (Ⅰ)
*2an11; 1an(n1)2;..
.
(Ⅱ)
2(n1)an1n1 n3.
例11.已知数列{an}满足a12an2,an1,nN.
3an5(1)求a2,并求数列{1}的通项公式; an6221(1()n)Sn. 5313(2)设{an}的前n项的和为Sn,求证:
例12.数列an满足a11,an1(1)证明:an1an; (2)证明:
n2an2(nN) n1aa1a21nn2; a2a3an1n;..
.
(3)证明:an
1. 4例13.对任意正整数n,设
an是关于x的方程xnx1的最大实数根
3(1)求证:nanan1n2 (2)当n4时,对任意的正整数m,
nmnanman2(nmn)
2(3)设数列{1n2n}n 2的前项和为Sn,求证:ln(1)Sn1an33
;..
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