高考压轴题数列50例

高考压轴题瓶颈系列之

——浙江卷数列

【见证高考卷之特仑苏】

abaaan1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列n和n12若

2nN.

bnan为等比数列，且a12,b36b2.

an与

(Ⅰ)求

bn；

cn(Ⅱ)设（i）求

11nNcSanbn。记数列n的前n项和为n.

Sn；

（ii）求正整数k，使得对任意nN，均有

SkSn．

2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列

{an}的首项

a1a

111Saaa(aR),设数列的前n项和为n，且1，2，4成等比数列

（Ⅰ）求数列

{an}的通项公式及

Sn

An（Ⅱ）记

11111111Bn......a1a2a22a2nS1S2S3Sn，

，当n2时，试比较

An与

Bn的大

;..

.

3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列

22an1an11an(nN)an，an0，a10，

．

Sna1a2anTn1111a1(1a1)(1a2)(1a1)(1a2)(1an)．

求证：当nN时，（Ⅰ）

anan1；（Ⅱ）

Snn2；（Ⅲ）

Tn3。

4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列方程x(3k2)x3k20的两个根，且（Ⅰ）求

2kk{an}中的相邻两项

a2k1,a2k

是关于x的

a2k1a2k(k1,2,3,)a1,a3,a5,a7；

（Ⅱ）求数列

{an}的前2n项的和

S2n；

(1)f(2)(1)f(3)(1)f(4)1|sinn|f(n)(3)Tnaaaaaa2sinn123456（Ⅲ）记，15Tn(nN*)24求证：6

;..

(1)f(n1)a2n1a2n

.

5. （2015年浙江卷第20题） a112,an1anan(nN*) 2（1）求证：1an2 an1（2）设数列{an}的前n项和为Sn，证明：

2S11n(nN*)

2(n2)n

an16.【2016高考浙江理数】设数列anan满足

21，n．（I）证明：

a1n2na12，n；

na3n（II）若

2，n，证明：an2，n．

;..

2(n1)

.

【例题讲解之伊利奶粉】

例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列an满足a1=3，

2an1an2an,nN* ， 设bnlog2(an1).

（I）求{an}的通项公式； （II）求证：1+11++23+1n(n2)； bn1cn1n)<3. cn（III）若2

cnbn，求证：2≤(例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列an满足

22anan3an12an1，a11．

（Ⅰ）求a2的值；

（Ⅱ）证明：对任意的nN，an2an1；

（Ⅲ）记数列an的前n项和为Sn，证明：对任意的nN，2

1Sn3． 2n1;..

.

例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{an}满足

a11,an112anm， 8(1)若数列{an}是常数列，求m的值； （2）当m1时，求证：anan1；

（3）求最大的正数m，使得an4对一切整数n恒成立，并证明你的结论。

例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列an,bn均为正项数列，其中

a12,b11,b23，且满足： an,bn1,an1成等比数列，bn,an,bn1成等差数列。

（Ⅰ）（1）证明数列（Ⅱ）设xn

（2）求通项公式a，b。 a是等差数列；

nnn11，数列xn的前n项和记为Sn，证明：Sn。

(n2)an2

;..

.

例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列an满足a12anan1an，nN

20161，2(1) 求证

an1an

(2) 求证a20171

(3) 若证ak1，求证整数k的最小值。

a11a，例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列an定义为a10，

12，nN an1anan2111a（1）若a1，求的值； (a0)2a12a22a1012a（2）当a0时，定义数列bn，b1ak(k12)，bn1112bn，是否存在正整

数i,j(ij)，使得bibja不存在，说明理由。

12a12a1。如果存在，求出一组(i,j)，如果2;..

.

例7．（2017年浙江名校协作体高三下学期）函数f(x)（Ⅰ）求方程f(x)x的实数解；

4，

4x15（Ⅱ）如果数列an满足a11，an1f(an)（nN），是否存在实数c，使得

a2nca2n1对所有的nN都成立？证明你的结论．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明：

例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列an满足a11na1a2Lann． 41，2an1an2an2（nN）

an1（1）证明：an1an；

（2）设{an}的前n项的和为Sn，证明：Sn1.

;..

.

例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列an满足a11，an1an（nN）

1n(1) 求证：

an2an； nn1(2)求证：2(n11）

111....n 2a33a4(n1)an2例10.（2017年4月高二期中考试）数列an满足a11，an1an1（nN），其an中11S前n项和为，其中2前n项和为Tn nanan(1) 求证：anan1； (2)求证：Tnan12n1 (3)求证：2n1Sn

;..

22n .

例11．（2017年4月稽阳联谊高三联考）已知数列an满足a01，3an121an1（nN），bn2anan， 其中bn的前n项和为Sn， 2(1) 求证：an1an1； (2)求证：0Snn

例12．（2017年4月温州市普通高中模拟考试）已知数列an的各项都是正数，

1n2 2an1an21， 其中an的前n项和为Sn， an 若数列an为递增数列求a1的取值范围

例13：（2016浙江高考样卷20题） 已知数列an满足a11，an112an1(nN*)．

（Ⅰ） 证明：数列an1为单调递减数列； 2（Ⅱ） 记Sn为数列an1an的前n项和，证明：Sn(nN*)．

;..

53.

例14：（2016杭州市第一次模拟质量检测）已知数列an满足a11，2an1an2an1（1） 证明：

(nN*)．

an13； an1前n项的和为sn，那么Sn3 an（2） 证明：数列

例15：（2016宁波市第一次模拟质量检测）对任意正整数n,设an是方程x求证：(1) a(2)

例16：（2016温州市第一次模拟质量检测）数列an满足0a12x1的正根， nn1a n1111111 2a3ana23n123na11，an1n

6an2（Ⅰ） 证明：a2n11a2n(nN)； 2（Ⅱ）若a11，求证：|a2a1||a3a2|34|an1an|(nN)．

3（本题与例13的题型一样）

;..

.

例17：（2016年金华市模拟）已知数列an的首项为a11,且an1（Ⅰ）求证：a2n1a2n12； （Ⅱ）令bna2n12，Snb1b2

2*例18：（2016名校联盟第一次模拟20）设数列{an}满足a1a,an1anan1(nN).

n917bn．求证:1Sn．

869an4，nN*． an1（Ⅰ）若a35，求实数a的值； 23n(n2,nN*). 2（Ⅱ）若a1，求证：an

;..

.

例19.(2016嘉兴一模)数列{an}各项均为正数，a12an1ancan(c0)．

1*，且对任意的nN，有2（Ⅰ）求

cc1的值；

1ca11ca2a3（Ⅱ）若c1*,是否存在nN，使得an1，若存在，试求出n的最小值，若不存2016在，请说明理由． （本题就是例5，不过要判断出an11,an1的界限）

例20.（2016浙江六校联考20）已知数列{an}满足：an114(an)； 2an（Ⅰ）若a341，求a1的值； 208 3（II）若a14，记bnan2，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn

;..

.

2*例21（2016丽水一模20）已知数列{an}满足：an1an2(nN)，且

1a1a(0a1)．

a（Ⅰ）证明：an1an； （Ⅱ）若不等式

111a1a1a2a1a2a31a1a2a3an1*对任意nN都成立， 2求实数a的取值范围．

例22.（2016十二校联考20）．已知各项为正的数列{an}满足

12122a1,ananan(nN*)． 1233*（I）证明：0anan11(nN)；

（II）求证：a1a2

;..

9ann(nN*).

4.

例23. （2016宁波十校20）设各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足（Ⅰ）若a1=2，求数列an的通项公式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设bn求证：Tn

例24. (2016桐乡一模20)设函数f(x)axbx,a、bR．若3x1f(x)6x2

对任意的xR恒成立．数列{an}满足a122Sn1nr. an31a2n1(nN*)，数列{bn}的前n项和为Tn,

2n. 3n11,an1f(an)(nN*). 3（Ⅰ）确定f(x)的解析式；（Ⅱ）证明：

11an； 321. n3（Ⅲ）设Sn为数列{an}的前n项和，求证：4Sn2n1

;..

.

2例25.（2016大联考 20）.已知数列an满足an1can其中常数c(0,). 1c,nN*，

12(1)若a2a1，求a1的取值范围；

(2)若a1(0,1)，求证：对任意nN*，都有0an1；

2(3)若a1(0,1)，设数列an的前n项和为Sn.求证：Snn2. 12c

2an例26.（2016宁波二模）已知数列{an}中，a11，an1.

tan2（Ⅰ）若t=0,求数列{an}的通项公式。

2nan22a14a22（Ⅱ）若t=1，求证：。

3a12a22an23

;..

.

例27.（嘉兴二模 20）．已知数列P(xn,2)与An(an,0)满足xn1xn，P，nPn1AnPn1xn*且PnPn1AnPn1，其中nN,x11．

（Ⅰ）求xn1与xn的关系式；

222（Ⅱ）求证：nx2x322xn14n.

例28. （2016温州二模20）设正项数列{an}满足：a11，且对任意的n,mN,nm，

2222均有anmanmnm成立.

（1）求a2,a3的值，并求{an}的通项公式； （2）（ⅰ）比较a2n1a2n1与2a2n的大小； （ⅱ）证明：a2a4

;..

a2nn(a1a3n1a2n1).

.

23例29 （2016五校联考二20）已知正项数列an满足：Sna13a23annN*，

其中Sn为数列an的前n项的和。（Ⅰ）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）求证：

1112n1(n1)n1a1a2a332323213。 a2n132例30.（2016诸暨质检20）已知数列{an}的各项都大于1，且

22*a12,anaa10(nN). 1n1n（Ⅰ）求证：

n7anan1n2; 4（Ⅱ）求证：

12a32112a32212a32312a32n1

【课后习之三鹿奶粉】

例1．设数列an满足an1an2an1nN*，Sn为an的前n项和.证明：对任意nN*，

;..

.

（Ⅰ）当0≤a1≤1时，0≤an≤1； （Ⅱ）当a11时，ana11a1n1； （Ⅲ）当a1

例2．已知数列an满足a11时，n2nSnn. 21且an1anban2(nN) 2(1) b1,求证:1an2 an1(2) b2,数列12的前n项和为Sn，求证:1nSn1

312an

例3．已知各项均为正数的数列an，a122anan1(1) 求证：Sn

42an2Sn1. 1，前n项和为Sn，且an(2)求证：

SnS1 S1S2Snn122

;..

.

例4．设A（1）当x1x1,f(x1),Bx2,f(x2)是函数f(x)1log22x的图象上的任意两点. 1xx21时，求f(x1)f(x2)的值；

12n1n*fff，其中nN，求Sn； n1n1n1n12（2）设Snf1*（3）对于（2）中的Sn，已知anS1，其中nN，设Tn为数列an的前n项的

n和，求证:

45Tn. 93

例5．给定正整数n和正数M.对于满足条件a1an1M的所有等差数列a1,a2,a3,…，

22S=an1an2…+a2n1，

2S(1)求证：M5n1

例6．已知数列{an}满足a123，an1an2an，nN*,n2，设 bnlog2(an1).

2（Ⅰ）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式；

;..

.

（Ⅱ）求证：1111n(n2)； 23bn1（III）若2cnbn，求证：2(cn1n)3. cn

例7．已知数列{an}满足a11,an112anm， 8（1）若数列{an}是常数列，求m的值； （2）当m1时，求证：anan1；

（3）求最大的正数m，使得an4对一切整数n恒成立，并证明你的结论.

例8．已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2an3,nN*. n2（1）求证{an1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式； n2;..

.

（2）设数列{1}的前n项和为Tn，是否存在正整数，对任意Snm,nN*,不等式Tm-Sn0恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由

例9．已知数列an满足：a11,an1anan2n12nN.

（Ⅰ）证明：

an111； 2ann12n1an1n1.

n3（Ⅱ）证明：

an*nN例10．已知数列an满足：a11，an1an．()， 2(n1)证明：当nN时， (Ⅰ)

*2an11； 1an(n1)2;..

.

(Ⅱ)

2(n1)an1n1 n3.

例11．已知数列{an}满足a12an2，an1，nN.

3an5（1）求a2，并求数列{1}的通项公式； an6221(1()n)Sn. 5313（2）设{an}的前n项的和为Sn，求证：

例12．数列an满足a11，an1（1）证明：an1an； （2）证明：

n2an2（nN） n1aa1a21nn2； a2a3an1n;..

.

（3）证明：an

1. 4例13．对任意正整数n，设

an是关于x的方程xnx1的最大实数根

3（1）求证：nanan1n2 （2）当n4时，对任意的正整数m，

nmnanman2(nmn)

2（3）设数列{1n2n}n 2的前项和为Sn，求证：ln(1)Sn1an33

;..