将数学建模思想渗透到数学教学中的几点做法

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2019年03月（总第332期）

姻理科讲堂/数学

将数学建模思想渗透到数学

教学中的几点做法

于莉琦

（黑龙江东方学院，黑龙江哈尔滨150000）

【摘要】数学建模思维、建模能力的培养是一个长期的、逐渐渗透的过程，通过案例教学、数学实验、数学竞赛等方式能

够促进学生建模思想的形成。

揖关键词】案例教学；数学试验；数学竞赛数学建模是一种用数学的思维思考问题袁用数学的语言描绘问题袁用数学的方法解决问题的一种有效方法袁在当今高等教育中的作用和地位越来越突出袁是训练逻辑性思维和开放式思维的有效途径袁是培养学生创新意识的重要手段遥目前袁如何将建模思想渗透到日常教学工作中是一个亟待解决的问题遥下面是笔者的几点具体想法遥

一尧开设建模选修课无法从根本上解决建模思想的培养数学建模的重要性已经得到了人们的普遍认识袁有利于学生综合能力的长久发展袁因此袁很多学校都开设了数学建模选修课袁希望通过这种形式的课程将建模思想教会给学生遥而事实证明效果不明显袁只是通过一些学时的具体演练是无法将建模思想融入学生思维中的袁它需要一个相对长时间的积累耦合袁使学生逐步形成应用数学的思维习惯遥建模选修课受到授课学时和人数的限制袁无法从根本上解决建模能力的培养问题遥

二尧培养建模能力的几点看法

渊一冤以案例教学形式还原知识的产生过程

任何一项数学知识的产生都源于生产实践袁数学发生的过程都伴随着生动鲜活的背景袁所以它不应该是枯燥和过于抽象的遥我们现在的教学经常是在呈现数学理论的严密推演袁而忽略了生动活泼的历史背景袁致使很多学生对数学的印象就是难袁不易理解袁觉得没有用遥所以袁培养学生建模思想的一个主要关键是还原知识的产生过程袁让学生知道数学知识是怎么来的遥例如院曲率是一个非常重要的概念袁在机械制造等很多方面都会涉及到曲率的应用遥通过下面形式的介绍袁给学生留下了深刻的印象遥

1.问题的引入

已知机床生产某种机件袁其截面是抛物型的袁现用铣刀进行抛光打磨袁选择哪种型号的铣刀合适钥

显然铣刀的选择决定于曲线的弯曲程度袁确切的说决定于曲线上弯曲程度最大的点遥如何描述曲线的弯曲程度钥弯曲程度与哪些因素有关钥继续下面的讨论遥

2.问题的分析解决

转角为吟a袁可见袁吟a越大袁曲线的弯曲程度越大袁吟a的大小受到了吟s的影响袁故曲线弧MN的弯曲程度受到两个量的影响袁分别为弧长吟s和切线的转角吟a遥

渊2冤弯曲程度与弧长和切线转角的关系院用軍K表示曲线弧MN的弯曲程度袁軍K与吟a尧吟s的关系如

如图2所示袁已知曲线弧MN的弧长为吟s1袁切线转角

何钥

軍袁即弯曲程度軍K1转角吟a成正比遥

K1袁曲线弧NP的弧长为吟s2袁切线转为吟a1袁弯曲程度记为軍

角为吟a2袁假设吟s1=吟s2遥如图2所示袁吟a1<吟a2袁曲线弧

K与弧长吟s成反比遥程度与曲线的弧长成反比袁即弯曲程度軍吟a综上所述袁我们引入数量来描述一条曲线弧的

吟s弯曲程度袁称之为平均曲率遥

軍袁由此可见袁曲线的弯曲K1>K曲线弧M'N'弯曲的厉害袁即軍2

弧M'N'袁弧长为吟s2袁曲线的弯曲程度记为軍K2袁如图3袁显然

两曲线弧对应切线的转角相同袁而吟s1<吟s2袁曲线弧MN比

K1袁曲线曲线弧MN,弧长为吟s1袁曲线的弯曲程度记为軍

图2

图1

渊1冤弯曲程度与哪些因素有关院

平面中任意光滑曲线y=f(x)袁经过M,N两点袁如图1袁设曲线弧MN的长度为吟s袁过M,N点分别作切线袁记切线的

吟a軍K=也就是单位长度上切线转角的大小遥吟s在具体问题中袁我们不仅需要知道一段弧的平均弯曲程度袁更多时候我们需要知道曲线上一点处的弯曲程度袁在引

图3

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No.03,2019SerialNo.332

入导数概念时袁我们利用极限由平均速度得到了瞬时速度的方法袁令M点沿着曲线向N点移动袁即吟s寅0袁曲线弧MN的平均曲率的极限称为点N处的曲率袁记为K袁即K=lim吟a遥吟s3.典型例题

例:证明圆弧上各点处的曲率相等遥证明院如图4袁设圆的半径为R袁在圆上任取两点M,N袁过两点做切线袁设圆弧MN的长度为吟s袁切线转角为吟a袁则由几何知识得院蚁NOM=吟a袁则吟s=吟a窑R袁即袁吟a=1袁从而

吟sR吟a有K=lim=1即圆图4

吟s吟s寅0R上任一点处曲率相等袁等于半径的倒数袁这与实际情况相吻合袁圆上每一点的弯曲程度相同袁且圆的半径越小袁弯曲程度越大袁进一步说明了用曲率来描述曲线的弯曲程度是合理的遥

4.问题的解决

在打磨抛光抛物型机件时袁选择哪种型号的铣刀取决于抛物线上弯曲程度最大的点袁显然袁顶点M处的弯曲程度最大袁若M处的曲率为K袁通过上面例题的结论袁我们可以选择半径R=1的铣刀袁可以保证打磨充分遥

K5.问题引申

思考院点M处的曲率该如何计算呢钥用定义计算十分复

吟a杂袁注意曲率是转角a对弧长s的导数袁即K=lim=

吟s吟s寅0

吟s寅0

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da

袁可以应用导数来给出一个计算曲率的一般方法遥ds通过还原知识产生的过程袁能够让学生理解并接受所学理论遥

渊二冤开设数学实验课程

数学建模的实施过程离不开计算机软件的应用袁学生在日常学习中对常用软件和计算机处理技术接触很少袁开设数学实验课程袁传授基本数学软件包的使用是必要的袁如院Spss,Lingo,Maple,Mathematica,Matlab等等遥通过数学试验教会学生解决复杂数学计算的方法袁能够提高学生利用计算机和科技技术成果的能力遥

渊三冤参加建模竞赛袁多方交流学习

数学建模需要学生掌握很多数学方面的知识袁如统计学尧最优化尧神经网络尧计算方法尧模糊数学等等袁除此之外还有一些专业的知识需要学生自己去采集和处理袁这些处理信息数据的方法是多样的袁作为交流和学习的平台袁建模竞赛是一个最好的选择袁通过竞赛不仅可以收获优质信息袁更重要的是可以和优秀的思想接触袁更好地提升自己的水平遥

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渊基金项目院黑龙江省高等教育教学改革项目渊SJGY20170311冤遥冤

（上接第16页)

可导袁F(0)=1袁F(1)=-3袁由零点定理袁存在孜沂(0,1)袁使得F(孜)=0袁即孜-5孜+1=0遥

唯一性遥

假设有两个点x1所以x-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根遥第二步院课堂讨论与答疑辅导遥

1.罗尔定理中三个条件去掉任何一个可能导致结论不成立遥如函数f(x)=x在[0袁1]区间上连续可导袁但端点函数值不等袁则不存在点孜袁使得f'(孜)=0遥还可以找到不满足另外两个条件的例子遥

2.随堂解答并讨论学生提出的问题遥总结

综上所述袁翻转课堂把学生放到了主体位置袁将学生的被动学习转化成主动求知遥教师需要花费大量的时间和精力辅助学生学习袁在整个翻转课堂的学习中袁教师要不断地根据学生的情况进行调整袁修改教学方案以达到更好的教学效果遥

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