运筹学期末考试试卷A答案

1. 无孤立点的图一定是连通图。

2。 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。

3. 如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。

5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量.

6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解.

7. 度为0的点称为悬挂点。

8。 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法. 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图. 10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 二、建立下面问题的线性规划模型（8分)

某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日.该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡.种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元,每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日,春夏季为50人日,年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0。6人日,春夏季为0.3人日,年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡,牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示： 大豆 玉米 麦子 秋冬季需人日数 20 35 10 春夏季需人日数 50 75 40 年净收入（元/公顷) 3000 4100 4600 试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。 三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表,表中为松弛变量,问题的约束为  形式（共8分）

5/2 5/2 0 1 0 1/2 －1/2 －４ 1 0 0 1/2 －1/6 －４ ０ 1/3 －２ （1)写出原线性规划问题；（4分） (2）写出原问题的对偶问题；(3分)

（3）直接由上表写出对偶问题的最优解。(1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题(16分）

s. t。 3 x1 + x2 + x3  60 x 1- x 2 +2 x 3  10 x 1+ x 2- x 3  20 x 1， x 2 ， x 3 0

五、求解下面运输问题. (18分)

某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问:应如何调运，可使得总运输费最小? 销 地 产 地 10 8 9 15 5 2 3 20 6 7 4 30 7 6 8 35 产 量 25 25 50 100 销 量 六、灵敏度分析（共8分)

线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3

s。t。 x1 + x2 + x3  100 10x1 +4 x2 + 5 x3  600 2x1 +2 x2 + 6 x3  300 x1 , x2 , x3  0 的最优单纯形表如下: 6 10 0 x2 x1 x6 j 200/3 100/3 100 0 1 0 0 5/6 1/6 4 –8/3 1 0 0 0 5/3 -2/3 —2 -10/3 – 1/6 1/6 0 – 2/3 0 0 1 0 (1)C1在何范围内变化，最优计划不变?（4分）

(2）b1在什么范围内变化，最优基不变?（4分) 七、试建立一个动态规划模型。（共8分)

某工厂购进100台机器，准备生产 p1 ， p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65％;若生产产品 p2 ,每台机器 每年可收入35万元,损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？ 八、求解对策问题。（共10分）

某种子商店希望订购一批种子.据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。 要求:

（1)建立损益矩阵；(3分）

（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）

(3)建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）

九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径.（8分) 2 工序 工序 代号 8 时间 1—2 1 1-3 1—4 2-4 2-5 3—4 3-6 4-5 4—6 4-7 5-7 6-7 ① X ② √ 7 8 6 7 6 3 3 5 2 3 3 7 4 9 8 ③ X 5 最早开 工时间 3 4 ④ √ 2 最早完 工时间 3 3 ⑤ √ 7 5 最晚开 工时间 4 ⑥ √ 6 最晚完 工时间 9 8 ⑦ X ⑧ √ 7 机动 时间 ⑨ X 10 √ 十、用标号法求V1 到 V6 的最短路。（6分） 运筹学样卷（一）答3 案 一、V1 判断 题.共计5 10V2 4 6 6 分，每小题1分 V3 6 4 二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）

解：用分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；分别表示奶牛和鸡的饲养数；分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有 三、对偶问题。共计8分 解：（１）原线性规划问题：

；……4分

(２）原问题的对偶规划问题为：

; ……3分 （３）对偶规划问题的最优解为：T 。……1分 四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解：引入松弛变量x4、 x5、 x6,标准化得，

s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4

= 60

x 1— x 2 +2 x 3 + x5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0

x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，≥0……………3分

建初始单纯形表，进行迭代运算： ……………………… …9分 CB 0 0 0 1 0 2 0 2 0 2 -1 3 x4 x1 x2 x4 x1 x6 Xb x4 x5 x6 b’ 60 10 20 0 30 10 10 20 10 15 5 25 2 x1 3 ［1] 1 2* 0 1 0 0 0 1 0 0 —1 x2 1 -1 1 —1 4 -1 ［2] 1* 0 0 1 0 1 x3 1 2 -1 1 —5 2 -3 -3 1 0.5 —1。5 -1。5 0 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 -3 1 —1 -2 -1 0。5 0 x6 0 0 1 0 0 0 1 0 —2 0。5 θ 20 10* 20 7.5 —-— 5* —0.5 0。5 —1.5 -0.5 由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： （ 15 , 5 , 0 )T …2分

最优值为: z*=25.………2分

五、求解运输问题。共计18分

解：

（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分) 设xij为由Ai运往Bj的运量(i=1，2，3； j=1，2,3，4）, 列表如下： 销 地 产 量 产 地 1 2 3 15 20 30 25 5 5 25 25 50 销 量 15 20 30 35 100 ……………3分 所以,基本的初始可行解为：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ;

X31 =15; x33 =30； x34=5

其余的xij=0. …………3分

（2)求最优调运方案：

1会求检验数，检验解的最优性：11=2；12=2；13=3；

21=1;23=5;32= - 1…………3分

2会求调整量进行调整:=5 …………2分

销 地 产 量 产 地 1 2 3 销 量 15 15 15 5 20 30 30 25 10 35 25 25 50 100 …3分

3再次检验 …………2分 4能够写出正确结论

解为：x14=25 ； x22 =15 ; x24 =10 x31 =15, x32 =5 x33=30

其余的xij=0。 ……1分

最少运费为: 535 ………1分。 六、灵敏度分析。共计8分 （1）（4分） (2）（4分）

七、建动态规划模型。共计8分 解：（1）设阶段变量k表示年度，因此，阶段总数n=3。

(2)状态变量sk表示第k年度初拥有的完好机床台数, 同时也是第 k–1 年度末时的完好机床数量。

（3）决策变量uk，表示第k年度中分配于生产产品 p1 的机器台数。于是sk– uk便为该年度中分配于生产产品 p1的机器台数． (4） 状态转移方程为

(5)允许决策集合，在第 k 段为

(6）目标函数。设gk(sk,uk)为第k年度的产量，则

gk（sk,uk) = 45uk + 35（sk–uk） ，

因此,目标函数为

(7）条件最优目标函数递推方程。

令fk(sk)表示由第k年的状态sk出发,采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量,根据最优化

原理有以下递推关系：

（8）.边界条件为 八、解决对策问题.共10分

（1)益损矩阵如下表所示：……3分 销 售 S1 S2 S3 S4 订 购 500 1000 1500 2000 A1 500 1500 1500 1500 1500 A2 1000 0 3000 3000 3000 A3 1500 －1500 1500 4500 4500 A4 2000 －3000 0 3000 6000 （2）悲观法：A1 ，订购500公斤.……2分 （3）后悔矩阵如下表所示：……3分 S1 S2 S3 S4 最大后悔值 A1 A2 A3 0 1500 3000 1500 0 1500 3000 1500 0 4500 3000 1500 4500 3000 3000 A4 4500 3000 1500 0 4500 按后悔值法商店应取决策为A2或A3 ,即订购1000公斤或1500公斤.……2分 九、求网络计划图的各时间参数。（8分） 工序 代号 1-2 1—3 1-4 2—4 2-5 3—4 3-6 4—5 4-6 4—7 5-7 6-7 工序 时间 8 7 6 3 5 2 3 3 7 4 9 8 最早开 工时间 0 0 0 1 0 0 8 8 7 7 11 11 11 14 18 14 关键问题是：8 14 8 ①最早完 最晚开5 最晚完 机动 2 5 工时间 工时间 工时间 时间 →1 ②；2→④;2 8 9 3 0 8 8 3 0 ④→⑤；④→11 26 4 2 6 7 2 9 6；6→⑦ 4 7 6 5 11 7 6 26 关键线路是：11 8 11 0 7 11 2 8 评分标准：①能3 3 9 14 1 6 7 13 正确给各顶点9 9 9 11 18 2 18 标号并填10 15 18 8 表.。。.......14 11 14 0 ......。..。.。18 11 18 0 4分 15 22 26 11 23 26 17 18 26 26 3 0 问

题。.。。。.....。。。。 2分

③正确画出关键线路。.。。.。...。。。。 ２分

②正确写出关键4 十、用标号法求v1 到 v6 的最短路。（6分)

(4,v1) 最短路为：v1,v2,v3，v v5,v6 6 V2 4，长度为：12 正确标号：4分；正确写出结论：2分 4 (0,0) 7 V4 (9,v3) (10,v2) 5 1 2 8 3 V6 (12,v5) (14,v4) V1 V3 (6,v2) 7 （8,v1） 2 V5 (10,v4) (11,v2) (13,v3)