弹性力学答案缩印

xyq 及

xy0能满足平衡微分方程、相容方程和

应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

证明： （1）将应力分量

xyq，

xy0和

fxfy0分别

代入平衡微分方程、相容方程

xyxfxx0yyxyfy0yx （a） 22(ffyx2y2)(xy)(1（)xxy）0 （b）

显然（a）、（b）是满足的

（2）对于微小的三角板A,dx,dy都为正值，斜边上的方向余弦

lcos(n,x),mcos(n,y),将xyq，xy0代入平面问题的应力

边界条件的表达式

(lxmyx)sfx(s)(mylxy)sfy(s) （c）

则有xcos(n,x)qcos(n,x) ycos(n,y)qcosn(,y)

所以

xq，yq。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。 该题为平面应力的情况，首先，将应力分量

xyq及

xy0代入物理

(1)q(1)方程，得形变分量xEyq，E，xy0 （d）

然后，将（d）的变形分量代入几何方程，得

u(1)v(1)vuxEq，yEq0，xy （e）

u(1)Eqxfy)v(1)前而式的积分得到

1(qyf，E2(x) （f）

其中的

f1和f2分别是y和x的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式

df1(y)df2(x)（f）代入（e）的第三式得

dydx

等式左边只是y的函数，而等式右边只是x的函数。因此，只可能两边都等于同一

df1(y)df2(x)个常数ω，于是有dy，dx，积分以后得f1(y)yu0，

f2(x)xv0

代入（f）得位移分量

(1)uEqxyu0v(1)Eqyxv

其中

u0,v0,为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。

从式（g）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分

量是正确的解答。

2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力

x和切应力xy的表达式，并取挤压应力y0，然

后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。

解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为

3M(x)FxIh，横截面对z轴（中性轴)的惯性矩为

z12，根据材料力学公式，

x)yxM(I12F3xy弯应力

zh；该截面上的剪力为Fs(x)F，剪应力

Fs(x)xy32h(I4y26Fh2h2)h3(4y2)；并取挤压应力y0

（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程

xyxfx0xyyxyfy0yx

(22)(fxfyxy)(1（)也能满足相容方程x2y2xy）0

再考察边界条件：在yh/2的主要边界上，应精确满足应力边界条件：

(y)yh/20，

(yx)yh/20； (y)yh/20，

(yx)yh/20。

能满足

在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：

h/2h/2(x)x0dy0h/2h/2(x)x0ydy0h/2h/2(xy)x0dyF

满足应力边界条件。

在次要边界xl上，列出三个积分的应力边界条件：

h/2h/2)12Fh/2(xxldyh/2h3lydy0h/2h/212Fh/2(x)xlydyh/2h3ly2Flh/2h/2h/2(xy)x0dy6Fh22h/2h3(4y)F

满足应力边界条件

因此，他们是该问题的解答。

3-6如题3-6图所示的墙，高度为h，宽度为b，h»b，在两侧面上受到均布剪力q的作用。试用应力函数

AxyBx2y求解应力分量。

解（1）相容条件：

将应力函数代人相容方程40中，其中

4x4044，y40，x2y20 很明显满足相容方程。

（2）应力分量表达式

222xy20A3Bx2，yx26Bxyxy，xy

（3）考察边界条件：在主要边界xb/2上，各有两个应精确满足的边界条件，即

(x)xb/20，

(xy)xb/2q。

在次要边界

y0上，(y)y00，而(yx)y00的条件不可能精确满足（否

b/2则只有A=B=0），可用积分的应力边界条件代替 b/2(yx)y0dx0

Aq2B2q（4）把各应力分量代入边界条件，得

，b2。

12q应力分量为

x0，

yb2xy，

xyq2(112x2b2) 3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次

式的应力函数求解。

解（1）相容条件： 3 设

AxBx2yCxy2Dy3 (a)

不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。 （2）体力分量

fxo,fyg由应力函数得应力分量的表达式

2xy2fxx2Cx6Dy (b)

2yy2fyy6Ax2Bygy (c)

xy2xy2Bx2Cy (d)

（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数 先考察主要边界上

y0的边界条件：(y)y00， (yx)y00

将应力分量式(b)和式（c）代入，这些边界条件要求

(y)y06Ax0，

(xy)y02Bx0 得A=0，B=0。

式(b)、（c）、（d）成为

x2Cx6Dy （e） ygy （f） xy2Cy （g）

根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是yxtan,在斜面上没有任何面力，

即

fxfy0,按照一般的应力边界条件，有

l(x)yxtanm(xy)yxtan0m(y)yxtanl(xy)yxtan0

将(e)、（f）、（g）代入得

l(2Cx6Dxtan)m(2Cxtan)0 （h） m(gxtan)l(2Cxtan)0 （i）

由图可见，

lcos(n,x)cos(2)sin ， mcosn(,y)cos

CgDg2代入式（h）、(i)求解C和D,即得

2cot，

3cot

将这些系数代入式(b)、（c）、（d）得应力分量的表达式

xgxcot2gycot2ygyxygycot

4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。

解 （1）应力函数

2(Acos2Bsin2CD)，进行求解

由应力函数得应力分量

112222(Acos2Bsin2CD)22(Acos2Bsin2CD)2(1)2Asin22Bcos2C

（2）考察边界条件：根据对称性，得

()/20 （a） ()/2q （b） ()/20 （c） ()/2q （d）

由式（a）得2Acos2BsinC2D0 （e） 由式（b）得

2Asin2BcosCq （f） 由式（c）得2Acos2BsinC2D0 （g） 由式（d）得

2Asin2BcosCq （h）

Aq式（e）、（f）、（g）、(h)联立求解，得2sin,BC0,Dq2cot

将以上系数代入应力分量，得

cos2q(sincot)cos2q(cot)sinsin2qsin

4一13设有内半径为r,外半径为R的圆筒受内压力q，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。

解 本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。当圆筒只受内压力q的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求

()r0，

()R0

()rq，

()R0

由表达式可见，前两个关于

的条件是满足的，而后两个条件要求

Ar22CqAR22C0

2AqR2r(R2r2)Cqr22由上式解得

，

2(R2r) (a) 把A,B,C值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，

uqr2E(R2r2)(1)(1)R2IcosKsin （b）

uHIsinKcos0 (c)

式（c）中的,取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。 所以，轴对称问题的径向位移式（b）为

uqr2R2E(R2r2)(1)(1)，

EE12,而圆简是属于平面应变问题，故上式中

1u代替，则有 (1)R2(1)2uq11ER212(r21) 此时

内

径

改

变

为

(12u)R(11)r2rq1ErR2qr(12)R2r2E(R2r21)12(r21)，

(1)R21(1u1)R2qr(12)2RrRqER12(R2ER2r2外径改变为

r21)

qr(12uu)RrRr圆环厚度的改变为

E(Rr1)

4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应.力分最为xy0 ，

xyq，

如该处有一小圆孔.试求孔边的最大正应力。

解 求出两个主应力，即

1xyxy22()xyq222

原来的间题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。 应力分量

xq，yq，xy0代入坐标变换式，得到外边界上的边界条

件

()Rqcos2 （a） ()Rqsin2 (b)

在孔边，边界条件是

()r0 （c） ()r0 （d）

由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用办逆解法是，可假设为的某一

函数乘以cos2，而

为的另一函数乘以sin2。而

112221()，

因此可假设 f()cos2。 （e） (21122将式（e）带入相容方程222)0，得

cosd4f()2d3f()9d2f()9df()d4d32d23d0

f4cos2AB3CD2删去因子

以后，求解这个常微分方程，得

，其中

A,B,C,D

为待定常数，代入式（e），得应力函数

cos2(A4B2CD2)

由应力函数得应力分量的表达式

2(2B4C6Dcos24)(12A22B6Dcos24)sin2(6A32B2C6D)24 将上式代入应力边界条件

2B4CR26DR4q由式（a）得

（g）

6AR22B2C6由式（b）得

R2DR4q （h）

2B4C6由式（c）得r2Dr40 （i）

6Ar22B2C6D由式（d）得r2r40 （j）

rq联立求解式(g)(j)0A0,B,Cqr2,Dqr4，并令R,得

22 将各系数值代入应力分量的去达式，得

r2r2qcos2(12)(132)r2qcos2(132)r2r2qsin2(12)(132)

沿着孔边r，环向正应力是4qcos2

最大环向正应力为

()max4q

4-17在距表面为h的弹性地基中，挖一直径为d的水平圆形孔道，设h》d，弹性地基的密度为，弹性模量为E，泊松比为，试求小圆孔附近的最大、最小应

力。

解 距地表为h处，无孔时的铅直应力xgh，由水平条件xy0，

可得

xy1gh

x向为水平回形孔道的轴向，在横向y，z平面的主应力为

1gh，

21gh

（2）原来的问题变为管道在左右两边受均布压力在上下两边受均布压力

1gh,在上下两边受均布压力

gh，如图（a）所示。可以将荷载分解为两

12gh部分：第一部分是四边的均布压力

22(1)如图（b）所示，第二部12(12)分是左右两边的均布拉力

2gh2(1)2和上下两边的均布压力12(122)ghrr22(1)12q(1如图（c）所示。对于第一部分荷载，可应用解答2),q,0r21R2 对于第二部分解答，可应用解答，教材中式（4-18）。将两部分解答叠加，即得原

荷载作用下的应力分量（基尔斯的解答)。

222gh(1r(12)ghrr2(1)2)2(1)cos2(12)(132)ghr2(12)2(1)(1ghr22)2(1)cos2(132)(12)ghr2r22(1)sin2(12)(132)

gh2(12)沿着孔边r，环向正应力是

(1)gh(1)cos2

(14)max最大环向正应力为1gh(34)mingh，1

8-1设有任意形状的等截面杆,密度为，上端悬挂，下端自由。如题8-1图所示，试考察应力分量

x0,y0,zgz,yz0,zx0,xy0是否能满足

所有一切条件。

解 按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡徽分方程，满足相容方程；并在边界上满足应力边界条件. (l)

fxfy0,fzg 很显然应力分量满足如下平衡徽分方程

xyxxyzxzfx0yzyxyyfzxy0zxzyzzxyfz0

（2）



xyxzgz，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程

(1)22x0(1)2xy20x2xy(1)222yy20(1)2yzyz022(1)2zz20(1)2 xzxz0

（3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，

fxfyfz0。.在

(x,y)平

面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n0,l,m为任意的；在下端面方向余弦分别为n1,lm0）。应用一般的应力边界条件，将应力和面力分量、方向余弦分别代入下式

(lxmyxnzx)sfx(mynzylxy)sfy(nxlxzmyz)sfz

直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足，因此，所给应力分是是本问题的解

8-2设有任意形状的空间弹性体，在全部边界上(包括在孔洞边界上)受有均布压力q,试证应力分量

xyzq,yzzxxy0能满足一切条件，因而

就是正确的解答。

解：应力应满足平衡微分方程，相容方程及应力边界条件(在足位移单值条件。 （1）平衡条件 （2）相容条件：程。

（3）应力边界条件。考虑一般的应力边界条件：法线的方向余弦为l,m,n边界面为任意斜面，受到法向压力q的作用。同样，满足应力的边界条件。

（4)位移单值条件，为了考虑多连体中的位移单值条件，由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。

将应力分量代人教材中式（7一12)，得形变分量表达式

s上)，多连体还应满

fxfyfz0，很显然，应力分量满足平衡微分方程

，应力分量也满足贝尔特拉米相容方

xyz3qxyz21q0zyxyE，yz

将形变分量代入几何方程，得

u21xxEqv21qyyE21qzzE积分得位移分量的表达式

vyzyz0u0zxxzvu0xyxy 

u212121qxf1(y,z),vqyf2(x,z),qzf3(x,y).EEE 其中的

f1,f2,f3分别是

y,z和x,z和x,y的待定函数，可以通过几何方程的后三

个式子求出。

df(x,z)df3(x,y)2dydzdf1(y,z)df3(x,y)dzdxdf(x,z)df(y,z)21dxdy

满足上述三个等式，只可能每个等式的左右两边等于同一个常数。积分以后得

f1yzu0f2xzv0f3xy0

代入位移分量表达式得

21uExyzu021yzv0vxExy21z0E其中

u0,v0,0,分量分别表示位移和刚体转动，与形变无关。多连体上各

个点的位移分量都是

x,y,z的线性函数，所以满足位移单值条件。