2014年考研数三真题和解析

2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x2)o(x3) （B）o(x)o(x2)o(x3) （C）o(x2)o(x2)o(x2) （D）o(x)o(x2)o(x2)

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（ ）

x(x1)ln|x|（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

22（3）设Dk是圆域D{(x,y)|xy1}位于第k象限的部分，记Ik(yx)dxdyk1,2,3,4，

Dk则（ ） （A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40

（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若anan1,则(1)n1n1an收敛

（B）若(1)n1n1an收敛，则anan1

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（C）若an1nP收敛，则存在常数P1,使limnan存在

n（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

nPan1n收敛

（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价

1a1200（6）矩阵aba与0b0相似的充分必要条件为

1a1000（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0 （D）a2,b为任意常数

（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22），X3~N(5,32),

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（ ）

（A）P1P2P3 （B）P2P1P3 （C）P3P1P2 （D）P1P3P2

（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( )

2

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1 121（B）

81（C）

61（D）

2（A）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线yf(x)和yx2x在点(0,1)处有公共的切线，则limnfnn________。 n2（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xxy确定，则（11）求

zx(1,2)________。

1lnxdx________。

(1x)21y0通解为y________。 4（12）微分方程yy（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若

aijAij0(i,j1,2,3),则A____

（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)= ________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。 （17）（本题满分10分）

设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

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2xdxdy。 D13nQ，（P是单价，单1000

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 （19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

x（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()（20）（本题满分11分） 设A1. a1a01,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。 101b（21）（本题满分11分）

a1b122设二次型fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3，记a2,b2。

ab33（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；

22（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1。 y2（22）（本题满分11分）

3x2,0x1,设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx，在给定Xx0x1的

其他.0,Y的条件概率密度fYX条件下，

3y2,0yx,yxx3

0,其他.（1） 求X,Y的概率密度fx,y； （2） Y的边缘概率密度fYy. （23）（本题满分11分）

23ex,x0,设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，X1,X2，XN为来自总体

0,其它.X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量.

4

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2013年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1）当x0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）xo(x2)o(x3) （B）o(x)o(x2)o(x3) （C）o(x2)o(x2)o(x2) （D）o(x)o(x2)o(x2) 【答案】D

【解析】o(x)o(x2)o(x)，故D错误。

|x|x1（2）函数f(x)的可去间断点的个数为（ ）

x(x1)ln|x|（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】C

【解析】由题意可知f(x)的间断点为0,1。又

xx1exlnx1xlnxlimf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)lnxx0x(x1)lnxx0x(x1)lnx(x)x1exln(x)1xln(x)limf(x)limlimlim1 x0x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)x0x(x1)ln(x)xx1exlnx1xlnx1limf(x)limlimlim x1x1x(x1)lnxx1x(x1)lnxx1x(x1)lnx2(x)x1exln(x)1xln(x)limf(x)limlimlim x1x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)x1x(x1)ln(x)故f(x)的可去间断点有2个。

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（3）设Dk是圆域D{(x,y)|x2y21}位于第k象限的部分，记Ik则（ ） （A）I10 （B）I20 （C）I30 （D）I40 【答案】B

【解析】令xrcos,yrsin，则有

(yx)dxdyk1,2,3,4，

Dk Ik(yx)dxdyrdrDk011(rsinrcos)d(cossin)

3故当k2时，2,，此时有I220.故正确答案选B。 3（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若anan1,则(1)n1n1an收敛

（B）若(1)n1n1an收敛，则anan1

（C）若an1nP收敛，则存在常数P1,使limnan存在

n（D）若存在常数P1，使limnan存在，则

nPan1n收敛

【答案】D

11P【解析】根据正项级数的比较判别法，当P1时，p收敛，且limnan存在，则an与p同

nn1n1nn1n敛散，故

an1n收敛.

（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若ABC，且C可逆，则（ ）

（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

6

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（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）

1【解析】由CAB可知C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，又B可逆，故有ACB，从而A

的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。

（6）矩阵1a1200

aba与0b0

相似的充分必要条件为

1a1

000

（A）a0,b2 （B）a0,b为任意常数 （C）a2,b0 （D）a2,b为任意常数 【答案】(B)

1a11a【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1aba与201a11a10充分必要条件为1a1aba的特征值为2,b,0。

1a11a1又EAaba[(b)(2)2a2]，从而a0,b为任意常数。1a1（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22），X3~N(5,32),

PjP{2Xj2}(j1,2,3),则（ ）

（A）P1P2P3 （B）P2P1P3 （C）P3P1P2 （D）P1P3P2 【答案】（A）

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00b00相似的

0

【解析】由X1N0,1,X2N0,22,X3N5,32知，

p1P2X12PX12221，

p2P2X22PX22211，故p1p2.

由根据X3N5,32及概率密度的对称性知，p1p2p3，故选（A）

（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，

则P{XY2} ( )

1 121（B）

81（C）

61（D）

2（A）【答案】（C）

【解析】又根据题意X,Y独立，PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1，故

PXY2PX1PY1PX2PY0PX3PY1二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

2（9）设曲线yf(x)和yxx在点(0,1)处有公共的切线，则limnfn1，选（C）. 6n________。 n2【答案】2

2【解析】yxx在(1,0)处的导数是y'(1)1，故f'(1)1,f(1)0，

2)f(1)n2nn2limnf()limf'(1)(2)2 n2n2nn2n2zx（10）设函数zz(x,y)由方程(zy)xy确定，则(1,2)________。

xf(1

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【答案】22ln2

【解析】原式为exln(zy)xy,左右两边求导得：xy[ln(zy)xzxzy]y,令x1,y2 得z0,zx2(1ln2) （11）求

lnx1(1x)2dx________。 【答案】ln2 【解析】

lnx(1x)2dxlnxd(11x)lnx1lnxx1x+x(1x)dx1x+ln1x lnx(1x)2dxxlimlnx1x+lnx1xlnx1x+lnx11xln2 x1（12）微分方程yy14y0通解为y________。 1【答案】e2xC1xC2

1【解析】特征方程为21x40,12(二重根)，所以通解为ye2C1xC2

（13）设A(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，aijAij0(i,j1,2,3),则A____

【答案】1

【解析】

由a0可知，ATA*ijAij Aai1Ai1ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3jA3j3a23ija2ij0j1i1

从而有AATA*A2,故A=-1.（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1) ,则E(Xe2X)= ________。 【答案】2e2 【解析】由XN0,1及随机变量函数的期望公式知

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若

EXe2Xxe2x1x21edx222xe1x2242dx2e2.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.

（15）（本题满分10分）

当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 【解析】因为当x0时，1cosxcos2xcos3x与ax为等价无穷小 所以limnn1cosxcos2xcos3x1 nx0ax又因为：

1cosxcos2xcos3x1cosxcosxcosxcos2xcosxcos2xcosxcos2xcos3x 1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x) 即lim1cosxcos2xcos3x1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)lim nnx0x0axax1cosxcosx(1cos2x)cosxcos2x(1cos3x)lim()nnnx0axaxax 1211xo(x2)(2x)2o(x2)(3x)2o(x2)lim(222)nnnx0axaxax所以n2 且

1491a7 2a2a2a13（16）（本题满分10分）

设D是由曲线yx，直线xa(a0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy10Vx，求a的值。 【解析】由题意可得：

Vxa035(x)dxa3

5a132Vy2067xxdxa3

7135673a310a3a77 因为：Vy10Vx 所以75（17）（本题满分10分）

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设平面内区域D由直线x3y,y3x及xy8围成.计算【解析】

2222xdxdyxdxdyxdxdy DD1D22xdxdy。 Dx2dxxdyx2dxxdy

03233x68x416 3Q，（P是单价，单1000（18）（本题满分10分）

设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60位：元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。

Q26000 【解析】（I）设利润为l，则lPQ(20Q6000)40Q1000边际利润l'40Q 500（II）当P50时，边际利润为20，

经济意义为：当P50时，销量每增加一个，利润增加20 (III)令l'0,得Q20000，此时P60（19）（本题满分10分）

设函数f(x)在[0,]上可导，f(0)0且limf(x)2，证明

xQ40 1000（1）存在a0，使得f(a)1

（2）对（1）中的a，存在(0,a),使得f'()1. a3， 2【答案】（I）证明：limf(x)2,X,当xX时，有f(x)xf(x)在[0,X]上连续，根据连续函数介值定理，存在a0,X，使得f(a)1

（II）f(x)在[0,a]上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，

f(a)f(0)f'()a1,(0,a)，

故(0,a)，使得f'()（20）（本题满分11分）

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设A1a01,B，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。

101b【解析】

x1由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设Cx3x2ax30axxax1124  （1）

xxx1134x2ax3bx2，则由ACCAB可得线性方程组： x401a001011a10a1a10a1011101a001a0b01a01101101a01a00001a0000b1a110111101a01a01a000b01a0b

由于方程组（1）有解，故有1a0,b1a0，即a1,b0,从而有

01a0a10a101101a0从而有C011010b00111100000001x1k1k21xk021,其中k1、k2任意. ，故有xk0310x4k2k1k21k1

k1k2（21）（本题满分11分）

a1b122设二次型fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3，记a2,b2。

ab33（I）证明二次型f对应的矩阵为2TT；

22（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1。 y2【答案】(1)

12

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22222f(2a12b12)x12(2a2b2)x2(2a3b32)x3(4a1a22b1b2)x1x2(4a1a3b1b3)x1x3(4a2a32b2b3)x2x32a1a2b1b2222a2b22a2a3b2b3

2a12b12则f的矩阵为2a1a2b1b22a1a3b1b32TTa122a1a3b1b32a2a3b2b32a1a22a1a32a3b32a1a22a2a2a3a1a3b12a2a3b1b22a3b1b3b1b2b22b2b3b1b3b2b3b32（2）令A=2TT,则A2TT2,A2TT，则1,2均为A的特征值，又由于r(A)r(2TT)r(T)r(T)2，故0为A的特征值，则三阶矩阵A的特征

22值为2,1,0，故f在正交变换下的标准形为2y1 y2（22）（本题满分11分）

3x2,0x1,设X,Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fXx，在给定Xx0x1的

其他.0,Y的条件概率密度fYX条件下，

3y2,0yx,yxx3

0,其他.（3） 求X,Y的概率密度fx,y； （4） Y的边缘概率密度fYy.

9y2,0x1,0yx,【答案】（1）fx,yfYXyxfXxx

0,其他.（2）fYy9y2lny,0y1,fx,ydx

0,其他.（23）（本题满分11分）

23ex,x0,设总体X的概率密度为fxx其中为未知参数且大于零，X1,X2，XN为来自总体

0,其它.X的简单随机样本.

（1）求的矩估计量；

（2）求的最大似然估计量. 【答案】(1)EXxf(x)dx0x2XX，edxexd()，令E故矩估计量为X. 30xxx 专业技术.整理分享

(2)L()i1nn2x3eif(xi;)i1xi02nn1xi03exii1xi其他0xi0其他

当xi0时，

lnL()2nln3lnxii1i1nn1 xidlnL()2nn1令0，

di1xi2n2n得n，所以得极大似然估计量=n.

11i1xii1xi

14