一次函数之平行四边形存在性问题

一次函数之平行四边形存在性问题

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一次函数与平行四边形

1.线段中点公式

平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)， 则线段AB的中点P的坐标为 （

x1x2y1y2,） 22例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB的中点P的坐标是

________.

2.线段的平移

平面内，线段AB平移得到线段A'B' ，则①AB∥A'B' ，AB=A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'.

如图，线段AB平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________.

例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点坐标分别为A(x1,y1)、

B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标

例：如图，已知□ABCD中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D的坐标是________.

方法一：利用线段平移

总结：x1-x2= x4-x3，y1-y2= y4-y3 或者 x4-x1= x3-x2，y4-y1= y3-y2 等 方法二：利用中点公式

总结：x1+x3= x2+x4，y1+y3= y2+y4

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类型一：三定一动

例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A 、B 、 C、 D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________.

总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.

说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________

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【例1】．一次函数y＝x+3与y＝﹣x+q的图象都过点A（m，0），且与y轴分别交于点B、C． （1）试求△ABC的面积；

（2）点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；

（3）过△ABC的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC的面积若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．

【解答】解：（1）将点A（m，0）代入y＝x+3中，得

m+3＝0，解得m＝﹣3，即点A（﹣3，0）， 将点A（﹣3，0）代入y＝﹣x+q中，得q＝﹣3，

∴点B（0，3）、C（0，﹣3）， 故S=2×BC×AO＝9；

（2）满足条件的D点坐标为D（﹣3，6）、

1D（﹣3，﹣6）、D（3，0）；

（3）若过点A，则得直线l：y＝0； 若过点C，则得直线l：y＝﹣3x﹣3； 若过点B，则得直线l：y＝3x+3．

例2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y＝x+m（m＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝﹣3x+n（n＞m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． （1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数；

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（2）若四边形PQOB的面积是，且CQ：AO＝1：2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在直线y＝x+m中，令y＝0，得x＝﹣

112m．

∴点A（﹣m，0）．

在直线y＝﹣3x+n中，令y＝0，得𝑥=3． ∴点B（，0）． 由{

𝑥3𝑥𝑥=𝑥+𝑥，得{𝑥=−3𝑥+𝑥𝑥𝑥=

𝑥−𝑥𝑥−𝑥𝑥+3𝑥4，∴点P（，）． 𝑥+3𝑥44=4在直线y＝x+m中，令x＝0，得y＝m， ∴|﹣m|＝|m|，即有AO＝QO． 又∵∠AOQ＝90°，

∴△AOQ是等腰直角三角形， ∴∠PAB＝45°．

（2）∵CQ：AO＝1：2， ∴（n﹣m）：m＝1：2， 整理得3m＝2n， ∴n=2m，

𝑥+3𝑥𝑥+3𝑥92∴==m，

441𝑥11111而S四边形PQOB＝S△PAB﹣S△AOQ=2（+m）×（m）−2×m×m=32m2=2，

3833解得m＝±4， ∵m＞0， ∴m＝4，

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∴n=2m＝6， ∴P（，）．

∴PA的函数表达式为y＝x+4，

12923PB的函数表达式为y＝﹣3x+6．

（3）存在．

过点P作直线PM平行于x轴，过点B作AP的平行线交PM于点D1，过点A作

BP的平行线交PM于点D2，过点A、B分别作BP、AP的平行线交于点D3． ①∵PD1∥AB且BD1∥AP，

∴PABD1是平行四边形．此时PD1＝AB，易得𝑥1(2，2)； ②∵PD2∥AB且AD2∥BP，

∴PBAD2是平行四边形．此时PD2＝AB，易得𝑥2(−2，2)； ③∵BD3∥AP且AD3∥BP，此时BPAD3是平行四边形． ∵BD3∥AP且B（2，0），

∴yBD3＝x﹣2．同理可得yAD3＝﹣3x﹣12 {

119139𝑥=𝑥−2， 𝑥=−3𝑥−12𝑥=−25得{

9𝑥=−259∴𝑥3(−2，−2)．

，

3．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．

（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）填空：

①当t为 s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形； ②当t为 s时，四边形ACFE是菱形．

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【解答】（1）证明：∵AG∥BC， ∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC， ∵D为AC的中点， ∴AD＝CD，

∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥∵在△ADE和△CDF中，{∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，

𝑥𝑥=𝑥𝑥∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC，

∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝8﹣2t， 解得：t=3；

当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm）， ∵AG∥BC，

∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣8， 解得：t＝8；

综上可得：当t=3或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． ②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8， 则此时的时间t＝8÷1＝8（s）； 故答案是：或8；8．

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4．已知，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，如图1，A，B坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△

OCD，连接AC、BD交于点E． （1）求证：△ABE≌△DCE．

（2）M为直线BD上动点，N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M点的坐标．

（3）如图2，过E点作y轴的平行线交x轴于点F，在直线EF上找一点P，使△PAC的周长最小，求P点坐标和周长的最小值．

【分析】（1）由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、

OD的长，从而可求得∠AEB＝90°，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得AB＝CD，可证得△ABE≌△DCE；

（2）由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥

AN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标；

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（3）由AE＝DE可知A、D关于EF对称，连接CD交EF于点P，则P点即为满足条件的点，由C、D坐标可求得直线CD的解析式，则可求得P点坐标，利用勾股定理可分别求得AC和CD的长，则可求得此时△PAC的周长． 【解答】解：

（1）∵A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4，

∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD， ∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD， ∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°， ∴∠CEB＝90°，

∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE， 在Rt△ABE和Rt△DCE中 {

𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑥𝑥∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；

（2）由（1）可知D（4，0），且B（0，4）， ∴直线BD解析式为y＝﹣x+4，

当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴， ∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离， ∴M点的纵坐标为2，

在y＝﹣x+4中，令y＝2可得x＝2， ∴M（2，2）；

当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为﹣2， 在y＝﹣x+4中，令y＝﹣2可求得x＝6， ∴M点的坐标为（6，﹣2）；

综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）； （3）由（1）可知AE＝DE， ∴A、D关于直线EF对称， 连接CD交EF于点P，则PA＝PD， ∴PA+PC＝PD+PC＝CD，

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∴满足△PAC的周长最小， ∵C（0，2），D（4，0）， ∴可设直线CD解析式为y＝kx+2， ∴4k+2＝0，解得k=−2， ∴直线CD解析式为y=−2x+2， ∵A（﹣2，0），D（4，0），

∴F（1，0），即直线EF解析式为x＝1， 在y=−2x+2中，令x＝1可得y=2， ∴P（1，），

在Rt△AOC中，由勾股定理可求得AC＝2√2，

在Rt△COD中，由勾股定理可求得CD=√22+42=2√5， ∴PA+PC+AC＝CD+AC＝2√5+2√2， 即△PAC的周长最小值为2√5+2√2．

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