一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合𝐴={𝑥∈𝑍|−2⩽𝑥<3},𝐵={0,2,4}，则𝐴∩𝐵=( )
A. {0,2,4}
𝑖
B. {0,2} C. {0,1,2} D. 𝜙
2. 复数𝑧=1+𝑖(i为虚数单位)的模长是( )
A. 2
1
2 B. √2
C. 1 D. 2
⃗ =(−1,2)，满足𝑎⃗ ，则实数𝑘=( ) ⃗ =(2,𝑘)，𝑏3. 若向量𝑎⃗ ⊥𝑏
A. −1
2
B. 1
𝜋
1
C. 4
𝜋
D. 0
4. 已知tan(𝛼+𝛽)=5,tan(𝛽+4)=4，则tan(𝑎−4)的值为( )
A. 6
1
B. 13
22
C. 22
3
D. 18
13
5. 如图中的程序框图运行结果M为( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 1
6. 双曲线C：
2
A. √2
𝑥24
31
−
𝑦22
=1的离心率为( )
6 B. √2
2 C. √4
1
6 D. √4
7. 在公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}中，4𝑎3+𝑎11−3𝑎5=10，则5𝑎4=( )
A. −1
1
B. 0 C. 1 D. 2
(2)𝑥−1,−1≤𝑥≤0
8. 函数𝑓(𝑥)={，若方程𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎恰有两个不相等的实数根，则实数a的
2
𝑥,0<𝑥≤2
取值范围是( )
A. [−1,4)
1
B. [−1,4]
1
C. [−4,2]
1
D. (−4,2]
1
9. 某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是( )
A. 3 B. 3 C. 4
5 D. 2√3
4
2
10. 将函数
𝜔的最小值为( )
的图象向右平移6个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则
𝜋
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
11. 将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A. 30°
1
B. 45° C. 60° D. 90°
12. 设𝑓(𝑥)=3𝑥3+𝑎𝑥2+5𝑥+6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为( )
A. C.
B.
D. [−√5,√5]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知𝑛≥3，若对任意的x，都有(𝑥+2)𝑛=𝑎0(𝑥−1)𝑛+𝑎1(𝑥−1)𝑛−1+135⋅(𝑥−1)𝑛−2+⋯+
𝑎𝑛，则𝑛=______．
14. 已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎2=2，𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=0，那么数列{𝑎𝑛}的前6项和是______．
𝑥≥2
15. 已知满足{𝑥+𝑦≤4，若目标函数𝑧=3𝑥+𝑦的最大值为10，则z的最小值为______．
2𝑥−𝑦−𝑚≤0 16. 已知P是抛物线𝑦2=4𝑥上任意一点，Q是圆(𝑥−4)2+𝑦2=1上任意一点，则|𝑃𝑄|的最小值为
______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐．
(1)若𝑏cos𝐴=𝑐，求B； (2)若𝑏sin𝐴=𝑐，求
𝑎2+𝑏2+𝑐2
𝑎𝑏
的最大值．
D，E分别是BC和𝐶𝐶1的中点，18. 如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，
已知𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐴1=4，∠𝐵𝐴𝐶=90°． (Ⅰ) 求证：𝐵1𝐷⊥平面AED； (Ⅱ) 求二面角𝐵1−𝐴𝐸−𝐷的余弦值．
19. 随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄
层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表： 年龄(岁) 频数 手机支付 [15,25) 5 4 [25,35) 10 6 [35,45) 15 10 [45,55) 10 6 [55,65) 5 2 [65,75) 5 0 (1)若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明能否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联？
手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计 2
𝑛×(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
,𝑛(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)
=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)
(附)参考公式：(𝑘=
临界值表： 𝑃(𝐾2≥𝑘) k
20. (1)已知椭圆C：2+
𝑎𝑥2
𝑦2𝑏20.15 2.072 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828 =1(𝑎>𝑏>0)的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的
1
圆与直线√7𝑥−√5𝑦+12=0相切．求椭圆C的方程；
(2)已知⊙𝐴1：(𝑥+2)2+𝑦2=12和点𝐴2(2,0)，求过点𝐴2且与⊙𝐴1相切的动圆圆心P的轨迹方程．
21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+5，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦=3𝑥+1．
(1)求a，b的值；
(2)求𝑦=𝑓(𝑥)在[−3,1]上的最大值．
𝑥=sin𝛼 ,
(𝛼为参数)，直线l过点𝑃(0,1)． 22. 已知曲线C的参数方程为{
𝑦=2cos𝛼
(1)求曲线C的标准方程；
(2)若直线l与椭圆交于A、B两点，求|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|的取值范围．
23. 已知定义在R上的奇函数𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3(𝑥>0)．
(Ⅰ) 若函数𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−𝑎有4个零点，求实数a的取值范围； (Ⅱ) 求|𝑓(𝑥+1)|≤4的解集．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
本题考查集合的交集运算，属于基础题 解：集合𝐴={−2,−1,0,1,2}，𝐵={0,2,4}， 所以𝐴∩𝐵={0,2}． 故选B．
2.答案：B
解析：
本题考查复数的模的求法，及复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题． 解：𝑧=1+𝑖=(1+𝑖)(1−𝑖)=
2𝑖
𝑖(1−𝑖)
𝑖+12
=2+2𝑖，
211
复数模长：|𝑧|=√(1)+(1)=√2，
222故选B．
3.答案：B
⃗ =(2,𝑘)，⃗ 解析：解：∵向量𝑎𝑏=(−1,2)，满足𝑎⃗ ⊥⃗ 𝑏， ∴𝑎⃗ ⋅⃗ 𝑏=−2+2𝑘=0， 解得实数𝑘=1． 故选：B．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4.答案：C
解析：
本题考查了正切的差角公式，属于基础题． 利用tan(𝛼−4)=tan[(𝛼+𝛽)−(𝛽+4)]即可求解． 解：由题意可知，tan(𝛼−4)=tan[(𝛼+𝛽)−(𝛽+4)]=故选C．
𝜋
𝜋
21−54211+×54𝜋𝜋
=
3
22
，
5.答案：C
解析：解：执行程序框图，有 𝑥=1 𝑦=2 𝑀= 2故选：C．
执行程序框图，依次写出得到的x，y，M的值即可． 本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．
3
6.答案：B
解析：解：双曲线C：
6𝑥24
−
𝑦22
=1，可得𝑎=2，𝑏=√2，则𝑐=√6．
双曲线的离心率为：√．
2
故选：B．
利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
7.答案：C
解析：
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式即可得出．
解：设公差为𝑑≠0的等差数列{𝑎𝑛}， ∵4𝑎3+𝑎11−3𝑎5=10，
∴2𝑎1+6𝑑=10，即𝑎1+3𝑑=5=𝑎4， 则5𝑎4=1． 故选：C．
1
8.答案：D
解析：解：方程𝑓(𝑥)=𝑥+𝑎恰有两个不相等的实数根 等价于函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑥+𝑎图象恰有两个不同的交点，
由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意， ∵𝑎为直线的截距，由图易得上面直线的截距为2， 𝑦=𝑎+𝑎1由{可得𝑥2−𝑥−𝑎=0，由△=0可得𝑎=−4 2
𝑦=𝑥∴𝑎的取值范围为：𝑎∈(−4,2] 故选：D
问题等价于函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=𝑥+𝑎图象恰有两个不同的交点，数形结合可得． 本题考查函数的零点，转化和数形结合是解决问题的关键，属基础题．
1
9.答案：B
解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷，如图所示；
则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2， 所以该四棱锥的体积是𝑉=3×2×2=3． 故选：B．
根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，
1
4
结合图中数据求出该几何体的体积．
本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．
10.答案：C
解析：
本题主要考查函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题． 由题意利用函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得𝜔的最小值．
解：∵将函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+3)(𝜔>0)的图象向右平移6个单位长度， 得到𝑦=sin(𝜔𝑥−∴−
𝜔𝜋6
𝜋
𝜔𝜋6𝜋
𝜋
𝜋
+3)的图象关于y轴对称，
𝜋
+=𝑘𝜋+，𝑘∈𝑍，𝜔=−6𝑘−1， 32
因为𝜔>0，所以当𝑘=−1时，𝜔的最小值为5， 故选：C．
11.答案：B
解析：解：如图，当平面𝐵𝐴𝐶⊥平面DAC时，取AC的中点E，则𝐵𝐸⊥平面DAC，
故直线BD和平面ABC所成的角为∠𝐷𝐵𝐸， cos∠𝐷𝐵𝐸=𝐵𝐷=
𝐵𝐸
√2
， 2
∴∠𝐷𝐵𝐸=45°． 故选：B．
当平面𝐵𝐴𝐶⊥平面DAC时，取AC的中点E，则𝐵𝐸⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠𝐷𝐵𝐸，由此能求出结果．
本题考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
12.答案：C
解析：
本题考查利用导数研究函数的单调性，分离参数的应用，构造函数求最值，考查恒成立方法的应用，属于中档题．
由题意得𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥+5≥0或𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥+5≤0恒成立，分离参数得𝑎≥
−𝑥2−52𝑥
−𝑥2−52𝑥
或𝑎≤
在𝑥∈[1,3]时恒成立，利用导数求𝑦=
1
−𝑥2−52𝑥
的最值即可．
解：𝑓(𝑥)=3𝑥3+𝑎𝑥2+5𝑥+6在区间[1,3]上为单调函数，又𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥+5， 若函数𝑓(𝑥)在[1,3]单调递增，则有𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥+5≥0恒成立， 故𝑎≥
−𝑥2−52𝑥
在𝑥∈[1,3]时恒成立， ，则𝑔′(𝑥)=
−𝑥2+52𝑥2
令𝑔(𝑥)=
−𝑥2−52𝑥
，令𝑔′(𝑥)=0，得𝑥=±√5，
所以𝑔(𝑥)在[1,√5)单调递增，在(√5,3]单调递减， 又𝑔(1)=−3，𝑔(√5)=−√5，𝑔(3)=−3，
所以𝑔(𝑥)在[1,3]上的最大值为𝑔(√5)=−√5，最小值为𝑔(1)=−3， 所以𝑎≥(
−𝑥2−52𝑥
7
)max=−√5；
若函数𝑓(𝑥)在[1,3]单调递减，则有𝑓′(𝑥)=𝑥2+2𝑎𝑥+5≤0恒成立， 故𝑎≤
−𝑥2−52𝑥
在𝑥∈[1,3]时恒成立，所以𝑎≤(
−𝑥2−52𝑥
)𝑚𝑖𝑛=−3． ．
综上所述，a的取值范围为故选C．
13.答案：6
解析：
根据题意，分析有(𝑥+2)𝑛=[(𝑥−1)+3]𝑛，由二项式定理求出其展开式，结合题意分析可得
22𝐶𝑛×32=135，即𝐶𝑛=15，解可得n的值，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是(𝑥+2)
的变形，属于基础题．
解：根据题意，(𝑥+2)𝑛=[(𝑥−1)+3]𝑛，
𝑟
(𝑥−1)𝑛−𝑟×3𝑟， 其展开式为：𝑇𝑟+1=𝐶𝑛
又由(𝑥+2)𝑛=𝑎0(𝑥−1)𝑛+𝑎1(𝑥−1)𝑛−1+135⋅(𝑥−1)𝑛−2+⋯+𝑎𝑛，
22
则有𝐶𝑛×32=135，即𝐶𝑛=15，
解可得：𝑛=6．
故答案为6．
14.答案：63
解析：解：∵𝑎2=2，𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛=0， ∴𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛，∴2𝑎1=2，解得𝑎1=1． ∴数列{𝑎𝑛}是等比数列，首项为1，公比为2， ∴𝑆6=
26−12−1
=63．
故答案为：63．
利用等比数列的前n项和公式即可得出．
本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.答案：5
解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由𝑧=3𝑥+𝑦得𝑦=−3𝑥+𝑧
平移直线𝑦=−3𝑥+𝑧，则由图象可知当直线𝑦=−3𝑥+𝑧经过点C时，直线𝑦=−3𝑥+𝑧的截距最大，此时z最大，为3𝑥+𝑦=10
3𝑥+𝑦=10𝑥=3由{，解得{，即𝐶(3,1)，
𝑦=1𝑥+𝑦=4此时C在2𝑥−𝑦−𝑚=0上， 则𝑚=5．
当直线𝑦=−3𝑥+𝑧经过点A时，直线𝑦=−3𝑥+𝑧的截距最小，此时z最小， 𝑥=2𝑥=2
由{，得{，即𝐴(2,−1)， 2𝑥−𝑦−5=0𝑦=−1此时𝑧=3×2−1=5， 故答案为：5．
作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到m的值．然后即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
16.答案：2√3−1
解析：
本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，距离的最小值的求法，是中档题．
设点P的坐标为(4𝑚2,𝑚)，圆(𝑥−4)2+𝑦2=1的圆心坐标𝐴(4,0)，求出|𝑃𝐴|的最小值，即可得到|𝑃𝑄|的最小值．
解：设点P的坐标为(4𝑚2,𝑚)，圆(𝑥−4)2+𝑦2=1的圆心坐标𝐴(4,0)， ∴|𝑃𝐴|2=(4𝑚2−4)2+𝑚2=16(𝑚2−8)2+12≥12， ∴|𝑃𝐴|≥2√3，
∵𝑄是圆(𝑥−4)2+𝑦2=1上任意一点， ∴|𝑃𝑄|的最小值为2√3−1， 故答案为：2√3−1．
1
1
11
17.答案：解：(1)因为𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑐，
由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵， 所以𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=0， 因为0<𝐴<𝜋，𝑠𝑖𝑛𝐴≠0， 所以𝑐𝑜𝑠𝐵=0，𝐵=2，
(2)因为𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐，由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐶， 由余弦定理得
，
𝑎当𝐶=4时，
𝜋
2+𝑏2+𝑐2
𝜋
𝑎𝑏
可取最大值2√2．
解析：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，难度一般， (1)正弦定理结合已知条件和角的取值范围可得答案； (2)直接应用正弦定理余弦定理结合𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑐可得答案．
18.答案：解：(Ⅰ)依题意，建立如图所示的空间直角坐标系𝐴−
𝑥𝑦𝑧，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐴1=4，
∴𝐴(0,0，0)，𝐵(4,0，0)，𝐸(0,4，2)，𝐷(2,2，0)，𝐵1(4,0，4)，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐵1𝐷=(−2,2，−4)，𝐴𝐷=(2,2，0)，𝐴𝐸=(0,4，2)， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵⃗𝐵1𝐷⋅𝐴𝐷=−4+4+0=0， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐵1𝐷⊥𝐴𝐷，即𝐵1𝐷⊥𝐴𝐷， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵⃗𝐵1𝐷⋅𝐴𝐸=0+8−8=0， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴⃗𝐵1𝐷⊥𝐴𝐸，即𝐵1𝐷⊥𝐴𝐸，
又AD，𝐴𝐸⊂平面AED，且𝐴𝐷∩𝐴𝐸=𝐴， 则𝐵1𝐷⊥平面AED；
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (Ⅱ)由(Ⅰ)知⃗𝐵1𝐷=(−2,2，−4)，为平面AED的一个法向量， ⃗ =(𝑥,y，𝑧)， 设平面𝐵1𝐴𝐸的法向量为𝑛
∵⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=(0,4，2)，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵1=(4,0，4)， ∴{
4𝑦+2𝑧=0𝑛⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸=0
，得{，
4𝑥+4𝑧=0⃗ ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑛𝐴𝐵1=0
⃗ =(2,1，−2)， 令𝑦=1，得𝑥=2，𝑧=−2，即𝑛
⃗⃗ ⋅𝐵1𝐷𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴cos(𝑛⃗ ,⃗𝐵=1𝐷)=|𝑛⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |⋅|𝐵𝐷|
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
6√9×√=24√6， 6
6∴二面角二面角𝐵1−𝐴𝐸−𝐷的余弦值为√．
6
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 解析：(Ⅰ)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别计算⃗𝐵1𝐷⋅𝐴𝐷=0，𝐵1𝐷⋅𝐴𝐸=0，利用直线与平面垂直的判定定理可证𝐵1𝐷⊥平面AED；
(Ⅱ)由(Ⅰ)分别求出平面AED和平面𝐵1𝐴𝐸一个法向量；利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角𝐵1−𝐴𝐸−𝐷的余弦值．
此题考查了二面角及求法，直线与平面垂直的判定，锻炼了学生空间想象能力和逻辑推理能力，熟练掌握二面角的求法及直线与平面垂直的判定方法是解本题的关键．
19.答案：解：(1)年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，
则抽取的2人中使用手机支付的人数X可能取值为0，1，2．
2
𝐶33
∴𝑝(𝑋=0)=2=;
𝐶51011𝐶3𝐶23
𝑃(𝑋=1)=2=;
5𝐶5
𝐶2
5
𝑃(𝑋=2)=𝐶22=10．
1
∴𝑋的分布列为： X 0 1 2 p 331 10510∴𝐸(𝑋)=0×
(2)2×2列联表如图所示，
3314+1×+2×=; 105105 手机支付 未使用手机支付 总计 10 12 22 800
中青年 20 中老年 8 总计 28 30 20 50 ∵𝐾2=
50×(20×12−8×10)20×30×28×22
=231≈3.463<3.841，
∴没有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联．
解析：本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望及独立性检验．
(1)由随机变量的X的所有可能取值为0，1，2，求得对应的概率，得到分布列，求得数学期望； (2)由列联表，代入公式，𝐾2=
50×(20×12−8×10)20×30×28×22
=231≈3.463<3.841，得到结果．
800
𝑐
20.答案：解：(1)由题意得{𝑥216
𝑦2
𝑎
=
1212
√7+52
=𝑏
，解得𝑎=4，𝑏=2√3，𝑐=2
𝑎=𝑏2+𝑐2
故椭圆C的𝐴1方程为
+12=1.
(2)⊙𝐴1：(𝑥+2)2+𝑦2=12和点𝐴2(2,0)，过点𝐴2且与⊙𝐴1相切的动圆圆心P
满足：||𝑃𝐴1|−|𝑃𝐴2||=2√3<|𝐴1𝐴2|
故P点的轨迹为以𝐴1，𝐴2为焦点的双曲线
2𝑎=2√3,𝑐=2,解得𝑎=√3,𝑏=1
圆心P的轨迹方程为：
𝑥23
−𝑦2=1
解析：(1)利用椭圆的离心率以及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7𝑥−√5𝑦+12=0相切，列出方程组求解a，b，即可得到椭圆方程．
(2)判断P点的轨迹为以𝐴1，𝐴2为焦点的双曲线，求出a，b，即可得到双曲线方程．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．
21.答案：解：(1)由𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+5得，𝑓′(𝑥)=3𝑥2+2𝑎𝑥+𝑏，
∴𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(1,𝑓(1))处的切线方程为： 𝑦−𝑓(1)=𝑓′(1)(𝑥−1)，
即𝑦−(𝑎+𝑏+6)=(3+2𝑎+𝑏)(𝑥−1)， 整理得𝑦=(3+2𝑎+𝑏)𝑥+3−𝑎．
又∵𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑃(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦=3𝑥+1， ∴{
3+2𝑎+𝑏=3
3−𝑎=1
，解得{𝑎=2𝑏=−4，
∴𝑎=2，𝑏=−4．
(2)由(1)知𝑓(𝑥)=𝑥3+2𝑥2−4𝑥+5， 𝑓′(𝑥)=3𝑥2+4𝑥−4=(3𝑥−2)(𝑥+2)， 令𝑓′(𝑥)=0，得𝑥=2
3或𝑥=−2． 当x变化时，𝑓(𝑥)，𝑓′(𝑥)的变化如下表： x −3 (−3,−2) −2 (−2,223) (233,1) 1 𝑓′(𝑥) + 0 − 0 + 𝑓(𝑥) 8 增 极大值 减 极小值 增 4 ∴𝑓(𝑥)的极大值为𝑓(−2)=13，极小值为𝑓(2
95
3)=27， 又∵𝑓(−3)=8，𝑓(1)=4， ∴𝑓(𝑥)在[−3,1]上的最大值为13．
解析：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题． (1)先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a和b的值；
(2)由(1)求出𝑓′(𝑥)，再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．
22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程为
根据
得曲线C的标准方程为𝑥2+
𝑦24
为参数)， =1；
(2)设直线l的参数方程为
，
则又因为
，
3
代入椭圆方程得：
，
∴|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|的取值范围为[4,3]．
解析：本题考查椭圆的参数方程，直线的参数方程的几何意义，基础题． (1)根据
(2)设直线l的参数方程为数的值域求解即可．
消去参数𝛼，直接得到曲线C的标准方程；
代入椭圆方程利用韦达定理求解，根据三角函
23.答案：(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)因为𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，且𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−3(𝑥>0)， 𝑥2−2𝑥−3,(𝑥>0)
.…(2分) 则𝑓(𝑥)={0,(𝑥=0)
−𝑥2−2𝑥+3,(𝑥<0)
从而可得函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=|𝑓(𝑥)|的图象分别如下图所示．…(4分)
因为函数𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−𝑎有4个零点，
则题设可等价转化为函数𝑦=|𝑓(𝑥)|与函数𝑦=𝑎的图象有4个交点．…(5分) 由右上图可知，𝑎=4或0<𝑎≤3，…(6分)
即：当𝑎=4或0<𝑎≤3时，函数𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−𝑎有4个零点．…(7分) (Ⅱ)令𝑓(𝑥)=4得，𝑥=2√2+1或−1，…(8分)
因为𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，当𝑓(𝑥)=−4时，解得𝑥=−2√2−1或1…(9分) 结合左上图可知，|𝑓(𝑥+1)|≤4⇔−2√2−1≤𝑥+1≤2√2+1，…(10分) 即：−2√2−2≤𝑥≤2√2.…(11分)
所以所求解集为[−2√2−2,2√2]. …(12分)
解析：(Ⅰ)利用𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=|𝑓(𝑥)|的图象，利用函数𝑔(𝑥)=|𝑓(𝑥)|−𝑎有4个零点，转化为函数𝑦=|𝑓(𝑥)|与函数𝑦=𝑎的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．
(Ⅱ)令𝑓(𝑥)=4得，利用函数𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可． 𝑥=2√2+1或−1，本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．
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