高中数学反函数的性质及应用 专题辅导

高中数学反函数的性质及应用

李伟

函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。为了帮助同学们更好地掌握反函数相关的内容，对反函数的性质作如下归纳。

性质1 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域

在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。

2xx0,y21. 函数xx0的反函数是（ ）。

例

A.

xx0,y2xx0 B.

2xx0,yxx0

C.

xx0,y2xx0 D.

2xx0,yxx0

解析：这是一个分段函数，对分段函数求反函数要注意分段求解。由函数解析式可知当x0时，y0；x0时y0。由性质1，可知原函数的反函数在x0时，y0，则根式前面要有负号，故可排除A、B两项，再比较C、D，易得答案为C。

11例2. 若函数fx为函数fx1gx1的反函数，则fx的值域为__________。

1x解析：常规方法是先求出fx的反函数fx101，再求得f1x的值域为1,。

11如利用性质1，fx的值域即fx的定义域，可得fx的值域为1,。

11性质2 若yfx是函数yfx的反函数，则有fabfba。

1x的图象关于直线yx对称；从yfyfx从整个函数图象来考虑，是指与其反函数

图象上的点来说，是指若原函数过点a,b，则其反函数必过点b,a。反函数中的这条性质，别看貌不惊人，在解题中却有着广泛的应用。

1x的图象与y轴交于点yfyfx3. 函数的反函数

例P（0，2），如下图所示，则方

程fx0在[1，4]上的根是x（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

1x的图象与y轴交于点P（0，yfyx解析：利用互为反函数的图象关于直线对称，

2），可得原函数yfx的图象与x轴交于点（2，0），即f20，所以fx0的根为x2，应选C。

1例4. 设函数fx的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数fx，f4=0，则

f14=_________。

解析：由f4=0，可知函数fx的图象过点（4，0），而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（2，4）。由题意知点（2，4）也在函数fx的图象上，即有f24，根据性质

1f2，可得42。

性质3 单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。

在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。如函数单调函数。

2例5 函数fx=x2ax3在区间1,2上存在反函数的充要条件是（ ）

y1x有反函数，但其在定义域上不是

A. a,1

B. a2,

D. a1,2

C. a,12,

2fxx2ax3不是定义域内的单调函数，解析：因为二次函数但在其定义域的子区间

,a或a,上是单调函数，而已知函数fx在区间[1,2]上存在反函数，所以[1,2],a或者[1,2]a,，即a1或a2，应选C。

6. 已知yfx是定义在R

1x，试证明fxx。 fxf上的单调递增函数，且有

例

证明：（反证法）假设存在x0，使得fx0x0。 ∵yfx是定义在R上的单调递增函数，

1x也是Ryf3知，

∴由性质上的单调递增函数。

111x0fx0，矛盾。同理，当fx0x0时，也ffxfxxffxx00000若，则，即

可推出矛盾，故假设不成立，则fxx。

111xayfxyfxayfyfxayfx4 若是的反函数，则的反函数为，

性质

的反函数为yfxa。

111证明：假设yfx的反函数为yfx，若yfxa，则fyffxaxa，即

xf1ya，得yf1xa。

也就是说原函数向左平移a个单位，则反函数向下平移a个单位，其他情况可同理证明。

例7. 设的值。

fx2x31x1，函数ygx的图象与yfx1的图象关于直线yx对称，求g31x1的图象关于直线yx对称。 yfygx解析：∵函数的图象与

1∴ygx与yfx1互为反函数。

根据性质

1x1的反函数为yfx1。 yf4，

∴gxfx1，得

g3f3172。

例

1gfxgxfx18. 设定义域为R的函数、都有反函数，并且函数和x2的图象关

于直线yx对称，若g52007，求f6的值。

11解析：由已知条件可知fx1与gx2互为反函数，根据性质4，ygx2的反函

数为ygx2，可得fx1gx2。

∴f6g522009。