整体换元在数学解题中的应用

整体换元在数学解题中的应用

作者：周淦利

来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2010年第08期

任何一道数学问题,都是由一些基本要素组成,各基本要素之间相互关联、相互制约,形成一个有机的整体.我们在研究数学问题时,目光不能只局限于问题的各个组成部分,而要有意识地放大考察问题的视角,将需要解决的问题中貌似独立但实质上又相互联系的量看作一个整体,研究问题的整体形式、整体结构和整体功能,全面理解题意,在动态分析中寻找解决问题的整体思路和途径,这就是整体思想方法.在具体解题时,为了化繁为简、化难为易,促使问题顺利解决,常常需要把某个式子看作一个整体,看作一个新的变元,用一个字母去替代它,实行变量替换,从而使问题得到解决,这就是换元法.在分析、探索一些数学问题的解题途径时,我们可根据问题的特点,将整体思想方法与换元法结合起来,对问题进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入,从而使问题能够简捷、明快地获得解决,这就是整体换元的思想方法.下面通过一些具体的例子,对整体换元的思想方法在数学解题中的应用略加阐述. 一、整体换元在函数中的应用

例1 已知函数f(x)的值域是[38,49],求函数y=f(x)+1-2f(x)的值域.

解:设1-2f(x)=t,则f(x)=1-t22,∵f(x)∈[38,49],∴t∈[13,12],于是y=f(x)+1-2f(x)=-12t2+t+12,(t∈[13,12]),容易求得y∈[79,78].

评注:本题中将1-2f(x)看成一个整体,设为新变元t,从而将比较复杂的无理函数的值域求法,转化为简单的二次函数值域求法.

例2 已知函数f(x)=x+1x-x+1x+1,(x>0),试求f(x)的最大值.

解:设t=x+1x+x+1x+1,则t≥2+3,(当且仅当x=1时,取“=”).∵t•f(x)=1,且t≥2+3,∴0 评注:此题若直接考虑,会感到无从入手,但是从整体角度出发,引入一个新变元t=x+1x+x+1x+1进行整体配对,则问题轻松得到解决. 二、整体换元在不等式中的应用 例3 解不等式:2x+5>x+1.

解:设t=2x+5,则x=t22-52,于是原不等式可化为t>t22-52+1,整理得t2-2t-3

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评注:引入新变元t后,将无理不等式化为有理不等式,可以避开直接解无理不等式时分类讨论的麻烦.

例4 已知a,b,c∈R,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,f(x)≤1,求证:(1)c≤1,(2)-1≤x≤1时,g(x)≤2.

证明:(1)令x=0,由已知f(x)≤1,可得c≤1.

(2)∵x=(x+1)2-(x-1)24,∴g(x)=ax+b=a[(x+12)2-(x-12)2]+b(x+12-x-12)=[a(x+12)2+b(x+12)+c]-[a(x-12)2+b(x-12)+c]=f(x+12)-f(x-12),∵-1≤x≤1时,有0≤x+12≤1,-1≤x-12≤0,则根据绝对值不等式的性质得f(x+12)-f(x-12)≤f(x+12)+f(x-12)≤2,即g(x)≤2. 评注:本题第(2)小题的解答,运用了整体思想,找出了g(x)与f(x)的关系,避免了分类讨论(常规解法是对a>0,a=0,a

三、整体换元在三角中的应用 例5 已知0 解:令y=(1+∵0

sin

sinx+cosx=t,则x)(1+cosx)=

sinx

cosx=t2-12,于是

sinx+cosx+1=12t2+t+12=12(t+1)

2

sinxcosx+

评注:本题中把sinx+cosx看成一个新变元t,利用整体代换,将函数式化成了关于t的二次函数,使得问题得到解决.事实上sinx+cosx、sinsin

x-cosx、

xcosx三者之间有着内在的必然联系,通过整体换元,可以将它们统一.

220°+

cos

250°+sin

20°

cos50°的值.

例6 求sin 解:设A=sin+sinsin

220°+cos250°+sin20°cos50°,B=cos220°250°+cos20°sin50°,则A+B=2+sin70°,A-B=-12-

70°,从而可得A=34.

评注:本题通过整体观察式子的结构特点,整体地构造了一个对偶式cos解决.

四、整体换元在数列中的应用

例7 等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为

220°+sin

250°+cos20°

sin

50°,使得问题获得了简捷的

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解:∵SSSS

m,Sm)=S

m=a1+…+am,S

2m+1+…+am,S3m-S

2m-Sm+S

3m-S

2m-S

m=a

m+1

+…+a

2m,S2m-m)=3(100-3m-

2m=a3m,又a1,a2,…,a2m,整理得S

3m=3(S

3m成等差数列,则2m-S

2m也成等差数列,∴2(S

30)=210.

评注:很多数列问题,若分开求解往往运算麻烦或解题思路不明,若通过对问题的整体结构进行分析,然后整体换元,常可简化解题过程,减少运算量.下面的几道习题都是这样,请同学们练习.

练习1:等比数列的前n项和为2,前2n项和为12,若n为偶数,再求前3n项和. 答案:62.

练习2:已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a

5.

答案:5.

练习3:等差数列{an}中,S 答案:-110.

练习4:一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项与奇数项和之比为32:27,求公差d的值. 答案:5.

练习5:已知等差数列{an}的公差d=1,且a1+a2+a3+…+aa2+a

4+a6+…+a

98

的值.

98=137,求

10=100,S

100=10,求S

110.

答案:93.

练习6:已知等差数列{an}和{bS

nT

n}的前n项和分别为Sn和Tn,若

n=2n+13n+2,试求a9b9的值.

答案:3553.

五、整体换元在立体几何中的应用

例8 长方体的全面积为11,所有棱长之和为24,求长方体的一条对角线长.

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解:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则有2(ab+bc+ac)=114(a+b+c)=24,将它们整体代入长方体的对角线长公式l=a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)中可得l=5.

评注:本题在解答的过程中运用了整体思想,不必计算出a,b,c的值,就可以把问题轻松解决.

六、整体换元在解析几何中的应用 例9 已知椭圆x2a2+y2bx轴交于点P(x0,0),求证:-a2-b 证明:设A(x1,y1),B(x由b2x2b2(x2-xy1=ay′=a2y′b

1+a2y2

2=1(a>b>0),A、B是椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与2a

2,y2),AB的中点为(x′,y′),则x1+x2=2x′y1+y2=2y′,

2b2x22+a2y2

2=a2b2可得

2-x

1y2-

1=a2b

1)(x2+x1)+a2(y2-y1)(y2+y1)=0,所以有-x2x′(x-x′),令y=0得x

0=a2-b2a2x′,因为-a

2y′b2x′,即AB中垂线的斜率为a2y′b2x′,所以AB中垂线的方程为y-

评注:对于有些解析几何问题,若分开讨论往往运算量大,如果注意到其整体结构特点,设法通过整体换元将问题变形转化,以达到避免一些不必要的运算,降低求解难度.其中“设而不求”是整体思想方法的最大体现.

(作者:周淦利,江苏省泰州市第三高级中学)