中考复习中的“变式”价值

黄俊宁

【期刊名称】《上海中学数学》 【年(卷),期】2014(000)003 【总页数】4页(P43-46) 【作 者】黄俊宁

【作者单位】510631 华南师范大学数学科学学院 【正文语种】中 文

先看一道2012年广州市中考数学题：

某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费；每户每月用水量如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨1.9元收费，超过部分则按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元. (1) 分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x的函数关系式. (2) 若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？ 此题满分为12分，难度值为0.，大大出乎全体阅卷教师和命题人员的意料，其得分分布情况如图1.

得0分和满分的超过25%, 为何会出现这么大的反差？一是学生不能正确得出函数关系，据不完全统计，约40%的学生只写对了一个函数关系；二是学生对这类问题只知道用方程解，但对函数方法还不是很熟悉.这都与复习指导思想与策略有关. 其实这道题目的原型来源于《义务教育教科书·数学》(人教版)(以下简称教材)八年级上册的三个问题：

题1(P127例3)一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分0.1元的价格按照上网时间计费；方式B除收每月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少时，两种方式的计费相等？

题2(P129题8)从A地向B地打长途电话，通话3分钟内收费2.4元，3分钟后每增加通话时间1分钟加收1元，求通话费用y随通话时间x变化的函数关系式.有10元钱时，打一次电话最多可以打多长时间？

题3(P137题6)在某火车站托运物品时，不超过1千克需付2元，以后增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加托运费5角，设托运P千克(P为整数)物品的费用为C元，写出C的计算公式.

显然，例题和两个习题的要求几乎涵盖了试题的考查要求，问题应该出在学生尚未学会解答这类应用题的思维方法.

从上述例子中可以得出一个结论：在中考复习中，教师不仅要让学生做题，更重要的是教师自己要事先加强对考纲、课本和升学指导书中的题目的研究,立足于典型例题、习题或者中考题目进行引申和变式，才能做到一题多解，一题多用，推陈出新，进而提高复习备考的实效.教师应以课本为本，抓住典型例题习题进行变式引申.题目的变式既要考虑到知识覆盖面，又要紧密联系教材重点内容，才能逐步引导学生把问题深化，揭示出解题的思维规律.

笔者以八年级下册第105页“实验与探究”一道习题为例.

例1 如图2，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是另一个正方形A′B′C′O的一个顶点，而且两个正方形的边长相等.那么无论正方形A′B′C′O绕点O怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的. 想一想这是为什么. 这道习题所呈现的图形是初中数学中的基本图形，蕴含着丰富的内容和背景，在中考复习课中对它做进一步的挖掘、引申和探索，对提高学生的数学素养、发展学生能力将起到事半功倍的效果.

对于这类图形题，有以下几种变式和解决方法.

如图3所示的特殊位置，不难发现两个正方形的重叠部分面积是整个正方形面积的，即S四边形OEBF=S正方形ABCD.

当正方形绕点O旋转到如图4所示的位置时，不难猜测：重叠部分面积仍是整个正方形面积的(即S△OAB=S正方形ABCD).

当正方形绕点O旋转到如图5所示的任意位置(即一般情况)时，要计算重叠部分的面积，若直接计算它的值是否为，则有一定难度.一般情形下解法如下.

解法1： 设A′O、C′O分别交AB、BC于点E、F，延长EO、FO分别交CD、AD于点G、H.将四边形OEBF绕中心O逆时针方向旋转90°，到达四边形OFCG的位置.同理，继续绕点O逆时针方向旋转90°，再绕点O旋转90°，顺次到达四边形OGDH、OHAE的位置.

因为这四个小的四边形面积都相等，所以四边形OEBF(即重叠部分)的面积总等于S正方形ABCD.

解法2： 如图6，过O点分别作OG⊥AB于G，OH⊥BC于H.由∠OGE=∠OHF=90°，∠GOE=∠HOF(同角的余角相等)，OG=OH，得Rt△OGE≌Rt△OHF.

故S四边形OEBF=S四边形OGBH=S正方形ABCD.

解法3： 如图7，在正方形ABCD中，由∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，∠AOE=∠BOF(同角的余角相等)得△OAE≌△OBF.因S△OAE +S△OBE=S△OAB，即S△OBF+S△OBE=S△OAB=S正方形ABCD.故S四边形OEBF=S正方形ABCD. 以上的解法经历了由“特殊到一般”的思路和方法，而且一题多解也给学生拓展了问题解决的思路和方法.在数学复习的过程中遇到某些问题时，教师要引导学生善于观察，大胆猜测，然后判断.这对复习过程中分析和解决数学问题的能力的提高无疑是有裨益的.

在原题中，如果弱化或改变题设中的某些条件(如两边相等、直角)，则可得到基本图形的相似变式图形，这类变式图形在命题中的应用广泛且屡见不鲜. 例2 (2008旅顺口区 试题改编)

(1) 操作：如图8，O是边长为4的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转． 求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值1．

(2) 思考：如图9，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为3的正三角形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值3；

如图10，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为2的正五边形的中心O点处，当扇形纸板的圆心角为________时，正五边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值2.(直接填空)

(3) 探究：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为________度时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a；这时正n边形被纸板覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系；若不是定值，请说明理由.

通过对上述题目的操作与研究，不难发现结论：

(1) 两个全等的正n边形叠合，当叠合部分中心角为 时，正n边形的边被覆盖部分的总长度为定值(等于边长)，重叠部分的面积为定值.(总面积的 )

(2) 旋转的图形，只要中心角等于 ，可以不受图形形状的，都有上述结论. 在原题中，如果改变图形中的某些条件(如旋转中心、旋转角等)，则可得到基本图形的位置变式图形，这类位置变式图形在改编命题中并不少见. 例3 (2007台州 试题改编)

把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H(如图11)．

(1) 试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想． (2) 若正方形的边长为2cm，重叠部分(四边形ABHG)的面积为cm2，求旋转的角度．

变式1 (2006济南 试题改编)(条件、图形同例3)

(1) 请在图中以已有字母为端点连结两条线段(正方形对角线除外)，要求所连结的两条线段互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；

(2) 若正方形边长为a ，重叠部分(即四边形ABHG)的面积为 a2，求旋转的角度n. 变式2 (2006济南 试题改编) 已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.

(1) 如图12，连结DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题“在旋转的过程中，线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例说明.

(2) 如图13，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等，并以图13为例说明理由.

在原题中，如果改变图形中的形状(如多边形、圆、抛物线等)，则可得到基本图形的变式图形，图形变式可以保证命题本质与课本知识具有同一性.

例4 (2006河北 试题改编)如图14(1)，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转．

(1) 如图14(2)，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

(2) 若三角尺GEF旋转到如图14(3)所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

本题要探索线段BM，FN的数量关系，由正方形的图形特征，可以猜想BM=FN，进而可以利用中心对称的知识或全等三角形的知识验证.相对例1只是等腰直角三角板的斜边中点与正方形的中心重合，并按规则旋转的操作问题，这两个规则的几何图形组合在一起，有许多隐含的已知条件，求解时一定要对问题进行大胆地猜想、归纳、验证.这种探索型的问题，要引导学生认真阅读题目，以动制静，并进行大胆地猜想、归纳、验证，从而使问题获解，并可以进一步融入函数问题加以深化.如：

变式1 (2006泰州 试题原题)如图15，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N．如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y,则 y与x的关系是( ) A. y=x B. y= C. y=x D. y=x 变式2 (2007临沂 试题改编)

如图16，已知△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转． (1) 在图16中，DE交AB于M，DF交BC于N． ① 证明：DM=DN；

② 在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；

(2) 继续旋转至如图17的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，

DM=DN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3) 继续旋转至如图18的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不用证明．

综观近几年全国各地的中考数学试卷，时有压轴题将基本图形与变式相似图形融为一体，并隐含在一个较复杂的图形中. 这类试题体现了较强的综合性，具有一定的难度，学生解答时经常会顾此失彼造成失分. 此时，学生如果能从较复杂的图形中分离出基本图形或变式相似图形，再结合其他知识，问题往往便会迎刃而解. 例5 (2006锦州 试题改编)如图19，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.

(1) 观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并说明你的猜想； (2) 若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.

本题相对例1，旋转保持不变，但是旋转中心的对象已经不同.由于△ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，且CA=CB，要想确定AF与BD之间有怎样的关系，可以利用旋转的知识即可知道△ACF与△BCD是全等的图形，所以即可得到第(1)小问的结论是AF=BD且AF⊥BD；如图20、21，对于第(2)小问就可以仿照第(1)小问的方法求解.

变式 (2007资阳 试题改编) 如图22，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F． (1) 求证：BP=DP；

(2) 如图23，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．

由上述4种基于例1的变式可以看出，立足于考试原题，改编来自课本例题或习题能够满足学生课内外的训练和思考.不仅得到的结论会更加丰富多彩，而且解决问题的方法也是多样的.这样组织的复习内容能突出其与其他的数学知识和方法间的联系，这样的选题和变式、引申更能够体现数学问题本质、强化数学思想方法的渗透.

初三总复习阶段的教学，对具有可变性的例、习题，要多引导学生进行变式训练，使学生从多方面感知数学的思想方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，使之触类旁通，让零散的知识点转化成内化的知识结构和学生内生的智慧.