高三数学高考必背公式精选

一、集合

1、集合与元素之间关系：,，集合与集合之间关系：，.

2、集合

{a1,a2,L,an}的子集个数共有2个；真子集有2–1个；非空子集有2–1个；非空的真子集有

nnn2n–2个.

二、二次函数y = ax2 +bx + c的性质

2b4acb24acbb,x22a4ab4ac2a 最大（小）值：4a 1、顶点坐标公式： 对称轴：

2、若一元二次方程axbxc0a0中，两根为x1，x2.则

2x1x2bcx1x2a，a.

三、指数与指数函数

1、幂的运算法则： （1）aaanmnmn （2）aaamnmna （3）

mnamnab （4）

nanbn

ana1nannnm0mbba （8）aan （5）  （6）a1 (a≠0) （7）

2、指数函数y = a x (a > 0且a≠1)的性质：

（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）

ya> 11y0 < a< 1x10x0 四、对数与对数函数

1、对数的运算法则：

1 / 14

（1）a b = N b = log a N （2）log a 1 = 0 （3）log a a = 1 （4）alogaNN

M（5）log a (MN) = log a M + log a N （6）log a (N) = log a M — log a N

logbN1mloganblogablogbalogNan（7） （8）换底公式：log a N = （9）log a N =

m2、对数函数y = loga x (a > 0且a≠1)的性质：

（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）

ya>1x10y0 < a< 11x0 yx五、幂函数：一般地，函数叫做幂函数.其中x为自变量，为常数.

a,b【零点存在性原理】如果函数yf(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

a,b内有零点，即存在ca,b，使得f(c)0，这个c也就

，那么，函数yf(x)在区间

是方程f(x)0的根.

f(a)f(b)0六、常见函数的导数公式:

n'n1''x'x'(x)nx(sinx)cosx(cosx)sinx(a)alna；C01． ①；②；③；④；⑤

x'x(e)e⑥；

2311'(x2)x(logax)(lnx)xex(e)3xlnax⑦；⑧ ；⑨；⑩；

'uuvuv(uv)uv;(uv)uvuv;();2vv2．导数的四则运算法则： 3．复合函数的导数：yxyuux;

七、几何体的表面积体积计算公式 1、圆柱: 表面积:2πR+2πRh 体积:πR²h

2 / 14

22、圆锥: 表面积:πR²+πRl 体积: πR²h/3 (l为母线长)

43、球：S球面 = 4πR2 V球 = 3πR3 （其中R为球的半径）

4、球的组合体

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

66aaa124 (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.

八、 线面平行判定定理 线面垂直判定定理

al

b aba//a//bb

Aalalbab abAl

rr|ab|rrrrrrcos|cosa,b||ab的方向向量） 1、异面直线所成角：=||b|（a,b分别表示异面直线a,uuururuuururABmrurursincosAB,muuu|AB||m|(m为平面的法向量). 2、直线AB与平面所成角：

urrmnurrrrcoscosm,nuurrl|m||n|m3、二面角的平面角：（，n为平面，的法向量）.

4、空间两点间的距离公式 ：若A

(x1,y1,z1)，B

(x2,y2,z2)，则

uuuruuuruuurdA,B|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 =. rrr2|ab|2h|b|(r)rurruuruuu|a|PQ).

5、点Q到直线l距离：(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量b=

6、异面直线间的距离：

uuuruur|CDn|rdr|n|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).

3 / 14

7、点B到平面的距离：

uuuruur|ABn|rdr|n|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.

九、解析几何

y2y1rva,b1、斜率的计算公式：k = tanα= x2x1（α ≠ 90°，x 1≠x 2）直线的方向向量，则直线的斜率为

b(a0)k=a.

xy1ab2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b ；（2）点斜式 y – y 0 = k ( x – x 0 ) ；（3）截距式 3、两条直线的位置关系：

l1：y = k1x + b1

l2：y = k 2 x + b2

重合

k1= k 2且b1= b2

l2： A2 x + B2 y + C2 = 0

A1BC11A2B2C2l1： A1 x + B1 y + C1 = 0

平行 垂直

k1= k 2且b1≠ b2 k1 k 2 = – 1

A1B1C1A2B2C2

A1 A2 + B1 B2 = 0

4、两点间距离公式：设P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =dx1x22y1y22Ax0By0CA2B2C1C2A2B2 5、点P ( x 0 , y 0 )到直线l ：AxByC0的距离：

d 6、两条平行线l1： A x + B y + C1 = 0 ，l2： A x + B y + C2 = 0的距离：

函数的最优解. 8、圆的方程

222(xa)(yb)r⑴圆的标准方程 . 圆心：（a，b），半径：r

7、求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）画图，确定目标

DE,2222xyDxEyF02 半径：⑵圆的一般方程 (DE4F＞0). 圆心：24 / 14

1D2E24F2

xarcos(为参数)ybrsin⑶圆的参数方程 .

⑷圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)). ⑸圆系方程：

22xyDxEyF0的交点的圆系方程是 AxByC0Cl①过直线:与圆:

x2y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

②过圆

C1x2y2D1xE1yF10:

与圆

C2x2y2D2xE2yF20:

的交点的圆系方程是

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)09、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d)

,λ是待定的系数．

222(xa)(yb)rAxByC0直线与圆的位置关系有三种:

dr相离0; dr相切0; dr相交0. 10、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，

O1O2d

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线dr1r2内切1条公切线; .

;

0dr1r2内含无公切线11、弦长公式：12、椭圆：xacosybsin

AB2r2d2（r为圆的半径，d为圆心到直线的距离）

22xy，abc，标准方程：221(ab>0)，参数方程：

ab222PF1PF22a2c5 / 14

13、双曲线：y=±x

PF1PF22a2c22xy，cab，标准方程：221(a>0,b>0)，渐近线方程：

ab222bapp(,0)x2，焦半径：rxp14、抛物线：y2px，焦点：2，准线：

22

过焦点弦长

CDx1ppx2x1x2p22.

2y(,y)222yo2pxo(xo,yo)y2pxP(2pt,2pt)或2p抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .

十、统计

1、用样本的数字特征估计总体的数字特征

（1）、众数:在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.

（2）、中位数:将一组数据按从小到大依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平

均数）叫做这组数据的中位数．

x（3）、平均数：

2x1x2xnn

(x1x)2(x2x)2L(xnx)2sn（4）、方差 方差反映稳定性，越小越稳定

2、由频率分布直方图中估计众数，中位数，平均数

众数：众数通常是频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标. 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等. 平均数：每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和.

【注意】频率分布直方图中每一个小矩形的面积（=组距×高）是频率，所有面积之和为1.

xi1nnixyiyxyii1n2ninxyˆxˆyb ，a，回归直线

3、回归直线方程：必过点(x,y).

ˆxaˆˆbˆy，其中b2xxii1=

2xnxii16 / 14

R214、相关指数R：关性越强.

2yi1ni1niˆiy22yyi来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率.

R2的值越接近于1，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好，即解释变量和预报变量的线相

n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)，计算其观测值k，查表得出结论. 5、22列联表中，

2十一、复数

1.复数的四则运算法则：

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)2.复平面上的两点间的距离公式 ：

(abi)(cdi)acbdbcadi(cdi0)c2d2c2d2.

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)23．几个重要的结论：

222（

z1x1y1i，

z2x2y2i）.

(1)z1z2z1z22(z11i1ii;i;z2);(2)zzzz(1i)2i1i1i；⑶；⑷

2222⑸i性质：T=4；i4n4n4n1i42i4n30; 1,i4n1i,i4n21,i4n3i；ii十二、常用不等式：

22⑴均值定理：a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．求最值得必要条件：一正、二定、三相等.

ababa,bR2⑵(当且仅当a＝b时取“=”号)．

333abc3abc(a0,b0,c0). ⑶

22222(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR. ⑷柯西不等式

⑸

ababab.

(3)大于取两边，小于取中间. 注：一元二次不等式的解法：(1)将二次项系数化为“+”；(2)求两根；7 / 14

十三、三角函数特殊角函数值

角度 0o函数

30o

45o

60o

90o

角α的弧度

0

6

4

3

2 sinα 0 1232 2 2

1

cosα 1

3212 2

2 0 tanα 0 33

1 3

2、三角函数的图象与性质

函数

y＝sin x

y＝cos x

图像

定义域 R R 值 域 [-1,1] [-1,1] 周期性 2π 2π 奇偶性

奇函数

偶函数

增区间[-2+2kπ，2+2kπ]

增区间[-π+2kπ, 2kπ] 单调性

3减区间[2kπ,π+2kπ]

减区间[2+2kπ，2+2kπ]



当x2+2kπ时,ymax1 当x2kπ时,ymax1最值

 当xπ+2kπ时,

ymin1

当x-2+2kπ时,ymin18 / 14

120o

135o

150o

2353 4 6 3212

2 2 -12

-22-3

2 -3 -1 -33

y＝tan x

{x|x∈R，且x≠kπ＋π

2

，k∈Z}

R π 奇函数

增区间(-2+kπ,2+kπ)

无

180o 

0

-1

0

3、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 4、二倍角的三角函数公式

tansincos

sin2α= 2sinαcosα cos2α=2cos2α-1 = 1-2 sin2α= cos2α- sin2α

tan22tan1tan2

5、降幂公式

cos21cos21cos2sin222

6、升幂公式 1±sin2α= (sinα±cosα) 2 1 + cos2α=2 cos2α 1- cos2α= 2 sin2α

7、两角和差的三角函数公式

cos (α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ cos (α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ sin (α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ sin (α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ tantantantantantan1tantan 1tantan

8、两角和差正弦公式的变形（合一变形）

asinbcosabsin22 （其中

tanba）

sincos2sin()4特殊地：

sin3cos2sin()33sincos2sin()6

9、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限.”

T210、函数yAsin(x)中，振幅：A 周期：十四、解三角形

 初相：

abc2R1、正弦定理：sinAsinBsinC （R为ΔABC外接圆半径） a : b : c = sinA : sinB : sinC 2、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 – 2bc•cosA , b 2 = a 2 + c 2 – 2a c•cosB , c 2 = a 2 + b 2 – 2 a b•cosC

b2c2a2a2c2b2a2b2c2cosAcosBcosC2bc2ac2ab , ,

9 / 14

1113、面积公式：S =2ab sinC = 2bc sinA = 2ac sinB

十五、向量的有关概念

1、向量的模计算公式：（1）向量法：|a| =aaa；（2）坐标法：设a=（x，y），则|a| =rrr2x2y2 uruur2、平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且

ruruuraee1122.仅有一对实数1，2，使

3、向量的平行与垂直的条件

a∥b（b≠0） x1 y2 – x2 y1 = 0 a⊥ba·b= 0x1 x2 + y1 y2 = 0

4、向量的加减法：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=（x1 x2 ，y1 y2）

rrx1x2y1y2abrr22x12y12x2y2|a||b|ab5、两个向量的夹角计算公式： cos<, > = =

b= |a| |b| cos= x1 x2 + y1 y2 6、平面向量的数量积计算公式：a·

7、线段的定比分公式：设

uuuruuurPP1PP2，则

P1(x1,y1)，

P2(x2,y2)，P(x,y)是线段

P1P2的分点,是实数，且

x1x2x1uuuruuuuruuuryyOPOP122y1uuuruuuruuuurOP1t1OPtOP11(1t)OP2（1）.

8、三角形五“心”向量形式的充要条件：设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

uuur2uuur2uuur2（1）O为ABC的外心OAOBOC.

10 / 14

uuuruuuruuurr（2）O为ABC的重心OAOBOC0.

uuuruuuruuuruuuruuuruuurOAOBOBOCOCOAOABC（3）为的垂心. uuuruuuruuurraOAbOBcOC0. OABC（4）为的内心

uuuruuuruuuraOAbOBcOCOABC（5）为的A的旁心.

注：三角形重心的性质

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为

G(x1x2x3y1y2y3,)33；

十六、等差数列{an}

1、通项公式：ana1(n1)d，推广：anam(nm)d ( m , n∈N )

2、前n项和公式：

Snn(a1an)n(n1)na1d22

3、等差数列的主要性质

① （等差中项）若a，A，b成等差数列，则有2A=a+b ② 若m + n = p + q，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q∈N )

③求公差d的方法：十七、等比数列{an}

danamnm

n1nmaaqaaqn1nm1、通项公式：，推广： ( m , n∈N )

2、等比数列的前n项和公式：3、等比数列的主要性质

(q1)na1Sna1(1qn)(q1)1q

2① （等比中项）若a，G，b成等比数列，则有Gab，（即Gab）

11 / 14

② 若m + n = p + q，则 a m • a n = a p • a q ( m , n , p , q∈N )

qnmanam③求公比q的方法：4. 常用公式：①1+2+3 …+n =

2

nn1nn12n1 ；②122232n2 ； 261111111nn1() ③132333n3④ ； ⑤2n(n2)2nn2n(n1)nn1；

S1n1anSnSn1n2,nN 十八、一般数列{ a n }的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + … + a n ，则恒有

1、由递推关系式求数列的通项公式：

an1f(n)an⑴形如

，累乘法； ⑵形如an1anf(n)，累加法；

⑶形如an1AanB.（A≠0且A≠1），构造法.

2、数列求和的常用方法:(1)倒序相加法;(2)错位相减法;(3)裂项相消法;(4)分组求和法;(5)并项求和法. 十九、排列、组合和二项式定理：

n！Anmn(n1)(nm1)(nm)！nm1、排列数公式：==.(，∈N*，且mn)．注:规定0!1.

当m=n时为全排列

Ann=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n! (n1)n!(n1)!

Anmn(n1)(nm1)n！mmCnA(nm)！12mm2、组合数公式：===m！(n，m∈N*，且mn)

3、组合数性质：4、二项式定理：

①通项：

CnmCnnm;CnmCnm1Cnm1

0n1n11knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)rnrrTr1Cnab(r0,1,2,...,n);②注意二项式系数与系数的区别 二项式系数之和为

2n

二十、随机变量

1、随机变量的分布列：⑴随机变量分布列的性质：①

Pi0(i1,2,L);②

P1P2L1.

⑵离散型随机变量：

12 / 14

X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn 1x2P2LxnPn 均值（又称期望）：EXx1P222D(X)(xEX)p(xEX)p(xEX)pn ; 1122n方差：

2E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX； 注：

⑶二项分布（独立重复试验）：若X～B(n,p),则E(X)np, D(X)np(1p)注：

kP(Xk)Cnpk(1p)nk .

P(B|A)2、条件概率：称0P(B|A)1

P(AB)n(AB)P(A)n(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.注：

3、独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）. 4、正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x＝对称；

1③曲线在x＝处达到峰值2； ④曲线与x轴之间的面积为1； 二十一、极坐标和直角坐标的互化公式

xcosysin若点M的极坐标为(ρ，θ)，直角坐标为(x，y)，则

ρ2＝x2＋y2， y

tanθ＝，x≠0.x

x＝x0＋tcosα，lP二十二、直线的参数方程：直线过点(x0，y0)，倾斜角为α，则直线的参数方程为：

y＝y0＋tsinα，

(t为参数)，

参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离

uuuuurrM0Mtet

设AB是曲线C截直线l所得弦，且弦端点A,B的参数值分别为t1,t2，M为线段AB中点，参数值为t0，则

13 / 14

⑴

|AB||t2t1|(t2t1)24t1t2t0t1t22

.（弦长公式的参数形式）

⑵⑶

PAPBt1t2

14 / 14