平面向量数量积运算专题

题型一 平面向量数量积的基本运算

例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC→→

上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.

→→

(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA·PB的最小值为( ) A.－4＋2 C.－4＋22

B.－3＋2 D.－3＋22

→→→→→

变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角

22

例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b3的夹角为( )

D.π

π

(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角

3的余弦值等于( ) 1

B.－

26

1D.－

12

→1→→→

变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与

2→

AC的夹角为________.

题型三 利用数量积求向量的模

例3 (1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于( )

(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则→→

|PA＋3PB|的最小值为________.

1

变式训练3 (2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1

2＝b·e2＝1，则|b|＝________.

高考题型精练

→→

1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于( ) 32

A.－a

2

32

B.－a

4

a2 a2

x，x≥y，

2.(2014·浙江)记max{x，y}＝

y，xy，x≥y，

min{x，y}＝

x，x设a，b为平面向

量，则( )

{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} {|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} {|a＋b|，|a－b|}≤|a|＋|b|

2

2

2

2

{|a＋b|，|a－b|}≥|a|＋|b|

2

2

2

2

3.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，→→→

则|PA＋PB＋PC|的最大值为( )

22

4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂→→→

线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)等于( )

1A.－ 23C.－ 2

→→→→→→→→1→

5.在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是( )

2A.(0，C.(5] 2

B.(D.(

57，] 227

，2] 2

5

，2] 2

→→→→

6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB等于( )

7.(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|，则a与b的夹角为( )

→→→→

8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，→→

则AB·AD的值是________.

9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝

3

，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________. 2

2

→→→

10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.

32

11.已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1).当a∥b时，求cosx－sin 2x的值；

4

→5→

12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD＝DB.

11→→(1)求|AB－AC|；

→→→→

(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，令k＝x·y，求k的最小值.

平面向量数量积运算

题型一 平面向量数量积的基本运算

例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC→→

上，BC＝3BE，DC＝λDF.若AE·AF＝1，则λ的值为________.

→→

(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么PA·PB的最小值为( ) A.－4＋2 C.－4＋22

B.－3＋2 D.－3＋22

答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，

→

AE·AF＝(AB＋BE)·(AD＋DF)＝(AB＋BC)·(AD＋DC)＝AB·AD＋AB·DC＋BC·AD＋

3λλ3

1→→

BC·DC 3λ11144210

＝2×2×cos 120°＋×2×2＋×2×2＋×2×2×cos 120°＝－2＋＋－＝

λ33λλ33λ3λ2

－， 3

→→

又∵AE·AF＝1， ∴

102

－＝1，∴λ＝2. 3λ3

→→→→→→

1→

→

1→

→→

1→

→

1→

→

→→

(2)方法一 设|PA|＝|PB|＝x，∠APB＝θ，

θ1

则tan ＝，

2x1－tan

2x2－1

从而cos θ＝＝2.

x＋12θ1＋tan2→→→→

PA·PB＝|PA|·|PB|·cos θ

2

θx2－1x4－x2

＝x·2＝2

x＋1x＋1

2

＝

2

x2＋1

2

－3x＋1＋2

x2＋1

2

＝x＋1＋

2

－3≥22－3， x2＋1

2

当且仅当x＋1＝2，

→→2

即x＝2－1时取等号，故PA·PB的最小值为22－3. 方法二 设∠APB＝θ，0<θ<π， →→则|PA|＝|PB|＝

1tan

2

θ.

→→→→

PA·PB＝|PA||PB|cos θ

12

＝()cos θ

θtan

2cos＝sin

22

θ22

2

θ·(1－2sin

2

θ2

)

1－sin＝

θ2sin

2

1－2sin

2

θ2

.

θ2

令x＝sin

2

θ2

，0x 1

＝2x＋－3≥22－3，

x12

当且仅当2x＝，即x＝时取等号.

x2→→

故PA·PB的最小值为22－3.

方法三 以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy， 则圆O的方程为x＋y＝1，

设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，P(x0,0)，

→→222则PA·PB＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝x1－2x1x0＋x0－y1. →→

由OA⊥PA⇒OA·PA＝(x1，y1)·(x1－x0，y1)＝0 ⇒x1－x1x0＋y1＝0，

2

2

2

2

又x1＋y1＝1， 所以x1x0＝1.

→→222

从而PA·PB＝x1－2x1x0＋x0－y1 ＝x1－2＋x0－(1－x1) ＝2x1＋x0－3≥22－3. →→

故PA·PB的最小值为22－3.

点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的

2

2

2

2

2

22

乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.

(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|＝a，但|a·b|≤|a|·|b|.

→→→→→

变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________. 答案 9

→→→→→→→→→→2→→→2

解析 因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0.所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝OA＋OA·AB＝|OA|＋0＝3＝9.

题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角

22

例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b3的夹角为( )

D.π

2

2

2

π

(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|＝2，|b|＝3，则2a－b与a＋2b的夹角

3的余弦值等于( )

答案 (1)A (2)B

解析 (1)由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a－a·b－2b＝0.又∵|a|＝22

|b|，设〈a，b〉＝θ， 3

即3|a|－|a|·|b|·cos θ－2|b|＝0， 822222∴|b|－|b|·cos θ－2|b|＝0. 33∴cos θ＝

2π

.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 24

2

2

2

2

1

B.－

261D.－

12

(2)记向量2a－b与a＋2b的夹角为θ， 又(2a－b)

2

＝4×2＋3－4×2×3×cos

22

π

＝13， 3

π222

(a＋2b)＝2＋4×3＋4×2×3×cos ＝52，

3

(2a－b)·(a＋2b)＝2a－2b＋3a·b ＝8－18＋9＝－1， 故cos θ＝

2a－b·a＋2b1

＝－，

|2a－b|·|a＋2b|26

22

1

即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是－.

26

点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.

→1→→→

变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与

2→

AC的夹角为________.

答案 90°

→1→→

解析 ∵AO＝(AB＋AC)，

2∴点O是△ABC中边BC的中点，

→→

∴BC为直径，根据圆的几何性质得AB与AC的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模

例3 (1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|2a＋b|等于( )

(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则→→

|PA＋3PB|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5

解析 (1)因为平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°， 所以|2a＋b|＝＝ 2a2

＋b＋2×|2a|×|b|cos 120°

2

1222

2×1＋2＋2×2×1×2×－＝2.

2

(2)方法一 以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.

∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， →

PA＝(2，－x)，PB＝(1，a－x)，

→→

∴PA＋3PB＝(5,3a－4x)， →→22

|PA＋3PB|＝25＋(3a－4x)≥25， →→

∴|PA＋3PB|的最小值为5. →→

方法二 设DP＝xDC(0→

→→→→→PA＝DA－DP＝DA－xDC， →→→→1→PB＝PC＋CB＝(1－x)DC＋DA，

2→→5→→∴PA＋3PB＝DA＋(3－4x)DC，

2

5→→225→2→→→222→2

|PA＋3PB|＝DA＋2××(3－4x)DA·DC＋(3－4x)·DC＝25＋(3－4x)DC≥25，

42→→

∴|PA＋3PB|的最小值为5.

点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量

22a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝x＋y即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，

求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|＝a.

1变式训练3 (2015·浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1

2＝b·e2＝1，则|b|＝________. 答案

23

3

2

1

解析 因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，

2所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2).所以b与e1的夹角为30°，所以b·e1＝|b|·|e1|cos 30°＝1. 23

所以|b|＝.

3

高考题型精练

→→

1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于( ) 32

A.－a

2

32

B.－a

4

a2

答案 D

a2

解析 如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°＝a2＋a2－2a·a×－＝3a2，

2

∴BD＝3a.

332→→→→2

∴BD·CD＝|BD||CD|cos 30°＝3a×＝a.

22

x，x≥y，

2.(2014·浙江)记max{x，y}＝

y，x1



y，x≥y，

min{x，y}＝

x，x设a，b为平面向

量，则( )

{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} {|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} {|a＋b|，|a－b|}≤|a|＋|b|

2

2

2

2

{|a＋b|，|a－b|}≥|a|＋|b|

2

2

2

2

答案 D

解析 由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错.当a，b夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|>|a|＋|b|；当a，b夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|>|a|＋|b|；当a⊥b时，|a＋b|＝|a－b|＝|a|＋|b|，故选D. 3.(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x＋y＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，→→→

则|PA＋PB＋PC|的最大值为( ) 答案 B

解析 ∵A，B，C在圆x＋y＝1上，且AB⊥BC，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

→→→→22

∴AC为圆直径，故PA＋PC＝2PO＝(－4,0)，设B(x，y)，则x＋y＝1且x∈[－1,1]，PB＝(x－2，y)，

→→→→→→

∴PA＋PB＋PC＝(x－6，y).故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B.

4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂→→→

线l，P为垂线上任一点，设OA＝a，OB＝b，OP＝p，则p·(b－a)等于( )

1A.－ 23C.－ 2答案 A

解析 以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，

O为坐标原点建立平面直角坐标系，

31

则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，

4413

直线l的方程为y－＝x－，

441

即x－y－＝0.

2

11

设P(x，x－)，则p＝(x，x－)，

22而b－a＝(－1,1)，

11

所以p·(b－a)＝－x＋(x－)＝－.

22

→→→→→→→→1→

5.在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|<，则|OA|的取值范围是( )

2A.(0，C.(5] 2

B.(D.(

57，] 227

，2] 2

5

，2] 2

答案 D

1

解析 由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内部.

2→→→→→又AB1⊥AB2，AP＝AB1＋AB2，

所以点A在以B1B2为直径的圆上， →

当P与O点重合时，|OA|取得最大值2， 17→

当P在半径为的圆周上时，|OA|取得最小值，

22故选D.

→→→→

6.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB等于( )

答案 C

→

解析 在△ABC中，因为∠ACB＝90°且AC＝BC＝4，所以AB＝42，且B＝A＝45°.因为BM＝3→→3→→→→→→→2→→→23→→

3MA，所以BM＝BA.所以CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB＋BM·CB＝CB＋BA·CB＝16＋×42

444×4cos 135°＝4.

7.(2014·安徽)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|，则a与b的夹角为( ) 答案 B

解析 设a与b的夹角为θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S42

＝ (xi·yi)，则S有以下三种情况：

i＝1

①S＝2a＋2b；②S＝4a·b；③S＝|a|＋2a·b＋|b|.

∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|，②中S＝8|a|cos θ，③中S＝5|a|＋4|a|cos θ. 1π22

易知②最小，即8|a|cos θ＝4|a|，∴cos θ＝，可求θ＝，故选B.

23

→→→→

8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，→→

则AB·AD的值是________.

答案 22

2

2

2

2

2222

→→→1→1→→→→→1→→→→→1→→→

解析 由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD44443→→→→1→→3→→21→→3→2

－AB.因为AP·BP＝2，所以(AD＋AB)·(AD－AB)＝2，即AD－AD·AB－AB＝2.又因为444216→2→→→

AD＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.

9.设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝答案

π 2

3e1·e23，可得cos〈e1，e2〉＝＝， 2|e1||e2|23

，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________. 2

解析 由e1·e2＝π5π

故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝.

66

f(e1，e2)＝e1cos －e2sin ＝f(e2，－e1)＝e2cos

π6π631

e1－e2， 22

5π5π13

－(－e1)sin ＝e1－e2. 6622

31133

e1－e2)·(e1－e2)＝－e1·e2＝0， 22222

f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(

所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1).

π

故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.

2

→→→

10.如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________.

答案

13

2

13→→→→→→→1→

解析 因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，又AO＝(AB22213→→21→→21→2→→→2→21→

＋AC)，所以AO＝(AB＋AC)＝(AB＋2AB·AC＋AC)，即AO＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|

4444＝

13

. 2

3

11.已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1).

4(1)当a∥b时，求cosx－sin 2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，sin B＝

6ππ

，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围. 363

2

3

解 (1)因为a∥b，所以cos x＋sin x＝0.

43

所以tan x＝－.

4

cosx－2sin xcos x故cosx－sin 2x＝ 22

sinx＋cosx2

2

＝

1－2tan x8

＝. 21＋tanx5

(2)f(x)＝2(a＋b)·b

1

＝2(sin x＋cos x，－)·(cos x，－1)

43

＝sin 2x＋cos 2x＋

2π3

＝2sin(2x＋)＋.

42

由正弦定理，得＝， sin Asin Bab所以sin A＝asin B＝b3×2

63

＝2. 2

π3ππ

所以A＝或A＝.因为b>a，所以A＝.

444ππ1

所以f(x)＋4cos(2A＋)＝2sin(2x＋)－.

642πππ11π

因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，].

34412所以3π1－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤2－. 262

π31所以f(x)＋4cos(2A＋)的取值范围为[－1，2－].

622

→5→

12.在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足AD＝DB.

11→→(1)求|AB－AC|；

→→→→

(2)存在实数t≥1，使得向量x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC，令k＝x·y，求k的最小值. →5→解 (1)由AD＝DB，且A，B，D三点共线，

115→→

可知|AD|＝|DB|.又AD＝5，所以DB＝11.

11在Rt△ADC中，CD＝AC－AD＝75， 在Rt△BDC中，BC＝DB＋CD＝196， 所以BC＝14.

2

2

2

2

2

2

→→→

所以|AB－AC|＝|CB|＝14.

→→→

(2)由(1)，知|AB|＝16，|AC|＝10，|BC|＝14. 10＋16－141

由余弦定理，得cos A＝＝.

2×10×162→→→→

由x＝AB＋tAC，y＝tAB＋AC， 知k＝x·y

→→→→＝(AB＋tAC)·(tAB＋AC) →2→→→22

＝t|AB|＋(t＋1)AC·AB＋t|AC| 12

＝256t＋(t＋1)×16×10×＋100t

2＝80t＋356t＋80.

由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，k取得最小值516.

222

2