高等数学重要定理及公式

高等数学重要定理及公式

一 / 31

作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫

说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word及MathType输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式

1.矩阵与其转置矩阵关系：AAAE

*0,r(A)n11n11A* A*A (kA)*kn1A* r(A*)1,r(A)n1 2.矩阵行列式：AAn,r(A)nr(AB)minr(A),r(B)r(AB)r(A)r(B)3.矩阵与其秩：r(A,B)r(A)r(B)

r(A,B)max(r(A)r(B))4.齐次方程组Ax0：非0解线性相关R(A)n 5.非齐次方程组Axb：有解R(A)R(A)线性表出

16.相似与合同：相似—n阶可逆矩阵A,B如果存在可逆矩阵P使得PAPB则A与B相

T似，记作：A~B；合同—A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C使得BCAC则称A

与B合同。（等价，A与B等价—A与B能相互线性表出。）

7，特征值与特征向量：A，求解过程：求行列式EA0 中参数即为特征值，再求解(iEA)x0即可求出对应的特征向量。矩阵A的特征值与A的主对角元及

nnnaiii行列式之间有以下关系：11。上式中tra(A)aii称为矩阵的迹。

i1...A12n8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A的互异特征值对应的特征向

量线性无关；若n阶矩阵的特征值都是单特征根，则A能与对角矩阵相似；n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个ki重特征根，齐次方程组(iEA)x0的基础解析由ki个解向量组成即对应每一个ki重特征根iR(iEA)nki。

9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A为一个实对称矩阵，那么对应于A的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n阶实对称矩阵A都存在一个n阶正交矩阵C，使得

CTACC1AC为对称矩阵。

一 / 31

10.施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组1,2...s化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下：

112233..........(2,1)1(1,1)(3,1)(,)1322(1,1)(2,2)(s,1)(,)(,)1s22...ss1s1(1,1)(2,2)(s1,s1)1

ss再令：iii

则1,2...s是一组与1,2...s等价的标准正交向量组。

TT11.正交矩阵的定义：如果实矩阵A满足：AAAAE则称A为正交矩阵。

T12.设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得BCAC，则称A与B合同。

13.用正交变换化二次型为标准型步骤： a) 写出二次型对应的对称矩阵A；

b) 求A的特征值i和特征向量，（EA0）i；

c) 将特征向量i正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重

特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得i

x1y1xyX22则XCY，是正交变换，且C,,...Yd) 令 ， ，...12n...xnyn22。 f(x1,x2,...,xn)1y122y2...nynT 14.如果任一非零向量X都使得二次型XAX0，则称之为正定二次型，对应的矩阵

A为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A的特征值全部为正实数、正惯性指数是n、矩阵A与E合同、矩阵A的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。

二 / 31

概率论与数理统计重要知识点及公式： 1.条件概率：P(A|B)P(AB)如果P(A|B)P(A)P(B),则A与B独立。 P(B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)2.常用概率公式：P(AB)P(AB)P(A)P(AB)（对于给定如：AB这样的条

p(AB)P(A|B)P(B)件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了）

B A

p(AB)p(B)p(AB)  p(AB)p(A)p(AB)

3.全概率公式：P(A) P(A)P(A|B)

iii1n4.贝叶斯公式：p(Bi|A)p(ABi)p(Bi)p(Bi)p(BiA)p(B)p(A|B)jjj1n（结合条件概率公式和全概率公

式推导而出） 5.几个重要分布：

a) 二项分布（n次重复，伯努利类型）：p(A)Cmp(1p)b) 泊松分布：二项分布当

m,很大，p

nnmn

很小且np时，

X~p(),pxkkk!e,k0,1,2...

1,axbc) 均匀分布：X~U(a,b),f(x)ba

0,otherelseex,x0d) 指数分布：f(x)

0,x0三 / 31

1e) 正态分布：X~N(u,2),f(x;u,)e2(x)222

6.随机变量的数字特征：

A）数学期望：存在前提

xi1nipi，xf(x)dx要绝对可积，那么E(x)xipi，

i1nE(x)xf(x)dx；

2D(X)E(xE(x))B）方差：

22D(X)E(x)E(x)E(C)CC）期望性质：E(cX)cE(X)，X，Y独立则E(XY)E(X)E(Y)

E(XY)E(X)E(Y)D(C)02D）方差性质：D(cX)cD(x),若X，Y相互独立则

D(XY)D(X)D(Y)2cov(X,Y)D(XY)D(X)D(Y).。

7. 常用分布数字特征：

a) (0,1)分布E(z)p;D(z)p(1p)

b) b（n，p）二项分布E(z)np;D(z)np(1p)

c) 泊松分布

kk!e,E(z),D(z);

ab(ba)2,D(z); d) 均匀分布：Ua,b,E(z)212ex,x011e) 指数分布：,E(z),D(z); 20,otherelsef)

正态分布：N(,),E(z),D(z);

228.协方差： 定义式cov(X,Y)ExE(x)yE(y)

计算式cov(X,Y)E(xy)E(x)E(y)

四 / 31

cov(X,Y1Y2)cov(X,Y1)cov(X,Y2) 性 质 ： cov(aX,bY)abcov(X,Y)

cov(Z,Z)D(Z)9.相关系数：xycov(X,Y),1;

D(X)D(Y)10.几种特殊函数的分布问题：

a) 极值分布Z1max(X,Y),Z2min(X,Y)

FZ1(z)P(max(X,Y)z)P(Xz,Yz)P(Xz)P(Yz)Fx(z)Fy(z) FZ2(z)P(min(X,Y)z)1P(min(X,Y)z)

1P(Xz)P(Yz)1[1p{xz}][1p{yz}]1[1Fx(z)][1Fy(z)]b）和的分布：Z=X+Y分分布函数是

Fz(z)P{XYz}fz(z)F(z)fz(z)一般的

X

与

`zxyzf(x,y)dxdy;

f(zy,y)dyf(x,zx)dx2相互独立，且X~N(1,12),Y~N(2,2)，则

Y

ZXY~N(12,1222)，其概率密度公式为：

f(z;12,)c）商的分布 ZX212112()2121e(x(12))222(112)。

Y分布函数是：

x/yzFz(z)P(Zz)fz(z)f(x,y)dxdy0

0yf(zy,y)dyyf(zy,y)dyyf(zy,y)dy11.参数估计：

a) 矩估计方法：构造关于参数组成的k阶原地矩与样本k阶原点矩之间的等式关系：

1nkk(1,2,...n)xi，解此方程组解为kk(x1,x2,...xn)就作为k的矩估

ni1 计。

b） 极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断，把已经发生的事

五 / 31

件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。

求法，写出最大似然函数,并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的

对数方便运算，即求解如下的似然方程组

lnL0,k1,2,3...,m，似然方程组 k的解可能不唯一，这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点，若似然函数关于参数的导数不存在时，就无法得到似然方程组，因此必须回到极大似然股及的定义式直接求解。

13.矩估计的优良性：若E()则称是的无偏估计量，若1,2是的无偏估计量，且D(1)D(2)则称1为的最小无偏估计量。

1n14.数理统计概念：XXi（样本均值）

ni11nS(XiX)2（样本方差） n1i121nkAkXi（样本k阶原点矩）

ni11nMk(XiX)k（样本k阶中心矩）

ni115.三个重要分布：

a) 设n个相互独立并且都服从正态分布N(0,1)的随机变量X1,X2,...,Xn记

Xi2

2i12n则称随机变量服从自由度为n的分布。对于给定的正数a(0系式P((n))侧分位数。

性质：E()n,D()2n

设Y1,Y2相互独立，且Y1~(n1),Y2~(n2)则有Y1Y2~(n1n2)

b） 设随机变量X与Y相互独立，X~N(0,1),Y~222222222a(n)2(n)为2(n)的上侧临界值或上f2(x)dxa的数a2(n)，记

TX则随机变量T服从自由度为n的t分布。 Yn六 / 31

c） 设随机变量X,Y相互独立，X~2(n1),Y~2(n2)记F

从第一自由度为n1第二自由度为n2的F分布。

22Xn1则随机变量F服Yn216设X1,X2,...,Xn是正太总体N(,)的样本，X,S分别是样本均值和样本方差，则有

X与S2相互独立，则有

2X~N(,)nn1 2S2~2(n1)

X~t(n1)S/n1n1nE(X)E(nXi)nE(Xi)i1i1上式中， 2nD(X)D(1X)1D(X)in2inni1

217.设X1,X2,...,Xn1 和Y1,Y2,...,Yn2分别是来自正态总体N(1,12),N(2,2)的样本，并

2且它们相互独立，X,S12,Y,S2分别是这两组样本的均值和样本方差，则有：

S12/12A）F2~F(n11,n21);

S2/22B）当12时，T222(XY)(12)~t(n1n22)其中，

11Sn1n2

2(n11)S12(n21)S2S。

n1n2218.已知随机变量X的分布函数F(x),分布函数在x=a处不连续，则

P{Xa}F(xa)limF(x)。（P{xa}F(a)F(a0)）

xa19.概率密度函数满足：

f(x)dx1，通常用此条件求概率密度函数中的参数值。

20.多重概率密度函数同样满足：

f(x,y)d1 G为积分空间.

G七 / 31

微积分部分：

1，无穷小与无穷大：当x0时，有下列等价无穷小

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,x11,1cosx~x2,tanxsinx~x3,n221ln(x1)~x,loga(1x)~x,ex1~x,ax1~xlna;

lnax3x3x3arcsinxx~,xarctanx~,tanxx~,6331tanxsinx~x32n1x1~2，若limf(x)0,limg(x)0则lim[1f(x)]g(x)exx0xx0xx0limf(x)g(x)xx0

3.导数概念：f(x0)lim'x0f(x0x)f(x0)

x微分概念：yf(x0x)f(x0)Axo(x)称f(x)在x0可微，dyAx为y的

'线性主部。切线方程：yy0f(x0)(xx0)法线方程：yy01(xx0) f'(x0)4，极限存在的两个准则：单调有界准则，夹逼准则，两个重要极限。

(uv)'(x)u'(x)v'(x)'''(uv)(x)u(x)v(x)u(x)v(x)''u'u(x)v(x)u(x)v(x)

5.导数的四则运算法则：()(x)v2(x)v1v'(x)'()(x)2v(x)v6，常用导数和不定积分： (C)'0 (xn)'nxn1 (ax)'axlna(a0,a1)八 / 31

(ex)'ex (logax)'1 xlna(1'1) lnxx(sinx)'cosx (secx)'secxtanx (arctanx)'(cosx)'sinx (cscx)'cscxtanx (tanx)'sec2x (cotx)'csc2x (arcsinx) '11x2(arccosx)' 11x21 21x(arccotx)' 11x2 (shx)chx '对数求导法：yxsinx(x0),求y。解：lnysinxlnx1'1ycosxlnxsinxyx1y'y(cosxlnxsinx)x'1.两边同时取对数2.两边同时求导 参数求导法：xx(t)dyyy(x)确定的求 dxyy(t)dyy'(t)dydydtdy1y'(t)d2yddydt',(')二阶导数：2[] dxdxdtdxdxdxx(t)dxdtdxdxx(t)dt反函数求导：(f高阶导数： (n)sin(n)xsin(xn)cos(n)xcos(xn)[ln(1x)]22 n1(n1)! (1)(1x)n1')(x)111'， (f)(y)|yy.0''f(y)f(x)|xx0(ax)(n)(lna)nax (x)(n) n (1)(2)...(n1)x 基本积分公式： 1(n)(1)nn!() n1xx(xn)(n)n! 0dxC xxedxeC xdx11xC 11xdxlnxC axadxlnaC xcosxdxsinxC sinxdxcosxC 2secxdxtanxC 九 / 31

2cscxdxcotx secxtanxdx secxCcscxcotxdx cscxCCC 11x2dxarcsinx11x2dxarctanxtanxdx lncosxCC cotxdxlnsinxC secxdxlnsecxtanxC cscxdxlncscxcotxC axxarcsinCa122dx dxa2x2 1xalnC2axadxxa22lnxx2a2C 1.将复杂部分求导 2.主要处理根式部分 3.将复杂部分用新变量t替换 4.分部积分主要处理两类函数乘积的积分 5.有理公式处理真分式积分。 6.万能代换。 '7.罗尔定理：f(x)C[a,b]D(a,b)且f(a)f(b)则(a,b)使得f()0

8.看到函数值差，联想单拉格朗日定理f(b)f(a)f()(ba),ba用于求极限证明不等式。

9.柯西定理：若f(x),g(x)C[a,b]D(a,b)且，x(a,b),g(x)0则(a,b)使得

'f(b)f(a)f'() 'g(b)g(a)g()10.驻点 x0，f'(x0)0的点；极值点f(x0)，根据实际情况判断，通常看在x0两侧的一阶导数的正负性有次判断是极大值或极小值；拐点 (x0,f(x0))，拐点二阶导数f''(x0)0，且在x0两侧二阶导数异号。

11.幂指数函数极限的一般处理方法：limulime1vvlnuelimvlnu对于1未定式，一般

limulim[(1)]12.可分离变量微分方程：

vvelimv,(u1)

dydyf(x)g(y) 解法f(x)dx dxg(y)十 / 31

yy1有f(x,y)f(tx,ty)f(1,)()称之为其次方程，

xxxdudyyduydyux()得ux(u)两边同时积分求引入变量u则带入方程

dxdxxdxxdx13.f(tx,ty)tf(tx,ty)令tk解。

p(x)dxp(x)dxdyP(x)yQ(x)通解为：ye[Q(x)ec] dxdydzdyP(x)yQ(x)yn，令zy1n则(1n)yn15.伯努利方程：，即dxdxdxdy1dzdzyn(1n)P(x)z(1n)Q(x)。 带入原式得

dx1ndxdxdp''''f(x,p)用上述方法求解16.yf(x,y)型高阶微分方程求解：令py则原式化为dx14.一阶线性非齐次方程：

可得y'(x,C1)，于是再积分可得y(x,C1)dxC2

dy'dpdpdydp17.yf(y,y)型高阶微分方程求解：可令yp(y)，则ypdxdxdydxdx'''''''''于是yf(y,y)变为pdydp(y,C1)，分离变f(y,p)求得通解为p(y,C1)即dxdy量积分得

dy(y,C1)xC2。

'''18.二阶常系数齐次线性微分方程解法：ypyqy0（p，q为常数）即

2，可得特征方程rprq0，特征方程的两个根(D2pDq)y0（D为微分算子）

pp24q为r1,2，分三种情况:

2a) 当p4q0解为yC1e22r1xC2er2x

b) 当p4q0解为y(C1C2x)erx

c) 当p4q0，特征方程有一队共轭复根r1i,r2i，则通解为

2yex(C1cosxC2sinx)

十一 / 31

19.二阶线性非齐次线性方程的解法:一般形式y''py'qyf(x)（p、q为常数）

f(x)pm(x)ex，p（x）是m次多项式 1.不是对应的齐次方程的特征方程的根，则y*Qm(x)ex 2.是单根，则对应的特解为是重根，则对应的特解为y*xQm(x)ex 3.y*x2Qm(x)ex f(x)ex[Pl(x)cosxPnsinx] (1)(2)y*xkex[RmcosxRmsinx]，其中(1)(2)是系数待定的m次多项式，Rm(x),Rmmmax{l,n}而k按i不是或是特征方程的根分别取0或1.

20.多元函数微分：zf(x,y)在点(x0,y0)处的全微分dzA(x0,y0)dxB(x0,y0)dy，其中A(x0,y0)zz|(x,y)，B(x0,y0)|。 xy(x0,y0)0021.F(x,y)0，可由

FFdyzx求得导函数，对于F(x,y,z)0偏导数可由x，

xFzdxFyFzy求得。 yFz22.空间曲线L的参数方程

L:xx(t),yy(t),zz(t),atb;

曲线上一点M(x0,y0,z0)，则向量s(x(t0),y(t0),z(t0))就是曲线L在点M处切线的方向向量，也称为切向量，于是在M点的切线方程为

'''xx0yy0zz0，法平面方程x'(t0)y'(t0)z'(t0)为x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0。

十二 / 31

'''23.空间曲线由两平面方程确定{F(x,y,z)0yy(x)，则可确定曲线L：于是在点

G(x,y,z)0zz(x)''s(1,y(x),z(x))|M0。 M0处的切向量为

24.方向导数:设函数zf(x,y)在点p(x0,y0)处可微，则函数在此点处存在沿任一方向的l的方向导数，则方向导数的方向余弦。 25.梯度：gradfdfdfdf(coscos)|(x0,y0)，其中cos,cos为l方向上dldxdyffij，它是一个向量，可将二元函数f(x,y)沿任一方向l的方向xyfgradflgradfcos，是l与grad f之间的夹角。 l导数写成向量内积的形式：方向导数的最大值为gradf(f2f2)()，当0，即l的方向就是gradf的方向xy时，

f最大，也就是沿着梯度方向，函数的变化率最大，函数值增长最快。时，l取lf2f2)()也就是沿负梯度xy负梯度方向-gradf时，方向导数达到最小值gradf(方向函数值减少最快。

26.极值的充分条件：设函数f(x,y)在点(x0,y0)额某一邻域内具有二阶连续偏导数且有

fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0，

令fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)fyx(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C，函数在点(x0,y0)的黑塞矩阵为：Hf(x0,y0)2fxxfyxfxyfyy(x0,y0)AB，则有一下结论： BC(x0,y0)1）若ACB0,A0,则Hf为正定矩阵，故f(x0,y0)为极小值。 2）若ACB0,A0,则Hf为负定矩阵，故f(x0,y0)为极大值。 3）若ACB0,则Hf为不定矩阵，故f(x0,y0)为不是极值。

27.有界区域上的最大值与最小值：求出f(x,y)在D内所有的驻点和驻点处的函数值，求出f(x,y)在边界上的最大（小）值，对比上面求出的函数值，其中最大的就是f(x,y)在

22十三 / 31

D上的最大值，最小的就是最小值。

28.条件极值和拉格朗日数乘法：uf(x1,x2,...,xn)在

m

个条件

i(x1,x2,...,xn)0(i1,2,...,n)下的极值。求解步骤如下：

a) 构造拉格朗日函数：F(x,y,z,1,2)f(x,y,z)11(x,y,z)22(x,y,z) b) 对F求x,y,z,1,2的偏导数并令其为零，即

Fx0Fy0Fz0

F11(x,y,z)0F22(x,y,z)0

c) 求解(x0,y0,z0),1,2。

d) 根据问题性质判断(x0,y0,z0)是否为极值点。

29.二重积分的计算，熟悉x型y型积分区域的计算，以及改变积分顺序。 30.极坐标

xrcos则drdrd，那么f(x,y)df(rcos,rsin)rdrd，

yrsinDD使用时注意积分上下限的变换。

xrcos31.柱坐标下的极坐标变换：yrsin，dVrdrddz那么

zzf(x,y,z)dVf(rcos,rsin)rdrddz。

VV32.球坐标下计算三重积分：0,0,02

xsincos2ysinsin， dVsinddd zcos则球坐标下三种积分的计算公式为：

Vf(x,y,z)dVf(sincos,sinsin,cos)2sinddd

V'33.曲线的弧长：曲线L：yy(x),(axb)弧微分ds1y(x)dx，则曲线弧段的长

为sba1y'2(x)dx；曲线参数方程xx(t),yy(t),(t)，弧微元为

十四 / 31

dsx(t)y(t)dt'2'2，

sx'2(t)y'2(t)dt同理，三元函数有

sxr()cosx'2(t)y'2(t)z'2(t)dt。平面曲线由yr()sin确定，则

dsx'2()y'2()dr2()r'2()d长度为sr2()r'2()d。

34.第一类曲线积分的计算：设函数f(x,y)平面弧线L上连续，L的参数方程为

xx(t)f(x,y)dsf[x(t),y(t)]x'2(t)y'2(t)dt()。 ，则(t)yy(t)L35.曲面S的方程为zz(x,y)在xoy上的投影为Dxy，函数zz(x,y)在Dxy上具有连续的偏导数，则S为光滑曲面，则sDxy1(z2z2)()dxdy，同理在yoz面上的投影为Dyz，xy则有sDyz1(x2x2)()dzdy，在zox上的投影为Dzx，则有zys1(Dzxy2y2)()dxdz。 zx36.第一类曲面积分的计算:设函数f(x,y,z)在曲面S上连续，S的方程为zz(x,y)，S在

xoy面上的投影区域为Dxy，函数zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，则：

S22f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)zy(x,y)dxdy。

Dxy37.第二类曲线积分：

P(x,y)dxQ(x,y)dyF(x,y)ds{P[x(t),y(t)]x(t)Q[x(t),y(t)]y(t)}dt

LL''38.对于yy(x)计算公式可为

'P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[x,y(x)]Q[x,y(x)]y(x)}dt。应用质点沿着曲线L运动，Lab在场力 F(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k的作用下所做的功为

WF(x,y,z)dsP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz。

LL十五 / 31

39.第二类曲面积分：曲面

S，曲面面积微元向量dSn0ds，

F(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k则：

F(x,y,z)dSP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,z)dxdy。

SS40.第二类曲面积分的计算——分面投影法：将

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,z)dxdy的三项分别化在坐标平面

Syoz,zox,xoy上的二重积分，其中函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在S上连续，求解步

骤：

1）将被积函数R(x,y,z)中的变量z换为表示曲面的函数zz(x,y)

确定正负号，曲面S取上侧，即单位法向量n0与z轴的正向夹角为锐角，则

取正号，若曲面S取下侧，即单位法向量n0与z轴的正向夹角为钝角，则取负号。

2）对函数R[x,y,z(x,y)]在曲面S的投影区域Dxy上计算二重积分。

R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy

sDxy3）同理：

P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz

sDyzQ(x,y,z)dzdxQ[x,y(x,z),z]dzdx。

sDzx41.第二类曲面积分的计算——合一投影法：将第二类曲面积分

P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dxdzR(x,y,z)dxdy中的三项都化为某一坐标平面上的

S二重积分。 计算步骤：

1. 计算法向量n并确定正负号，若曲面S取上侧，即法向量n与z轴的正向夹角为锐 角时，则取正号；若曲面S取下侧，即单位法向量n与z轴的正向夹角为钝角时，则 取负号。

2. 将被积函数F(x,y,z)中的变量在z换为表示曲面的函数z(x,y)，并与向量n或n

做点积。

3. 对点积Fn或F(n)在曲面S的投影区域Dxy上计算二重积分。

n(zx,zy,1)

十六 / 31

F(x,y,z)dSF[x,y,z(x,y)][n(x,y)]dxdy

sDxy同理，投影到其他平面上有：

F(x,y,z)dSF[x,y(z,x),z][n(z,x)]dxdz，n(y,1,y)

xzsDzxF(x,y,z)dSF[x(y,z),y,z][n(y,z)]dydz，n(1,x,x)

yzsDzx42.微积分基本定理的推广： 格林公式：设D是由分段光滑的曲线L围成的平面单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导。则有1式。其中L是D的取正向的边界曲线。 设D是由分段光滑的曲线L1与L2围成的平面复联通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有2式。其中L1是D的取正方向的外边界曲线，L2是D的取正向的内边界的曲线。 高斯公式：设空间区域V是由分片光滑的闭曲面S所围成，函数1.(DQP)dxdyPdxQdy Lxy2.(DQP)dxdyPdxQdyL1xy PdxQdyL2(VPQR)dVxyzRdxdySPdydzQdxdzP(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上具有一阶连续偏导数则有右式成立，其中S是V的边界曲面的外侧。 斯托克斯公式：设L为分段光滑的空间有向闭曲线，S为以L为边界额分片光滑的有向曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含曲面S在内的一个空间区域内有一阶连续偏导数，则有右式成立，其中，L的方向与S的侧符合右手规则，即用右手四指表示L的方向，大拇指的防线与曲面S的侧同向。 (SRQPRQP)dydz()dzdx()dxdyyzzxxyPdxQdyRdzL十七 / 31

PdxQdyRdzLdydzdxdzdxdy通常写为：SxPcosxPyQcosyQ zRcosdSzRS43.曲线积分与路径的无关性：

a) 设D为平面上的单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y) 在D上具有一阶连续偏导数，

则以下四个命题等价：

i. 对于D内任一分段光滑的简单闭曲线L有：

P(x,y)dxQ(x,y)dy0

Lii.曲线积分

P(x,y)dxQ(x,y)dy的值在D内与路径无关。

Liii.被积表达式P(x,y)dxQ(x,y)dy在D内是某个二元函数u(x,y)的全微分，即

duP(x,y)dxQ(x,y)dy

iv.在D内每一点都满足

PQ yx b）设G为空间一维单连通区域，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)，在G内有一阶 连续偏导，则以下四个命题等价：

i.对于G内的任一分段光滑的简单闭曲线L，有

PdxQdyRdz0

L ii.曲线积分

PdxQdyRdz的值在G内与路径无关。

L iii.被积表达式PdxQdyRdz在G内是某个三元函数u(x,y,z)的全微分，即 duPdxQdyRdz

十八 / 31

i iv。在G内每一点满足

jyQkRQPRQP即满， ,,0，

yzzxxyzRxP称函数u(x,y,z)(x,y,z)(x0,y0,z0)PdxQdyRdz，其积分路径可选取平行于

xx0坐标轴的折线，则

u(x,y,z)P(x,y0,z0)dxQ(x,y,z0)dyR(x,y,z)dzy0z0yz

44.全微分方程：du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy，求解方法：先积x，将y看做x的常数函数，或者使用积分路径无关性来求解。

45.场论初步——一个与时间无关的向量场可以用一个向量值函数

A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k，那么函数u(x,y,z)的梯度

Graduuuuijk，它也是一个向量场，也称为梯度场。 xyz46.通量与散度：S为场内某给定向量场A(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)k，有向曲面，S上值顶一侧的单位法向量为n，向量场A沿曲面S的第二类曲面积分，

0AdSAndS0SS称为向量场A通过有向曲面S制定一侧的通量。如果S是一分片光

滑的闭曲面，n为外法向量，V为S所包围的空间区域，由高斯公式

0AdSAn0dSSS，

SPdydzQdzdxRdxdy(VPQR)dVxyz将PxA(x,y,z)QRPQRdivA 称为的散度，记于是高斯公式可以写成yzxyz如下的向量形式：

divAdVAdSVS。

47. 级 数

un1n的部分和数列

{Sn}，有极限S，即n十九 / 31

limSnS，则称级数

un1n收敛并称

S为级数

un1n的和，记做：Sun1n，如果部分和数列

{Sn}没有级数，则称级数

un1n发

散。



48.常数项级数的性质：若

un1n收敛，收敛值S，则：

ku

n1nn

收敛，收敛值为kS。

若

un1n和

vn1n收敛，且收敛值分别为

S和

则，

uvn1n1n收敛，其和为

S。另

外在级数的前面部分去掉或者加上有限项，不改变级数的敛散性，然而在级数收敛的条件下，

级数的和一般要改变。

49.级数收敛的必要条件：设级数

limun0un收敛，则。 nn150.正项级数的判敛法：若

un0则称级数

un1nu1u2...un...是正项级数。设unn1是正项级数则级数

un收敛的充分必要条件为它的部分和数列

n1{Sn}有界。

 1）比较判敛法:正项级数

un1n和

vn1n且有

unvn，则有结论：1.如果级数

un1n发散则

级数

vn1n发散。2.如果级数

vn1n收敛，则级数

un1n收敛。

unl,(0l)，则级数un和vn正项级数un和vn，如果limnvn1n1n1n1n同时收敛或者发散。

 2)比值判敛法：设级数正项级数un是正项级数，如果limnn1un1(0)则当un时，级数可能收敛也可

1时级数正项级数

un收敛；当

n11时，级数发散；当

1二十 / 31

能发散。

3）根值判敛法：设级数

1limnun(0)u是正项级数，如果，则当时nnn1级数

un1n收敛，当

1时，级数发散。当

1时级数可能发散也可能收敛。

50.交错级数的判敛法：设

un0(n0,1,2...)则称级数

(1)n1n1un或者(1)nun是交错

n1级数。莱布尼茨判别法：若交错级数

(1)n1un满足如下条件（1）.

n1unun1(n1,2,3...)；

（2）.nlimun0n1；则级数(1)un是收敛的，且其和

n1Su1，其余项

Rn的绝对值

Rnun1。

推论：若级数

(1)n1n1un满足如下条件：

1.存在正整数N使得

unun10,(nN)；

2.nlimun0；

则级数

(1)n1n1un是收敛的。

51.绝对收敛与条件收敛:设

un是任意实数，则级数

un1n是任意项级数，其中各项绝对值所

构成的级数

un1nn称为级数

un1n的绝对值级数。如果

un1n收敛，则级数

un1n也收敛，

并称级数

un1绝对收敛；如果级数

un1n发散，而级数

un1n发散，则称级数

un1n条件

收敛。级数

un1n和级数

vn1n都是绝对收敛的，且他们的和分别为S和

二十一 / 31

，则他们的柯西

乘积(u)(v)(uvnnn1n1n1l1nlnl1)也是绝对收敛的，其和为

S。

52.幂级数及其收敛区间:形如

anxna0a1xa2x2...anxn....其中

n0an称做幂级数

0naalimn1n,则收敛半径R，当的系数.设幂级数anx如果lim，或nnn0annR1，当

0时，

R；当

时，

R0。

53函数展开成幂级数：直接展开法，间接展开法。

泰勒级数：

f''(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)nRn(x)

2!n!f(n1)()Rn(x)(xx0)n1(n1)!'f(x) 在某个点内可展开成泰勒级数的充分必要条件为原函数的泰勒公式中的余项满足：

f(n1)()limRn(x)(xx0)n10。 n(n1)!如果函数

f(x)在

x0的区间

(Rx0,Rx0)能展开成泰勒级数

f(x)n0f(n)(x0)(xx0)n，则右端的幂函数是唯一的。 n!函数展开成幂级数的方法，直接展开法： 1）求函数的各阶导数

2）求各阶导函数在x=0处的函数值。 3）写出幂级数f(x)n0f(n)(x0)(xx0)n，并求其收敛半径和收敛区间。间接展开法：n!从已知函数的展开式出发，通过运算或变量代换，求得另外一些函数的幂级数展开式。以下基本的幂级数展开式（由泰勒公式导出）：

二十二 / 31

1xn1xx2...xn...,x(1,1) 1xn0xnx2xne1x......,x(,)

2!n!n1n!xx2n1sinx(1)(),x(,)

(2n1)!n0nx2ncosx(1)(),x(,)

(2n)!n0nln(1x)(1)n1n1nxnx2x3n1xx...(1)...,x(1,1] n23n(1x)1n1(1)...(n1)n!f(x)是以

xn,x(1,1)

f(x)54.三角级数相关：设有：

a) 若函数

2为周期的周期函数，当函数展开成傅里叶级数时，

f(x)是奇函数，则

an0(n0,1,2...) 2bf(x)sinnxdx(n0,1,2...)n0b）若函数

f(x)是偶函数，则它的傅里叶级数系数为

2an0f(x)cosnxdx(n0,1,2...)

bn0(n1,2,3...)a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，

2n1a0

二十三 / 31

1f(x)dx，an1f(x)cosnxdx，bn1f(x)sinnxdx



编者的话：因为MathType版权的问题，在编辑级数相关内容时出现了一些格式上的问题，对阅读造成的不便我感到深深的抱歉。考研是考验一个人耐力和勇气的事，持之以恒，水滴石穿。每日机械式的复习或许让你感到烦躁，但请相信付出总会有收获的。一个人的福泽和苦难总是固定量的，今日多吃苦，明日少受罪，说到这，我想起一个平时很常见的问题：浪费粮食，这是在浪费自己明日的福泽啊。无论如何，既然选择了考研就坚持下去吧，行百里者半九十，不放弃，不松懈。朋友家人的支持也会是你不懈前行的动力。愿佛陀佑你！

【赠送】

英语中常用的123个中国成语

1.爱屋及乌 Love me, love my dog. 2.百闻不如一见 Seeing is believing.

3.比上不足比下有余 worse off than some, better off than many; to fall short of the best, but be better than the worst.

4.笨鸟先飞 A slow sparrow should make an early start. 5.不眠之夜 white night

6.不以物喜不以己悲 not pleased by external gains, not saddened by personnal losses

7.不遗余力 spare no effort; go all out; do one's best 8.不打不成交 No discord, no concord. 9.拆东墙补西墙 rob Peter to pay Paul

10.辞旧迎新 bid farewell to the old and usher in the new; ring out the old year and ring in the new

二十四 / 31

11.大事化小小事化了 try first to make their mistake sound less serious and then to reduce it to nothing at all

12.大开眼界 open one's eyes; broaden one's horizon; be an eye-opener 13.国泰民安 The country flourishes and people live in peace

14.过犹不及 going too far is as bad as not going far enough; beyond is as wrong as falling short; too much is as bad as too little

15.功夫不负有心人 Everything comes to him who waits. 16.好了伤疤忘了疼 once on shore, one prays no more

17.好事不出门恶事传千里 Good news never goes beyond the gate, while bad news spread far and wide.

18.和气生财 Harmony brings wealth. 19.活到老学到老 One is never too old to learn. 20.既往不咎 let bygones be bygones

21.金无足赤人无完人 Gold can't be pure and man can't be perfect. 22.金玉满堂 Treasures fill the home. 23.脚踏实地 be down-to-earth 24.脚踩两只船 sit on the fence

25.君子之交淡如水 the friendship between gentlemen is as pure as crystal; a hedge between keeps friendship green

26.老生常谈,陈词滥调 cut and dried, cliché 27.礼尚往来 Courtesy calls for reciprocity.

28.留得青山在不怕没柴烧 Where there is life, there is hope. 29.马到成功 achieve immediate victory; win instant success 30.名利双收 gain in both fame and wealth 31.茅塞顿开 be suddenly enlightened

32.没有规矩不成方圆 Nothing can be accomplished without norms or standards.

二十五 / 31

33.每逢佳节倍思亲 On festive occasions more than ever one thinks of one's dear ones far away. It is on the festival occasions when one misses his dear most. 34.谋事在人成事在天 The planning lies with man, the outcome with Heaven. Man proposes, God disposes.

35.弄巧成拙 be too smart by half; Cunning outwits itself 36.拿手好戏 masterpiece

37.赔了夫人又折兵 throw good money after bad

38.抛砖引玉 a modest spur to induce others to come forward with valuable contributions; throw a sprat to catch a whale

39.破釜沉舟 cut off all means of retreat；burn one's own way of retreat and be determined to fight to the end

40.抢得先机 take the preemptive opportunities

41.巧妇难为无米之炊 If you have no hand you can't make a fist. One can't make bricks without straw.

42.千里之行始于足下 a thousand-li journey begins with the first step--the highest eminence is to be gained step by step

43.前事不忘后事之师 Past experience, if not forgotten, is a guide for the future. 44.前人栽树后人乘凉 One generation plants the trees in whose shade another generation rests. One sows and another reaps.

45.前怕狼后怕虎 fear the wolf in front and the tiger behind hesitate in doing something

46.强龙难压地头蛇 Even a dragon (from the outside) finds it hard to control a snake in its old haunt - Powerful outsiders can hardly afford to neglect local bullies. 47.强强联手 win-win co-operation

48.瑞雪兆丰年 A timely snow promises a good harvest. 49.人之初性本善 Man's nature at birth is good. 50.人逢喜事精神爽 Joy puts heart into a man. 51.人海战术 huge-crowd strategy

52.世上无难事只要肯攀登 Where there is a will, there is a way.

二十六 / 31

53.世外桃源 a fictitious land of peace away from the turmoil of the world; 54.死而后已 until my heart stops beating 55.岁岁平安 Peace all year round.

56.上有天堂下有苏杭 Just as there is paradise in heaven, ther are Suzhou and Hangzhou on earth.

57.塞翁失马焉知非福 Misfortune may be an actual blessing.

58.三十而立 A man should be independent at the age of thirty; At thirty, a man should be able to think for himself.

59.升级换代 updating and upgrading (of products) 60.四十不惑 Life begins at forty.

61.谁言寸草心报得三春晖 Such kindness of warm sun, can't be repaid by grass. 62.水涨船高 When the river rises, the boat floats high. 63.时不我待 Time and tide wait for no man. 64.杀鸡用牛刀 break a butterfly on the wheel

65.实事求是 seek truth from facts; be practical and realistic; be true to facts 66.说曹操，曹操到 Talk of the devil and he comes.

67.实话实说 speak the plain truth; call a spade a spade; tell it as it is 68.实践是检验真理的唯一标准 Practice is the sole criterion for testing truth. 69.山不在高，有仙则名 No matter how high the mountain is, its name will spread far and wide if there is a fairy.

70.韬光养晦 hide one's capacities and bide one's time 71.糖衣炮弹 sugar-coated bullets

72.天有不测风云 Anything unexpected may happen. 73.团结就是力量 Unity is strength.

74.跳进黄河洗不清 even if one jumped into the Yellow River, one can not wash oneself clean; there's nothing one can do to clear one's name 75.歪风邪气 unhealthy practices and evil phenomena

二十七 / 31

76.物以类聚,人以群分 Birds of a feather flock together.

77.往事如风 The past has vanished (from memory) like wind; What in past, is past. 78.望子成龙 hold high hopes for one's child

79.屋漏又逢连阴雨 Misfortunes never come singly. When it rains it pours. 80.文韬武略 military expertise; military strategy 81.唯利是图 draw water to one's mill

82.无源之水,无本之木 water without a source, and a tree wiithout roots 83.无中生有 make create something out of nothing

84.无风不起浪 There are no waves without wind. There's no smoke without fire. 85.徇私枉法 bend the law for the benefit of relatives or friends 86.新官上任三把火 a new broom sweeps clean

87.虚心使人进步,骄傲使人落后 Modesty helps one go forward, whereas conceit makes one lag behind.

88.蓄势而发 accumulate strength for a take-off 89.心想事成 May all your wish come true.

90.心照不宣 have a tacit understanding; give tacit consent; tacit understanding 91.先入为主 First impressions are firmly entrenched. 92.先下手为强 catch the ball before the bound 93.像热锅上的蚂蚁 like an ant on a hot pan

94.现身说法 warn people by taking oneself as an example 95.息事宁人 pour oil on troubled waters 96.喜忧参半 mingled hope and fear 97.循序渐进 step by step

98.一路平安，一路顺风 speed somebody on their way; speed the parting guest 99.严以律己,宽以待人 be strict with oneself and lenient towards others 100.鱼米之乡 a land of milk and honey; a land flowing with milk and honey

二十八 / 31

101.有情人终成眷属 Jack shall have Jill, all shall be well. 102.有钱能使鬼推磨 Money makes the mare go; Money talks. 103.有识之士 people of vision

104.有勇无谋 use brawn rather than brain

105.有缘千里来相会 Separated as we are thousands of miles apart, we come together as if by predestination. 106.与时俱进 advance with times

107.以人为本 people oriented; people foremost 108.因材施教 teach students according to their aptitude

109.欲穷千里目，更上一层楼 to ascend another storey to see a thousand miles further; Ascend further, were you to look farther; Would eye embrace a thousand miles? Go up, one flight.

110.欲速则不达 Haste does not bring success. 111.优胜劣汰 survival of the fittest 112.英雄所见略同 Great minds think alike.

113.冤家宜解不宜结 Better make friends than make enemies.

114.冤假错案 cases in which people were unjustly, falsely or wrongly charged or sentenced; unjust, false or wrong cases

115.一言既出，驷马难追 A real man never goes back on his words. 116.招财进宝 Money and treasures will be plentiful 117.债台高筑 become debt-ridden 118.致命要害 Achilles' heel

119.众矢之的 target of public criticism

120.知己知彼,百战不殆 Know the enemy and know yourself, and you can fight a hundred battles with no danger of defeat. 121.纸上谈兵 be an armchair strategist

122.左右为难 between the devil and the deep blue sea

二十九 / 31

123.纸包不住火 Truth will come to light sooner or later.

三十 / 31