河南省三门峡市陕州中学2015-2016学年高二数学上学期第二次精英对抗赛试题 理

（理科）数学试题

试卷总分：150分 时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每題给出的四个选中，只有一项是符合题目要求）

1．命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则甲是乙的（ ） A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件

2．若“0＜x＜1是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）

A． [﹣1，0] B．（﹣1，0） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）

3．运行如右图所示的程序框图．若输入x=4，则输出y的值为（ ）

A． 49 B． 25 C． 13 D． 7 4．下列说法正确的是（ ）

A． x≥3是x＞5的充分而不必要条件 B． 若￢p⇒￢q，则p是q的充分条件 C． x≠±1是|x|≠1的充要条件

D． 一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形

5.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007年我国治理二氧化硫排放显现

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

6．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为（ ） A．

B．

C．

D．

1

D1A1DMB1CBC1

A

（第6题） （第7题）

7. 如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若ABa，

ADb，AA1c则下列向量中与BM相等的向量是（ ）

1111abcabc （A） （B）22221111abcabc （C） （D）222228、直线yxb与抛物线x2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OAOB，则b（ ）

A.2 B.2 C.1 D.1

9、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 3121A. B. C. D. 4233

10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0)，直线yx1与其交于M、N两点，

MN 中点的横坐标为2，则此双曲线的方程是（ ） 3x2y2x2y2x2y2x2y21 D.1 1 C.1 B.A.

5225433411．如图，已知二面角α﹣l﹣β为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点

B∈β，BD⊥l，D为垂足，且AC=2，CD=3，DB=1，则AB的长度为（ ）

A． 4 B． 2 C． 3

D．

212、若不论k为何值，直线yk(x2)b与曲线x取值范围是（ ）

y21总有公共点，则b的

A.(3,3) B. 2,2 C.(2,2) D. 3,3

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 13.椭圆的焦点为F1、F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为

32，52

MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为 __________

14．设p：|2x+1|＜m（m＞0），，若p是q的充分不必要

条件，则实数m的取值范围为

15．为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞成修建穿江隧道的市民占80%，在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在[20，30）岁的有400人，[40，50）岁的有m人，则n= ，m=

16.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，垂直于

圆所在的平面，且1．则三棱锥PABC体积的最大值为

三、解答题（本大题共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）．p：实数x满足x﹣4ax+3a＜0，其中a＞0，q：实数x满足

（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

2

2

x2y2618. （本小题满分12分）已知椭圆22（a＞b＞0）的离心率e，过点Aab3（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3． 2（1）求椭圆的方程． （2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

22

19．（本小题满分12分）已知关于x的一元二次方程x﹣2（a﹣2）x﹣b+16=0

3

（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率． （2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．

20.（本小题满分12分）某种产品广告的支出x与销售收入y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据.

广告支出x/万元 销售收入y/万元 1 12 2 28 3 42 4 56 （1）画出表中数据的散点图； （2）求出y与x的回归直线方程；

（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少？

n xi－x^

i=1

yi－y

^^

， a＝y－bx.

b＝

n xi－x2

i=1

21．（本小题满分12分）如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合． （Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC； （Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论． 22．（本小题满分12分）

2229xym(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交已知椭圆C：

点A， B，线段AB的中点为M。

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

m(,m)（2）若l过点3，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。

4

第二次精英对抗赛理科数学试题答案

BABCD CAADB BD 13.

31 14.（0，2] 15.4000，1120 16.； 53

17

分析： （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围； （2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

22

解答： 解：（1）由x﹣4ax+3a＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0， 所以a＜x＜3a．

当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3． 由

得

得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜

x≤3．

若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3． （2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p． 即q是p的充分不必要条件，则所以实数a的取值范围是1＜a≤2．

，解得1＜a≤2，

c6，a3，a318.解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0． 依题意 解得 3b1ab222abx2y21． ∴ 椭圆方程为 3（2）假若存在这样的k值，由22ykx2，22x3y302得(13k)x12kx90．

2 ∴ (12k)36(13k)0． ①

12kxx，1213k2 设C(x1，y1)、D(x2，y2)，则 ②

xx91213k2而y1y2(kx12)(kx22)kx1x22k(x1x2)4．

2 要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则

y1y21，即x11x21y1y2(x11)(x21)0．

5

∴ (k21)x1x22(k1)(x1x2)50． ③ 将②式代入③整理解得k 综上可知，存在k77．经验证，k，使①成立． 667，使得以CD为直径的圆过点E． 618．解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型 用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个

22

二次方程x﹣2（a﹣2）x﹣b+16=0有两正根，

等价于

，

即

“方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个 ∴所求的概率为

（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6， 0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）+b＜16}其面积为19. 解答：（1）散点图略.

（2）由散点图可知y与x之间具有线性相关关系. 由题意知x2

2

∴所求的概率P（B）=

2.5，y34.5，x1x2x3x430，

2222x1y1x2y2x3y3x4y4418，

b41842.534.514.6 23042.5ˆ14.6x2 byb，x2 回归直线方程为yˆ （3）将x=9代入yˆ129.4，故投入9万元广告费，销售收入约为14.6x2，得y129.4万元.

20．解答： 解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC， 又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC„

（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA 又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高， 又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，

解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC， 又B'C⊆平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH， ∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角．

，∴，

6

∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为„

解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB' 为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz， 设平面B'OC的法向量为，可得

设平面AB'C的法向量为，由„（7分）

，

故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值为：． （Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点 证明如下：设又平面B'OA的法向量

，

依题意得

解得舍去）

解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA， 所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角，故

，∴

，

∴即P为AB'的中点 21．解答： 解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM． 又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，

而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°． 又∵∠BAC=30°，AC=4，∴

，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，

，

又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，

∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．

∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）． ∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF． 而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．

（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．

而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的

二面角的平面角．

7

在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4， ∴， 由∵

又∵△GCH∽△GBM，∴

，得GC=2．

，

，则

．

∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°， ∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为22．

．

8