对勾函数的性质及应用

一、对勾函数yaxb(a0,b0)的图像与性质：

x1. 定义域：(,0)(0,) 2. 值域：(,2ab][2ab,)

3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，

且函数图像关于原点呈中心对称，即f(x)f(x)0 4. 图像在一、三象限, 当x0时，yaxb2ab（当x且仅当xb取等号），即f(x)在x=b时，取最小值2ab

aa 由奇函数性质知：当x<0时，f(x)在x=b时，取最大值2ab

a5. 单调性：增区间为（b,），（,b）,减区间是（0，b），（b,0）

aaaa

二、对勾函数的变形形式 类型一：函数yaxb(a0,b0)的图像与性质 x1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：(,2ab][2ab,)

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，f(x)在x=b时，取

a最小值2ab；当x0时，f(x)在x=b时，取最大值2ab

a5.单调性：增区间为（0，b），（b,0）减区间是（b,），（,b）,

aaaa

类型二：斜勾函数yax①a0,b0作图如下

1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：R

3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.

1

b(ab0) x②a0,b0作图如下：

1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：R

3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.

ax2bxc类型三：函数f(x)(ac0)。

x此类函数可变形为f(x)axcb，可由对勾函数yaxxc上下平移得到 xx2x1练习1.函数f(x)的对称中心为

x

类型四：函数f(x)xa(a0,k0) xk此类函数可变形为f(x)(xk练习 1.作函数f(x)x 2.求函数f(x)xaa)k，则f(x)可由对勾函数yx左右平移，上下平移得到 xkx1与f(x)x3x的草图 x2x21在(2,)上的最低点坐标 2x4x 3. 求函数f(x)x的单调区间及对称中心

x1

axaa类型五：函数f(x)2此类函数定义域为R，且可变形为f(x) (a0,b0)。2xbbxbxxxa.若a0，图像如下：

1．定义域：(,) 2. 值域：[a12b,a12b]

3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当x0时，

f(x)在xb时，取最大值a，当x<0时，f(x)在x=b时，取最小值a

2b2b5. 单调性：减区间为（b,），（,b）；增区间是[b,b]

2

练习1.函数

f(x)xx21的在区间2,上的值域为

b. 若a0，作出函数图像：

1．定义域：(,) 2. 值域：[a12b3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当x0时，f(x)在xb时，取最小值a，

2ba当x<0时，f(x)在x=b时，取最大值

2b,a12b]

5. 单调性：增区间为（b,），（,b）；减区间是[b,b]

练习1.如a1

2a(xm)2s(xm)ttaxbxca(xm)s(at0)， (a0).可变形为f(x)类型六：函数f(x)xmxmxm2xx1,2，则的取值范围是

x24 则f(x)可由对勾函数yaxt左右平移，上下平移得到 x1x2x1练习1.函数f(x)由对勾函数yx向 （填“左”、“右”）平移 单位，向

x1x（填“上”、“下”）平移 单位.

x27x102.已知x1 ，求函数f(x)的最小值；

x13.已知x1 ，求函数f(x)

3

x29x9的最大值 x1类型七：函数f(x)xm(a0) 2axbxcx1在区间(1,)上的最大值；若区间改为[4,)则f(x)的最大值为 2xx2x22x32.求函数f(x)2在区间[0,)上的最大值

xx2

xababa类型八：函数f(x)xb.此类函数可变形为标准形式：f(x)xa(ba0)

xaxaxa练习1.求函数f(x)练习1.求函数f(x)x3的最小值；

x12．求函数f(x)x5的值域；

x13.求函数f(x)x2的值域

x3

类型九：函数f(x)x2bxa2此类函数可变形为标准形式：f(x)(a0)。

(x2a)2baxa2x2abaxa2(bao)

2练习 1.求函数f(x)x5的最小值；

x24x21 2. 求函数f(x)2的值域

x17

4