一、单选题
1.已知a>b, c>d,则下列不等式中恒成立的是( ) A.a+d>b+c 【答案】D
【解析】利用不等式的性质判断即可. 【详解】
取a2,b1,c3,d100,
则ad98,bc2,adbc,故A错. 又ac6,bd100,acbd,故B错. 取a2,b100,c3,d1,则
B.ac>bd
C.
ab cdD.d-a< c-b
aa2b,100,故C错.
cc3d当ab,cd时,ab,故dacb即dacb,故D正确, 故选D. 【点睛】
本题考察不等式的性质,属于基础题.
2.某学校的A,B,C三个社团分别有学生20人,30人,10人,若采用分层抽样的 方法从三个社团抽取12人参加某项活动,则从A社团中应抽取的学生人数为( )A.2 【答案】B
【解析】分层抽样每部分占比一样,通过A,B,C三个社团为231,易得A中的人数。 【详解】
A,B,C三个社团人数比为231,所以12中A有12B.4
C.5
D.6
23=4人,B有12=6人,66C有12故选:B
1=2人。 6【点睛】
此题考查分层抽样原理,根据抽样前后每部分占比一样求解即可,属于简单题目。
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3.某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 ( ) A.11 【答案】B
【解析】试题分析:使用系统抽样方法,从840人中抽取42人,即从20人抽取1人.∴从编号1~480的人中,恰好抽取480/20=24人, 接着从编号481~720共240人中抽取240/20=12人 【考点】系统抽样
4.“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,用反证法证明命题:反设正确的是()。A.假设三内角都不大于60度; B.假设三内角至多有两个大于60度; C.假设三内角至多有一个大于60度; D.假设三内角都大于60度。 【答案】D
【解析】根据反证法的定义,假设是对原命题结论的否定,即可求得,得到答案. 【详解】
根据反证法的步骤可知,假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”,故选D. 【点睛】
本题主要考查了反证法的概念,以及命题的否定的应用,着重考查了逻辑推理能力,属于基础题.
5.已知变量x和y的统计数据如下表:
B.12
C.13
D.14
x 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 7 6 y
ˆ0.25,据此可以预测当x8时,y的估计值为ˆbx根据上表可得回归直线方程为y( ) A.6.4 【答案】C
B.6.25
C.6.55
D.6.45
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【解析】 由题意知x345672.5344.565,y5,
55ˆ0.25,解得bˆ0.85, 得将点(5,4)代入yˆbxˆ0.8580.256.55,故选C. 所以当x8时,y6.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )
A.使用了“三段论”,但大前提错误 B.使用了“三段论”,但小前提错误 C.使用了归纳推理 D.使用了类比推理 【答案】A
【解析】很明显有理数是整数、有限小数或无限循环小数,据此可得: 该推理使用了“三段论”,但大前提错误. 本题选择A选项.
2xy207.已知点A(-2,0),点M(x,y)为平面区域{x2y40上的一个动点,则|AM|
3xy30的最小值是( ) A.5 【答案】D
B.3
C.22 D.
65 52xy20 【解析】【详解】试题分析:作出不等式组{x2y40,表示的平面区域,如下图:
3xy30
由图可知:|AM|的最小值是点A(-2,0)到平面区域的边界线2xy20的距离,由点到直线的距离公式,得:
AMmin2(2)02221265, 5第 3 页 共 14 页
故选D.
【考点】线性规划.
8.长郡中学高三学生小明利用暑假期间进行体育锻炼.一次他骑ofo共享单车时,骑的同一辆车第二次开锁(密码为四位数字)时忘记了密码的中间两位,只记得第二位数字是偶数,第三位数字非零且是3的倍数,则小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是( ) A.
1 15B.
1 8C.
1 5D.
1 3【答案】A
【解析】第二位数字可能是0,2,4,6,8 ; 第三位数字可能是3,6,9 ;所以小明该输入一次密码能够成功开锁的概率是
11 ,选A. 5315点睛:古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.
(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法:适用于条件较多且元素数目较多的题目.
9.设i是虚数单位,条件p:复数a1bia,bR是纯虚数,条件q:a1,则p是
q的( )
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A
【解析】复数a1bi是纯虚数,必有a1,b0,利用充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】
若复数a1bi是纯虚数,必有a1,b0,所以由p能推出q; 但若a1,不能推出复数a1bi是纯虚数. 所以由q不能推出p., 因此p是q充分不必要条件,故选A. 【点睛】
本题主要考查复数的基本概念以及充分条件与必要条件的定义,属于简单题. 判断充要
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B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
条件应注意:首先弄清条件p和结论q分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试pq,qp.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
10.执行如图所示的程序框图,如果输出S=132,则判断框中应填( )
A.i≥10? 【答案】B
B.i≥11? C.i≥12? D.i≤11?
【解析】程序执行过程中的数据变化如下:i12,s1,
12…11,s12,i11, 11…11,s132,i10, 10…11,不成立,输出s132.
故选B.
点睛:解决此类问题的关键是读懂程序框图,明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了个空格需要填写,所以需要抓住循环的重点,该如何增量,判断框内如何进行判断可以根据选项排除.
11.以下四个命题:①命题“若x23x20,则x1”的逆否命题为“若x1,则
x23x20”;②“x2”是“x23x20”的充分不必要条件; ③若pq为假
④对于命题p:xR使得x2x10,命题,则p,q均为假命题;则p为xR,均有x2x10.其中,真命题的个数是 ( ) A.1个 【答案】C
【解析】根据四种命题的定义,我们可以判断A的真假;根据充分不必要条件的定义,我们可以判断B的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断C的真假;根据特称命题的否定
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B.2个
C.3个
D.4个
方法,我们可以判断D的真假,进而得到答案. 【详解】
命题“若x23x20,则x1”的逆否命题为“若x1,则x23x20”,故①正确;
不等式x23x20,解得x2或x1,所以x2x23x20,
x23x20x2,“x2”是“x23x20”的充分不必要条件. ②正确;
若pq为假命题,则p,q至少有一个为假,故③错误;
命题p:xR使得x2x10的否定p为xR,均有x2x10.④正确 故答案选C. 【点睛】
本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,四种命题间的逆否关系,充分不必要条件,是对简单逻辑综合的考查,属于简单题型.
12.某市1路公交车每日清晨6:30于始发站A站发出首班车,随后每隔10分钟发出下一班车.甲、乙二人某日早晨均需从A站搭乘该公交车上班,甲在6:35-6:55内随机到达A站候车,乙在6:50-7:05内随机到达A站候车,则他们能搭乘同一班公交车的概率是 ( ) A.
1 6B.
1 4C.
1 3D.
5 12【答案】A
【解析】建立如图所示的直角坐标系,x,y分别表示甲,乙二人到达A站的时刻,则坐标系中每个点x,y可对应某日甲乙二人到达车站时刻的可能性.根据题意,甲乙二人到达A站时间的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,而其中二人可搭乘同一班车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为
5101.
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二、填空题
13.一组数据从小到大排列,依次为2,3,4,x,9,10,若它们的中位数与平均数相等,则x______. 【答案】8
【解析】先计算平均数和中位数,根据题意得出关于x的方程,解方程得到x的值. 【详解】
因为数据2,3,4,x,9,10的中位数与平均数相等,所以解得x8. 【点睛】
主要考查了平均数,中位数的概念和方程求解的方法.要掌握这些基本概念才能熟练解题.
14.我国古代数学名著《九章算术》记载:“勾股各自乘,并之,为弦实”,用符号表示b,c∈N),b,c叫做勾股数.3,4,5;5,12,13;为a2+b2=c2(a,把a,下列给出几组勾股数:7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组勾股数的第二个数是________. 【答案】60
【解析】由前四组勾股数可得第5组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x1,列出方程,即可求解. 【详解】
由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,
222设第二、三个数为:x,x1,所以(x1)11x,
4x234x910,26解得x60,所以第5组勾股数的三个数依次为11,60,61,
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故答案为:60. 【点睛】
本题主要考查了合情推理的应用,其中解答中认真审题,合理进行归纳、列出方程计算是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
(x4)(y2)15.设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为_________.
xy【答案】9
【解析】将分式展开,利用基本不等式求解即可 【详解】
(x4)(y2)xy82x4yxy16161
xyxyxyxy又x+2y=422xy,即xy2,当且仅当x2,y1等号成立,故原式9 故填9 【点睛】
本题考查基本不等式求最值,考查等价变换思想与求解能力,注意等号成立条件 16.已知p:x3x10;q:xa22a2,p是q 的充分不必要条件,则实数a的取值范围是___________. 【答案】(,1][3,)
p是¬q的充分不必要条件,转化为q是p的充分不必要条件,建立不等【解析】根据¬式关系进行求解即可 【详解】
已知p:x3x10,可知p:x>1或x<-3,
∵p是q 的充分不必要条件,∴q是p的充分不必要条件, 得a22a2≥1,解得a≤ -1或a≥3, 即a∈,13, 【点睛】
本题考查了充分条件和必要条件的应用,利用逆否命题的等价性,将条件进行转化是解决本题的关键
三、解答题
17.(本小题满分10分)若关于x的不等式(1-a)x2-4x+6<0的解集是{x| x<-3或
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x> 1}.
(1)求实数a的值;
(2)解关于x的不等式2x2+(2-a)x-a>0. 【答案】(1)3 (2) x|x1或x3 2【解析】试题分析:(1)利用一元二次不等式解集的边界值为与不等式对应的方程的根,结合根与系数的关系可求得实数a的值;(2)将实数a的值代入不等式,求得二次方程的根,结合二次函数图像可得到不等式的解集
试题解析:(1)由题意,知1-a<0且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,
1a042, ∴1a631a解得a=3.
(2)由(1)得不等式2x2+(2-a)x-a>0即为2x2-x-3>0, 解得x<-1或x>
3.∴所求不等式的解集为x|x1或x23. 2【考点】一元二次不等式解法
18.已知p:二次函数f(x)x2ax2在[1,)上是增函数;q:指数函数
f(x)6a2a在定义域内是增函数;命题“pq”为假,且“p”为假,求实数a
x的取值范围. 【答案】11a 32【解析】求出命题p,q为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可. 【详解】 p:对称轴xa1a2 22>0a<或a>q:由6a2﹣a>1即6aa1由命题“p∧q”为假,且“¬p”为假⇒p真q假
131 2a211即11a
32a23第 9 页 共 14 页
【点睛】
本题主要考查复合命题真假关系的应用,结合条件判断p,q的真假是解决本题的关键.19.一个盒子中有5只同型号的灯泡,其中有3只一等品,2只二等品,现在从中依次取出2只,设每只灯泡被取到的可能性都相同,请用“列举法”解答下列问题: (Ⅰ)求第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的概率; (Ⅱ)求至少有一次取到二等品的概率. 【答案】(Ⅰ)
37;(Ⅱ). 1010【解析】列举出所有的基本事件,共有20个, (I)从中查出第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品的基本事件数共有6个,利用古典概型的概率公式可得结果;(II)事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”,“取到的全是一等品”包括了6个事件,“至少有一次取到二等品”取法有14种, 利用古典概型的概率公式可得结果. 【详解】
(I)令3只一等品灯泡分别为a,b,c;2只二等品灯泡分别为X,Y. 从中取出2只灯泡,所有的取法有20种,分别为:
,c,X,c,Y,a,b,a,c,a,X,a,Y,b,a,b,c,b,X,b,Y,c,a,
X,a,X,b,X,c,X,Y,Y,a,Y,b,Y,c,Y,X
第一次取到二等品,且第二次取到的是一等品取法有6种, 分别为X,a,X,b,X,c,Y,a,Y,b,Y,c,故概率是
63; 2010(II)事件“至少有一次取到二等品”的对立事件是“取到的全是一等品”, “取到的全是一等品”包括了6种分别为a,b,a,c,b,a,b,c,c,a,c,b, 故“至少有一次取到二等品”取法有14种,事件“至少有一次取到二等品”的概率是
147. 2010【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有 ,(1)枚举法:适合给定的基(2)树状图法:本事件个数较少且易一一列举出的;适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先(A1,B1),(A1,B2)….
(A1,Bn),再(A2,B1),(A2,B2)…..(A2,Bn)依次(A3,B1)(A3,B2)….(A3,Bn)… 这样
才能避免多写、漏写现象的发生.
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20.命题P:x20;命题q:x22ax2ab10 x3 (1)若b4时,x22ax2ab10在xR上恒成立,求实数a的取值范围;(2)若p是q的充分必要条件,求出实数a,b的值 【答案】(1)(1,3);(2)a5,b12。 22 【解析】(1)若x22ax2a30在xR上恒成立,则4a42a30;(2)由题意可知x22ax2ab10的解集是,23, 【详解】
(1)若x22ax2a30在xR上恒成立, 则4a42a30,
2所以有1a3,
所以实数a的范围为1,3; (2)
x20x2x30x3或x2, x3根据条件x22ax2ab10的解集是,23,, 即方程x22ax2ab10的二根为2和3,
5a,2a5根据韦达定理有2, 2ab16b12所以a【点睛】
(1)二次函数图象与x轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式。
(2)二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.有关二次函数的问题,利用数形结合的方法求解,密切联系图象是探求解题思路的有效方法. 21.(1)已知a,bR,且a3b60,求2(2)已知a,b是正数,且满足ab1,求
a5,b12。 21的最小值. b814
的最小值. ab
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【答案】(1)
1;(2)9. 4a【解析】(1)利用基本不等式结合指数幂的运算求出2(2)将代数式ab与【详解】
(1)Qa3b60,a3b6, 由基本不等式可得2a1的最小值; b81414
相乘,展开后利用基本不等式可求出的最小值. abab
11a3ba3ba3b6222222222, b84a3ba311a当且仅当,即当时,等号成立,所以,2b的最小值为;
84a3b6b1(2)由基本不等式可得
14144ab4abab5259, ababbaba4ab1baa143当且仅当ab1,即当时,等号成立,所以,的最小值为9.
abb2a0,b03【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值,解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑,同时注意定值条件的应用,考查计算能力,属于中等题.
22.“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如图:
(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小(不要求计算具体值,给出结论即可);
(2)若得分不低于85分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此
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种交通方式“不认可”,请根据此样本完成此列联表,并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关; 认可 不认可 合计
(3)若此样本中的A城市和B城市各抽取1人,则在此2人中恰有一人认可的条件下,此人来自B城市的概率是多少?
A B 合计 nadbc(参考公式:K2)
abcdacbdPK2k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 2k
【答案】(1)A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值;(2)没有;(3)【解析】(1)观察茎叶图即可求解.
(2)由茎叶图列出列联表,根据性检验的思想对照临界值即可求解. (3)利用条件概率的求法即可求解. 【详解】
(1)A城市评分的平均值小于B城市评分的平均值; (2) 认可 不认可 3 4A 5 15 B 10 10 合计 15 25 第 13 页 共 14 页
合计
20 20 40 405101015K22.6673.841,
20201525所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关; (3)设事件M:恰有一人认可; 事件N:来自B城市的人认可;
事件M包含的基本事件数为5101015200, 事件MN包含的基本事件数为1015150, 则所求的条件概率PN|M【点睛】
本题考查了茎叶图、性检验基本思想的应用、条件概率,属于中档题.
2PNIM1503.
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