数学试卷
一、单选题（共10小题）. 1．下列二次根式中，不能与A．
B．
合并的是（ ）
C．
D．
2．已知x＝﹣2是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（ ） A．﹣12
B．﹣4
C．4
D．12
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A．等腰三角形 4．解方程
A．直接开平方法 C．公式法
B．平行四边形
C．等边三角形
D．直角三角形
，较简便的解法是（ ）
B．配方法 D．因式分解法
5．一组数据1，2，3，4，5的方差与下列哪组数据的方差相同的是（ ） A．2，4，6，8，10 C．11，12，13，14，15 6．设x，y为实数，且A．1 7．已知m＝A．4＜m＜5
+
B．9 ，则（ ） B．5＜m＜6
C．6＜m＜7
D．7＜m＜8
B．10，20，30，40，50 D．11，22，33，44，55 ，则|y﹣x|的值是（ ）
C．4
D．5
8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．7
9．已知关于x的一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与一元一次方程2x﹣4＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）+（2x﹣4）＝0有两个相等的实根，则
x2＝（ ） A．﹣2
B．﹣4
C．2
D．4
10．已知▱ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△
AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（
）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（共6小题）.
11．如果一个多边形的内角和为540°，那么这个多边形是 ．
12．用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设 ． 13．如图，有一块长21m，宽10m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90m2．设人行通道的宽度为xm，根据题意可列方程： ．
14．小方的数学平时成绩为84分，期中成绩为80分，学校按平时、期中、期末成绩之比为3：3：4的比例计算学期的总评成绩，他计划总评成绩要达到85分，则期末考试他至少要得到 分．
15．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝28°，则∠A的度数为 ．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0，有两个不相等的实数；
②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．
④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立． 其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题（共66分） 17．计算： （1）（2）
18．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣1）2＝4；
（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．
19．学校抽查了某班级某月份其中5天的用电量，数据如表（单位：度）：
度数 天数
9 3
11 1
12 1
；
．
（1）求这5天用电量的平均数，众数，中位数．
（2）学校共有48个班级，若该月在校时间按22天计，试估计该校该月的总用电量． 20．已知m，n是实数，定义运算“*”为：m*n＝mn+n． （1）分别求4*（﹣2）与4*
的值；
（2）若关于x的方程x*（a*x）＝﹣有两个相等的实数根，求实数a的值．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）求证：AF＝DE．
22．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 件，每件盈利 元；（用x的代数式表示）
（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；（3）平均每天赢利1200元是最大日赢利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日赢利的最大值．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，Q分别从点B，A同时出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（共10小题）. 1．下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A．
B．
C．
解：A、，故A能与合并；
B、，故B能与
合并；
C、，故C不能与合并； D、，故D能与
合并；
故选：C．
2．已知x＝﹣2是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（ A．﹣12
B．﹣4
C．4
解：把x＝﹣2代入x2﹣4x+c＝0，得 （﹣2）2﹣4×（﹣2）+c＝0， 解得c＝﹣12． 故选：A．
3．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A．等腰三角形
B．平行四边形
C．等边三角形
解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 4．解方程
，较简便的解法是（ ）
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法
D．因式分解法
【分析】根据方程的特点得出即可．
D．
D．12
D．直角三角形）
解：解方程故选：D．
较简便的解法是因式分解法，
5．一组数据1，2，3，4，5的方差与下列哪组数据的方差相同的是（ ） A．2，4，6，8，10 C．11，12，13，14，15
B．10，20，30，40，50 D．11，22，33，44，55
解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减， 故方差不变，
∵11，12，13，14，15是在原数据1，2，3，4，5中每个数均加上10， ∴数据1，2，3，4，5的方差与数据11，12，13，14，15的方差相同， 故选：C． 6．设x，y为实数，且A．1
B．9
，则|y﹣x|的值是（ ）
C．4
D．5
【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值． 解：∵
∴5﹣x≥0，5﹣x≤0， ∴5﹣x＝0， 解得x＝5， ∴y＝4，
∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1． 故选：A． 7．已知m＝A．4＜m＜5
+
，则（ ） B．5＜m＜6
C．6＜m＜7
D．7＜m＜8
，
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案． 解：m＝∵2＜∴6＜4+
＜3， ＜7，
+
＝4+
，
∴6＜m＜7， 故选：C．
8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．7
【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，然后代入数据进行计算即可得解．
解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3， ∴BC＝
＝
＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC， 又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11． 故选：A．
9．已知关于x的一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与一元一次方程2x﹣4＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）+（2x﹣4）＝0有两个相等的实根，则x2＝（ ） A．﹣2
B．﹣4
C．2
D．4
【分析】先解方程2x﹣4＝0得x1＝2，则一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）+（2x﹣4）＝0变形为（x﹣2）（x﹣x2）+2x﹣4＝0，整理得x2﹣x2x+2x2﹣4＝0，利用判别式的意义得到△＝（﹣x2）2﹣4（2x2﹣4）＝0，然后解关于x2的方程即可． 解：∵解方程2x﹣4＝0得x＝2， ∴x1＝2，
∵一元二次方程（x﹣x1）（x﹣x2）+（2x﹣4）＝0变形为（x﹣2）（x﹣x2）+2x﹣4＝0，
整理得x2﹣x2x+2x2﹣4＝0，
∴△＝（﹣x2）2﹣4（2x2﹣4）＝0，解得x2＝4． 故选：D．
10．已知▱ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△
AEF；④∠BFE＝3∠CEF．中一定成立的是（
）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△MBF≌△ECF，利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案． 解：①∵F是BC的中点， ∴BF＝FC，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB， ∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠FAB，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确； ②延长EF，交AB延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MBF＝∠C， ∵F为BC中点， ∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA）， ∴FE＝MF，∠CEF＝∠M， ∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BAE＝90°， ∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确； ③∵EF＝FM， ∴S△AEF＝S△AFM， ∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误； ④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x， ∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x， ∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x， ∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确， 故选：A．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如果一个多边形的内角和为540°，那么这个多边形是 五边形 ．
【分析】设多边形的边数为n，根据题意得出（n﹣2）×180°＝540°，即可求出边． 解：设多边形的边数为n，则（n﹣2）×180°＝540°， 解得：n＝5． 故答案为：五边形
12．用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设 同一三角形中最多有一个锐角 ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
解：用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多有一个锐角．
故答案为：同一三角形中最多有一个锐角．
13．如图，有一块长21m，宽10m的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为90m2．设人行通道的宽度为xm，根据题意可列方程： （21﹣3x）（10﹣2x）＝90 ．
【分析】设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，根据两块绿地的面积和为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 解：设人行通道的宽度为xm，则两块绿地可合成长（21﹣3x）m，宽（10﹣2x）m的矩形，
依题意得：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90． 故答案为：（21﹣3x）（10﹣2x）＝90．
14．小方的数学平时成绩为84分，期中成绩为80分，学校按平时、期中、期末成绩之比为3：3：4的比例计算学期的总评成绩，他计划总评成绩要达到85分，则期末考试他至少要得到 89.5 分．
【分析】可设期末考试他要得到x分，根据计划总评成绩要达到85分，列出不等式求解即可．．
解：设期末考试他要得到x分，依题意有 84×
+80×
+
x≥85，
解得x≥89.5．
故期末考试他至少要得到89.5分． 故答案为：89.5．
15．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝28°，则∠A的度数为 59°或31° ．
【分析】由平行四边形的性质和题意画出图形，由直角三角形的性质得出∠BDE＝62°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠A的度数、分两种情况． 解：根据平行四边形的性质和题意画出图形，分2种情况：①如图1所示 ∵BE是AD边上的高，∠EBD＝28°， ∴∠BDE＝90°﹣28°＝62°， ∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝（180°﹣62°）＝59°； ②如图2所示：同①得：∠BDE＝62°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠A＝62°÷2＝31°；
上所述：∠A的度数为59°或31°， 故答案为：59°或31°．
16．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0，有两个不相等的实数；
②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根．则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立．
④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立． 其中正确的结论是 ①④ ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【分析】①根据根的判别式即可作出判断；
②方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，当c＝0时，cx2+bx+a＝0不成立；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则代入即可作出判断；
④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，即方程有实根，判别式△≥0，结合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
解：①因为a+c＝0，a≠0，所以①a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根； ②当c＝0时不成立；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立；
④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2＝4abm﹣4abm﹣4ac+b2＝b2﹣4ac．
所以①④成立． 故答案为：①④． 三、解答题（共66分） 17．计算： （1）（2）
；
．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 解：（1）原式＝3＝
；
+1）+）2
][（
+1）﹣
]
﹣2
﹣
（2）原式＝[（＝（＝3+2＝2
+1）2﹣（+1﹣2 +2．
18．用适当的方法解下列方程： （1）（x﹣1）2＝4；
（2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2．
【分析】（1）方程利用直接开方法求出解即可； （2）方程移项整理后，利用因式分解法求出解即可． 解：（1）（x﹣1）2＝4， 开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1； （2）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2，
方程整理得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 分解因式得：（x﹣2）（3x﹣x+2）＝0， 解得：x1＝2，x2＝﹣1．
19．学校抽查了某班级某月份其中5天的用电量，数据如表（单位：度）：
度数 天数
9 3
11 1
12 1
（1）求这5天用电量的平均数，众数，中位数．
（2）学校共有48个班级，若该月在校时间按22天计，试估计该校该月的总用电量． 解：（1）这5天用电量的平均数是：（9×3+11×1+12×1）÷5＝10（度）； 9度出现了3次，最多，故众数为9度； 第3天的用电量是9度，故中位数为9度；
（2）10×22×48＝10560（度）， 答：估计该校该月用电10560度．
20．已知m，n是实数，定义运算“*”为：m*n＝mn+n． （1）分别求4*（﹣2）与4*
的值；
（2）若关于x的方程x*（a*x）＝﹣有两个相等的实数根，求实数a的值． 【分析】（1）利用新定义得到4*（﹣2）＝4×（﹣2）+（﹣2）；4*然后进行实数运算即可；
（2）利用新定义得到x（ax+x）+ax+x＝﹣，整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）×（﹣）＝0，然后解关于a的方程即可．
＝4×
+
，
解：（1）4*（﹣2）＝4×（﹣2）+（﹣2）＝﹣8﹣2＝﹣10； 4*
＝4×
+
＝5
；
（2）a*x＝ax+x，
由x*（ax+x）＝﹣得x（ax+x）+ax+x＝﹣， 整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，
因为关于x的方程（a+1）x2+（a+1）x+＝0有两个相等的实数根， 所以a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）×＝0， 所以a＝0．
21．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G． （1）求证：BE⊥CF； （2）求证：AF＝DE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∵BE、CF分别平分∠ABC与∠DCB， ∴∠EBC＝∠ABC，∠FCB＝∠DCB， ∴∠EBC+∠FCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴∠BGC＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）＝90°， ∴BE⊥CF；
（2）证明：在平行四边形ABCD中， ∴AD∥BC，AB＝DC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE，
同理可得：DC＝DF， ∴AE＝DF，
∴AE﹣FE＝DF﹣FE， 即AF＝DE．
22．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 （20+2x） 件，每件盈利 （40﹣x） 元；（用x的代数式表示）
（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；（3）平均每天赢利1200元是最大日赢利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日赢利的最大值．
解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元， 故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件， 根据题意得：（120﹣80﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ∴x＝20．
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元； （3）1200元不是最大日盈利．
设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，
根据题意得：（120﹣80﹣x）（20+2x）＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
所以平均日盈利的最大值为1250元．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，Q分别从点B，A同时出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． （1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？
（3）当0＜t＜10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t， CP＝21﹣2t， ∴16﹣t＝21﹣2t， 解得：t＝5，
当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t， CP＝2t﹣21， ∴16﹣t＝2t﹣21， 解得：t＝∴当t＝5或
，
秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时， （DQ+CP）•AB＝60， 即（16﹣t+21﹣2t）×12＝60， 解得：t＝9（秒）， 若点P返回时，CP＝2t﹣2， 则（16﹣t+2t﹣21））×12＝60， 解得：t＝15（秒）．
故当t＝9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2； （3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，
∵QH＝HD＝QD＝（16﹣t）， ∵AH＝BP，
∴2t＝（16﹣t）+t， ∴t＝
秒；
当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t，QD＝16﹣t， ∵QD2＝PQ2＝t2+122， ∴（16﹣t）2＝122+t2， 解得t＝（秒）；
当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，
∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+（16﹣2t）2， ∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2， 即3t2﹣32t+144＝0， ∵△＜0， ∴方程无实根， 综上可知，当t＝
秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
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