数学试卷97年普通高等国统一考试.理科数学试题及答案

1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题共65分）

注意事项:

1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再

选涂其它答案,不能答在试题卷上.

3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.

一.选择题:本大题共15小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(15)题每小题5分,共65分.在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)设集合M=｛x│0≤x<2｝,集合N=｛x│x2-2x-3<0｝,集合M∩N=

(A)｛x│0≤x<1｝ (B)｛x│0≤x<2｝

(C)｛x│0≤x≤1｝ (D)｛x│0≤x≤2｝

(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=

(A)-3 (B)-6 (C)-3/2 (D)2/3

(A) (B) (C) (D) (4)已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面都相等,且AB=AC=棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 (A)arocos(

/3) (B)arccos(1/3)

,则以BC为

(C)π/2 (D)2π/3

(5)函数y=sin[(π/3)-2x]+cos2x的最小正周期是

(A)π/2 (B)π (C)2π (D)4π

(6)满足arccos(1-x)≥arccosx的x的取值范围是

(A)[-1,-1/2] (B)[-1/2,0] (C)[0,1/2] (D)[1/2,1] (7)将y=2x的图象

(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位

(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下

平行移动1个单位

再作关于直线y=x对称的图象,可得到函数y=log2(x+1)的

图象.

(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶

点都在同一个球面上,这个球的表面积是

(A)20

π (B)25

(D)200π

π (C)50π

(10)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为

(A)2 (B)6 (C)-1/4

(D)6

(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的

体积是

(A)2π/3 (B)2π (C)7π/6

(D)7π/3

(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)

在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重

合.设a>b>0,给出下列不等式:

①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)其中成立的是

(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③

(D)②与④

(A){x|0＜x＜2} (B){x|0＜x＜

2.5}

(C){x|0＜x＜

} (D){x|0＜x＜3}

(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共

面的点,不同的取法共有

(A)150种 (B)147种 (C)144种

(D)141种

第Ⅱ卷 (非选择题共85分)

二．填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．

16．已知(axx99)的展开式中x3的系数为,常数a的值为________ 2417．已知直线的极坐标方程为sin(18．

4

)=

2,则极点到该直线的距离是_____ 2sin7cos15sin8的值为_______ cos7sin15sin819．已知m,l是直线，、是平面，给出下列命题： ①若l垂直于内的两条相交直线，则l； ②若l平行于,则l平行于内的所有直线； ③若m,l,且lm,则； ④若l,且l,则； ⑤若m,l,且∥,则m∥l．

其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都填上) ．

三．解答题:本大题共6小题;共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

20．(本小题满分10分) 已知复数z312223i,i．复数z,z在复数平面上所对应的点分别2222为P,Q．证明OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

21．(本小题满分11分)

已知数列an,bn都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且p1，

q1．设cnanbn,Sn为数列cn的前n项和．求lim22．（本小题满分12分）

Sn．

nSn1甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已

知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v．．．．．．．．(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．

I．把全程运输成本．．．．．．y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域；

II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ ．．．．．．23．（本小题满分12分）

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．

I．证明ADD1F； II．求AE与D1F所成的角； III．证明面AED面A1FD1；

IV．设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积VFA1ED1 24．(本小题满分12分)

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)－x=0的两个根x1,x2满足0II．设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0<(25)（本小题满分12分）

设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．

1． ax125． 21997年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

一．选择题:本题考查基本知识和基本运算．

1．B 11．A

二．填空题:本题考查基本知识和基本运算．

16．4 17．

2．B 12．D

3．A 13．C

4．C 14．C

5．B 15．D

6．D

7．D

8．C

9．B 10．B

2 18．23 19．①，④ 2

注:第(19)题多填、漏填和错填均给0分．

三．解答题

20．本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

解法一：

z31icos()isin(),2266

于是

22icosisin 2244zcosisin,1212

zcos(12)isin(12),

33z23[cos()isin()](cosisin)3344

55 isin12125因为OP与OQ的夹角为()，所以OP⊥OQ．

12122cos因为OPz1.OQz231，所以OPOQ

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． 解法二: 因为z31icos()isin()，所以z3i． 226622icosisin，所以41 2244因为

z23z23zz34于是22i

zzzz由此得OP⊥OQ，│OP│=│OQ│．

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． (21)本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．满分11分．

解:

a1(pn1)b1(qn1)Sn,

p1q1Sna1(q1)(pn1)b1(p1)(qn1)． n1n1Sn1a1(q1)(p1)b1(p1)(q1)分两种情况讨论． (Ⅰ)p>1． ∵pq0,0q1, pSn

nSn1lim1qn1p[a1(q1)(1n)b1(p1)(nn)]ppp limn1n1q1pn1[a1(q1)(1n1)b1(p1)(n1n1)]pppn1qn1)b(p1)[()n]1pnpp=plim

n1qn11a1(q1)(1n1)b1(p1)[()n1]pppa1(q1)(1p=p． (Ⅱ)p<1． ∵ 0a1(q1)

a1(q1)

Sn

nSn1lima1(q1)(pn1)b1(p1)(qn1) limna(q1)(pn11)b(p1)(qn11)11a1(q1)b1(p1)1

a1(q1)b1(p1)(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，满分12分．

解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

s，全程运输成本为vyaSSabv2S(bv) vvv故所求函数及其定义域为

ayS(bv),v(0,c]

v(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有

aS(bv)2Sab v当且仅当

abv,．即vva时上式中等号成立 b若

ac，则当vba时，全程运输成本y最小， b若

ac，则当v(0,c]时，有 baaS(bv)S(bc) vcaaS[()(bvbc)]

vcS(cv)(abcv) =vc因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0， 所以S(aabv)S(bc)，且仅当v=c时等号成立， vc也即当v=c时，全程运输成本y最小．

综上知，为使全程运输成本y最小，当

ababc时行驶速度应为v；当bbabc时行驶速度应为v=c． b(23)本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力，满分12分．

解:(Ⅰ)∵AC1是正方体， ∴AD⊥面DC1． 又D1F面DC1， ∴AD⊥D1F．

(Ⅱ)取AB中点G，连结A1G，FG．因为F是CD的中点，

所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．

设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F，由(Ⅱ)知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED．又因为D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1．

(Ⅳ)连结GE，GD1．

∵FG∥A1D1，∴FG∥面A1ED1， ∴VFA1ED1VGA1ED1VD1A1GE ∵AA1=2，

∴SA1GES正方形ABBA2SAAGSGBE11

1

1VFA1ED1VD1A1GEA1D1SA1GE33 21321 32(24)本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分12分．

证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)－x．因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，所以 F(x)=a(x－x1)(x－x2)．

当x∈(0，x1)时，由于x10，又a>0，得

F(x)=a(x－x1)(x－x2)>0， 即xx1f(x)x1[xF(x)]x1xa(x1x)(xx2)(x1x)[1a(xx2)]因为0xx1x2

1 a所以x1－x>0，1+a(x－x2)=1+ax－ax2>1－ax2>0． 得 x1－f(x)>0． 由此得f(x)x0b 2ab1， a因为x1，x2是方程f(x)－x=0的根，即x1，x2是方程ax2+(b－1)x+c=0的根． ∴x1x2x0a(x1x2)1ax1ax21b 2a2a2aax1x1． 2a2因为ax2<1，所以x0(25)本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．

解法一:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│， │a│．

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为2r，故r2=2b2，

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2=a2+1．

从而得2b2－a2=1．

又点P(a，b)到直线x－2y=0的距离为

da2b5，

所以5d2=│a－2b│2 =a2+4b2－4ab ≥a2+4b2－2(a2+b2) =2b2－a2=1，

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值． 由此有

ab, 222ba1解此方程组得

a1,a1,或 b1;b1.由于r2=2b2知r2．

于是，所求圆的方程是

(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2． 解法二:同解法一，得da2b5

∴a2b5d

得a4b45bd5d 将a2=2b2－1代入①式，整理得

222 ①

2b245db5d210

②

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

△=8(5d2－1)≥0，

得 5d2≥1．

∴5d2有最小值1，从而d有最小值

5． 5将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．

将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1． 综上a=±1，b=±1，r2=2． 由a2b=1知a，b同号． 于是，所求圆的方程是

(x－1) 2+(y－1) 2=2，或(x+1) 2+(y+1) 2=2．