1997年全国统一高考数学试卷(理科)

1997年全国统一高考数学试卷（理科）

一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（ ） A ．{x|0≤x＜1} B． { x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D． { x|0≤x≤2} 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（ ） A ．﹣6 B．﹣ 3 C． D．

3．（4分）函数y=tan（ A ．

B．

）在一个周期内的图象是（ ） C．

D．

，BC=2．则二面角P﹣BC﹣

4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=A的大小为（ ） A ． B． C． D．

5．（4分）函数y=sin（ A ．

B．π

）+cos2x的最小正周期是（ ）

C．2π

D．4 π

6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（ ） A ． ﹣，0] C． D． ，1] [﹣1，﹣] B．[[0，] [

7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（ ） A ．先向左平行移B． 先 向右平行移

动1个单位 动1个单位 C ．先向上平行移D． 先 向下平行移

动1个单位 动1个单位 8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ．20π B．2 5π C．50π D．2 00π

9．（4分）曲线的参数方程是

（t是参数，t≠0），它的普通方程是（ ）

A ．（x﹣1）2（yB．

y=﹣1）=1

C． D．

10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（ ） A ．2 B．0 C． D．6

11．（5分）椭圆C与椭圆 A ．

B．

C．

关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ） D．

12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ） A ． B．2 π C． D．

π π π

13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式： ①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）； ②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）； ③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）； ④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a）， 其中成立的是（ ） A ．①与④ B．② 与③ C．①与③ D．② 与④

14．（5分）不等式组

的解集是（ ）

A ．{x|0＜x＜2} B． { x|0＜x＜2.5} C． D{ x|0＜x＜3} ． 15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ） A ．150种 B．1 47种 C．144种 D．1 41种

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知

17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为离是

_________ ．

18．（4分）

的值为 _________ ．

，则极点到该直线的距

的展开式中x3的系数为，常数a的值为 _________ ．

19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是 _________ ．

三、解答题（共6小题，满分69分） 20．（10分）已知复数

，

．复数

，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，

Q．

证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）． 21．（11分）已知数列{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设cn=an+bn，Sn为数列{cn}的前n项和．求

．

22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点． （1）证明AD⊥D1F；

（2）求AE与D1F所成的角．

24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．

（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1； （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜

．

25．（12分）（2012•北京模拟）设足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．

1997年全国统一高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分） 1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（ ） A ．{x|0≤x＜1} B． { x|0≤x＜2} C．{x|0≤x≤1} D． { x|0≤x≤2}

考点： 交集及其运算． 分析： 解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答： 解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，

故选B

点评： 本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单． 2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（ ） A ．﹣6 B．﹣ 3 C． D．

考点： 专题： 分析： 解答：

直线的一般式方程与直线的平行关系． 计算题．

根据它们的斜率相等，可得

=3，解方程求a的值．

解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴

=3，∴a=﹣6．

点评：

故选A．

本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．

）在一个周期内的图象是（ ） C．

D．

3．（4分）函数y=tan（ A ．

B．

考点： 专题： 分析：

正切函数的图象． 综合题． 先令tan（

）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（）

的最小正周期为2π，排除B．

解答：

解：令tan（不是

，排除C，D

）的周期T=

=2π，故排除B

）=0，解得x=kπ+

，可知函数y=tan（

）与x轴的一个交点

∵y=tan（

点评： 4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=A的大小为（ ） A ． B． C． D．

考点： 专题： 分析：

故选A

本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．

，BC=2．则二面角P﹣BC﹣

解答：

平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 计算题．

要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．

解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=，

得PB=PC=，PA=BC=2，

取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=故选C．

，

点评：

求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．

）+cos2x的最小正周期是（ ）

C．2π

D．4 π

5．（4分）函数y=sin（ A ．

考点： 分析： 解答：

B．π

三角函数的周期性及其求法． 先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解：∵f（x）=sin（=∴T=

sin（2x+θ） =π

）+cos2x=

cos2x﹣sin2x+cos2x=（

+1）cos2x﹣sin2x

点评：

故选B．

本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．

6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（ ） A ． ﹣，0] C． D． ，1] [﹣1，﹣] B．[[0，] [

考点： 专题： 分析： 解答：

反三角函数的运用． 计算题．

应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．

解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx] 所以1﹣x≤x，即：x

，

又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]

故选D．

本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．

点评： 7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（ ） A ．先向左平行移B． 先 向右平行移

动1个单位 动1个单位 C ．先向上平行移D． 先 向下平行移

动1个单位 动1个单位

考点： 反函数；函数的图象与图象变化． 分析： 本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，

作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，

建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．

解答： 解：利用指数式和对数式的互化，

由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1 则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R） 即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1， 易见，只需将其向下平移1个单位即可． 故选D

点评： 本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简

便易行，值得尝试．

8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ．20π B．2 5π C．50π D．2 00π

考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面

积．

解答： 解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，

∴R=

．

∴S球=4π×R2=50π．

故选C

点评：

本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．

9．（4分）曲线的参数方程是 A ．（x﹣1）2（yB．

y=﹣1）=1

考点： 专题： 分析： 解答：

解：∵曲线的参数方程是

（t是参数，t≠0），它的普通方程是（ ） C．

D．

参数方程的概念．

计算题．

由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．

（t是参数，t≠0），

∴，

∴将两个方程相乘可得，

（x﹣1）2（1﹣y）=1， ∴y=

，

点评：

故选B．

此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（ ） A ．2 B．0 C． D．6

考点： 专题： 分析： 解答：

函数的值域；余弦函数的定义域和值域． 计算题．

先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值． 解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣

∵﹣1≤cosx≤1

∴当cosx=1时ymin=0， 故选B

本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．

点评：

11．（5分）椭圆C与椭圆 A ．

考点： 专题： 分析： 解答：

B．

C．

关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ） D．

直线与圆锥曲线的综合问题． 计算题．

依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．

解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可． ∵椭圆

的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）

故椭圆C的方程为

点评： 12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ） A ． B．2 π C． D．

π π π

考点： 专题： 分析： 解答：

故选A．

本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 计算题．

通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．

解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2， S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=． ∴V=π（1+4+2）×

=

π．

点评：

故选D

本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．

13．（5分）（2014•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式： ①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）； ②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）； ③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）； ④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a）， 其中成立的是（ ） A ．①与④ B．② 与③ C．①与③ D．② 与④

考点： 函数奇偶性的性质． 分析： 根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b），

对①②③④进行逐一验证即可得答案．

解答：

点评：

解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0 又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．

③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对． 故选C．

本题主要考查函数奇偶性的应用．

14．（5分）不等式组的解集是（ ）

A ．{x|0＜x＜2} B． { x|0＜x＜2.5} C． D{ x|0＜x＜3} ．

考点： 其他不等式的解法． 专题： 压轴题． 分析： 可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决． 解答： 解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D

故选C

点评： 本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决． 15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ） A ．150种 B．1 47种 C．144种 D．1 41种

考点： 排列、组合的实际应用；计数原理的应用． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三

类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．

解答： 解：从10个点中任取4个点有C104种取法，

其中4点共面的情况有三类．

第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C种；

第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；

第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，

∴不同的取法共有C104﹣4C﹣6﹣3=141种． 故选D．

点评： 本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，

解题时注意做到不重不漏．

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 16．（4分）已知

考点： 专题： 分析：

的展开式中x3的系数为，常数a的值为 4 ．

二项式定理；二项式系数的性质． 计算题．

利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．

解答：

解：

的展开式的通项为

=

令

解得r=8

∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为 ∴

点评：

解得a=4

故答案为4

本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．

，则极点到该直线的距

17．（4分）（2014•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为离是

．

考点： 专题： 分析：

简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质． 计算题；压轴题． 先将原极坐标方程

中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标

方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．

解答：

解：将原极坐标方程

ρsinθ+ρcosθ=1，

化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0， 则极点到该直线的距离是故填；

点评：

18．（4分）

考点： 专题： 分析：

的值为

．

．

=

．

，化为：

本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

角的变换、收缩变换． 计算题；压轴题． 先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可． 解：

解答：

==

=

===

=tan15°=tan（45°﹣30°）=

=

=，

故答案为：

点评：

本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，

是中档题．

19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是 ①④ ．

考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 压轴题． 分析： 对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面

平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是 ①④

解答： 解：①，符合定理的条件故正确；

②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误； ③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直； ④符合面面垂直的判定定理，故正确；

⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误， 故正确命题的序号是 ①④．

点评： 本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，

要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．

三、解答题（共6小题，满分69分）

20．（10分）已知复数，．复数

，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，

Q．

证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．

考点： 复数代数形式的混合运算． 分析：

利用复数三角形式，化简复数

然后计算复数

解答：

解法一：于是

，

，．

，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．

，

，=

因为OP与OQ的夹角为因为

，所以OP⊥OQ．

，所以|OP|=|OQ|

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形． 解法二： 因为因为于是

，所以z3=﹣i．

，所以ω4=﹣1

点评：

由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．

由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．

本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．

21．（11分）已知数列{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设cn=an+bn，Sn为数列{cn}的前n项和．求

考点： 专题： 分析：

．

等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和． 计算题．

先根据等比数列的通项公式分别求出an和bn，再根据等比数列的求和公式，分别求得Sn和Sn

﹣1

的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．

解答：

解：

，

．

分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1． ∵

，

=

==

=p．

（Ⅱ）p＜1． ∵0＜q＜p＜1，

=

=

点评： 本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力． 22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

考点： 根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 应用题． 分析： （1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）

表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．

解答： 解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

故所求函数及其定义域为

（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有

当且仅当若若=

，．即时上式中等号成立 时，全程运输成本y最小，

=

，则当

，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有

因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0， 所以

，且仅当v=c时等号成立，

也即当v=c时，全程运输成本y最小． 综上知，为使全程运输成本y最小，当

点评：

时行驶速度应为

；当

时行驶速度

应为v=c．

本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．

23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点． （1）证明AD⊥D1F；

（2）求AE与D1F所成的角．

考点： 专题： 分析：

解答：

异面直线及其所成的角． 计算题；证明题．

（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得； （2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可． 解：

（Ⅰ）∵AC1是正方体， ∴AD⊥面DC1． 又D1F⊂面DC1， ∴AD⊥D1F．

（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．

点评： 24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．

（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1； （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜

考点： 专题： 分析：

．

本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．

一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明． 证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．

（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差 x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可． （2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜

；

解答：

证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以 F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得 F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0， 即x＜f（x）． x1﹣f（x）

=x1﹣[x+F（x）] =x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2） =（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）] 因为

所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0． 得x1﹣f（x）＞0． 由此得f（x）＜x1． （2）依题意知

因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根． ∴

，

．

因为ax2＜1，所以

点评：

本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

25．（12分）（2012•北京模拟）设足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 压轴题． 分析： 圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，

b），圆P截X轴所得的弦长为，

截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．

解答： 解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有 r2=a2+1．

从而得2b2﹣a2=1．

又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为

，

所以5d2=|a﹣2b|2 =a2+4b2﹣4ab

≥a2+4b2﹣2（a2+b2） =2b2﹣a2=1，

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值． 由此有

解此方程组得或

由于r2=2b2知． 于是，所求圆的方程是

（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2． 解法二：同解法一，得∴得

①

②

将a2=2b2﹣1代入①式，整理得

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即 △=8（5d2﹣1）≥0， 得5d2≥1．

∴5d2有最小值1，从而d有最小值

．

将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1． 将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1． 综上a=±1，b=±1，r2=2． 由|a﹣2b|=1知a，b同号． 于是，所求圆的方程是

（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．

点评：

本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，

P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．