2021年重庆市中考数学试卷和答案(b卷)

2021年重庆市中考数学试卷（B卷）

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1．（4分）3的相反数是（ ） A．3

B．

C．﹣3

D．﹣

2．（4分）不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．C．

B．D．

3．（4分）计算x4÷x结果正确的是（ ） A．x4

B．x3

C．x2

D．x

4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD（0，1），D（0，3），则△OAB与△OCD的相似比是（ ）

A．2：1

B．1：2

C．3：1

D．1：3

5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC，若∠A＝20°，则∠B的

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度数为（ ）

A．70°

B．90°

C．40°

D．60°

6．（4分）下列计算中，正确的是（ ） A．53

﹣2

＝21 D．

÷

＝3

B．2+

＝2

C．

×

＝

7．（4分）小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（ ）

A．小明家距图书馆3km

B．小明在图书馆阅读时间为2h

C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快

8．（4分）如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，不能证明△ABC和△DCB全等的是（ ）

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A．∠ABC＝∠DCB

D．∠A＝∠D

B．AB＝DC C．AC＝DB

9．（4分）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，点M，N分别在AB和CD边上，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）

A．60°

B．65°

C．75°

D．80°

10．（4分）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比），坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶A点的仰角为50°（ ）

（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.；tan50°≈1.19）

A．69.2米

B．73.1米

C．80.0米

D．85.7米

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11．（4分）关于x的分式方程+1＝的解为正数有

解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A．﹣5

B．﹣4

C．﹣3

D．﹣2

12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，边BC交于点E，F，连接EF，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）

A．

B．

C．2

D．3

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上 13．（4分）计算：

﹣（π﹣1）0＝ ．

14．（4分）不透明袋子中装有黑球1个、白球2个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，记下颜色 ． 15．（4分）方程2（x﹣3）＝6的解是 ．

16．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，分别以点A，B，C，D为圆心，，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面

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积为 ．（结果保留π）

17．（4分）如图，△ABC中，点D为边BC的中点，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC′，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE＝BE，则AD的长为 ．

18．（4分）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 元．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅

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助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．（10分）计算：

（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2； （2）

÷（x+

）．

20．（10分）2021年是中国党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10．

七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数

8.5 a 8

8.5 9 b 55%

优秀率 45%

根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ；

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

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（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．

21．（10分）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

22．（10分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，请按要求完成下列各小题． x y

… …

﹣2 ﹣1 6

5

0 4

1 a

2 2

3 1

4 b

5 7

… …

（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值： m＝ ，a＝ ，b＝ ；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： ； （3）已知函数y＝解集．

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的图象如图所示，结合你所画的函数图象的

23．（10分）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面）（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ （2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加

a%．求a的值．

24．（10分）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四

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位数m为“共生数”．例如：m＝3507（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135（1+3），所以4135不是“共生数”． （1）判断5313，37是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，PD，求△PAD面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4

个单位1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴

上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

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四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26．（8分）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG． ①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，求线段DG的长；

②如图2，点E不与点A，B重合，连接EH，求证：BE+BH＝

；

（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，连接FP，当NP+，直接写出△DPN的面积．

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参

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1．解析：只有符号不同的两个数互为相反数，由此解答即可． 参：3的相反数是﹣3， 故选：C．

2．解析：明确x＞5在数轴上表示5的右边的部分即可．

参：不等式x＞5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括6， 故选：A．

3．解析：根据同底数幂的除法法则计算即可． 参：原式＝x4﹣1＝x7， 故选：B．

4．解析：根据信息，找到OB与OD的比值即可． 参：∵B（0，1），7）， ∴OB＝1，OD＝3，

∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD＝7：3， 故选：D．

5．解析：根据直径所对的圆周角为90°，即可求解．

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参：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠A＝20°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝70°， 故选：A．

6．解析：根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则逐一判断即可． 参：A．5B．8与C．D．

×÷

﹣6

，此选项计算错误；

，不能合并； ＝＝

×

×＝

＝3

；

，此选项计算错误；

故选：C．

7．解析：根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项的说法是否正确．

参：由图象知： A．小明家距图书馆3km；

B．小明在图书馆阅读时间为3﹣8＝2小时； C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h；

D．因为小明去图书馆需要5小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，符合题意． 故选：D．

8．解析：根据证明三角形全等的条件AAS，SAS，ASA，SSS逐一

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验证选项即可．

参：在△ABC和△DCB中， ∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，

A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA）， 故A能证明；

B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等， 故B不能证明；

C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS）， 故C能证明；

D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS）， 故D能证明； 故选：B．

9．解析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出∠DPM＝150°，利用四边形内角和定理即可求得．

参：在Rt△PMN中，∠MPN＝90°， ∵O为MN的中点， ∴OP＝

，

∵∠PMN＝30°， ∴∠MPO＝30°， ∴∠DPM＝150°， 在四边形ADPM中，

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∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，

∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM ＝360°﹣90°﹣45°﹣150° ＝75°． 故选：C．

10．解析：利用斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，求出CE的长，从而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的长． 参：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.3， ∴DE：CE＝5：12， ∵DE＝50米， ∴CE＝120米， ∵BC＝150米，

∴BE＝150﹣120＝30（米）， ∴AB＝tan50°×30+50 ≈85.7（米）． 故选：D．

11．解析：由关于y的一元一次不等式组值范围，再由关于x的分式方程

+1＝

有解得到a的取的解为正数得到a

的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，确定a的整数解，结论可求．

参：关于x的分式方程

+8＝

．

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∵关于x的分式方程∴a+2＞0． ∴a＞﹣4． ∵关于x的分式方程∴

．

+1＝，

+1＝，

∴a≠﹣6．

解关于y的一元一次不等式组

．

∵关于y的一元一次不等式组∴a﹣2＜0． ∴a＜2．

综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣2． ∵a为整数，

∴a＝﹣3或﹣2或6或1．

∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣4+0+1＝﹣5． 故选：B．

12．解析：首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得． 参：设A（a，0），

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得：

有解，

∵矩形ABCD， ∴D（a，），

∵矩形ABCD，E为AC的中点， 则E也为BD的中点， ∵点B在x轴上， ∴E的纵坐标为∴

，

，

∵E为AC的中点， ∴点C（3a，）， ∴点F（7a，

），

∵△AEF的面积为1，AE＝EC， ∴S△ACF＝7， ∴

解得：k＝2． 故选：D．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上

13．解析：利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算． 参：原式＝3﹣1＝8． 故答案为：2．

14．解析：列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

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，

参：列表如下 黑 白 白

黑

（黑，黑） （黑，白） （黑，白）

白

（白，黑） （白，白） （白，白）

白

（白，黑） （白，白） （白，白）

由表可知，共有9种等可能结果，

所以前后两次摸出的球都是白球的概率为， 故答案为：．

15．解析：按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 参：方程两边同除以2得： x﹣3＝7．

移项，合并同类项得： x＝6．

故答案为：x＝6．

16．解析：先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解． 参：在菱形ABCD中，有：AC＝12． ∴

．

∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°． ∴四个扇形的面积，是一个以．

∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×＝96﹣25π． 故答案为：96﹣25π．

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17．解析：根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到OD的长，然后根据全等三角形的判定和性质可以得到AO的长，从而可以求得AD的长．

参：由题意可得，

△DCA≌△DC′A，OC＝OC′， ∴点O为CC′的中点， ∵点D为BC的中点， ∴OD是△BCC′的中位线， ∴OD＝BC′，

∴∠COD＝∠EC′B＝90°， ∵AE＝BE，BC′＝4， ∴OD＝1，

在△EC′B和△EOA中，

，

∴△EC′B≌△EOA（AAS）， ∴BC′＝AO， ∴AO＝2，

∴AD＝AO+OD＝6+1＝3， 故答案为：5．

18．解析：根据题意确定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．

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参：∵蓝牙耳机、多接口优盘，A盒中有2个蓝牙耳机，1个迷你音箱，2个多接口优盘； ∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘，

∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2， ∴B盒中有多接口优盘10×＝5（个）设蓝牙耳机、多接口优盘，b元， 由题知：

，

＝3（个），

∵①×5﹣②得：a+b＝45， ②×2﹣①×3得：b+c＝55，

∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+7c）＝45+55×2＝155（元），

故答案为：155．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

19．解析：（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可；

（2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可． 参：（1）原式＝2a2+4ab+a2﹣2ab+b5 ＝3a2+ab+b5；

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（2）原式＝＝＝＝

．

֥

÷（+）

20．解析：（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值． （2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解． （3）根据优秀率进行评价即可．

参：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，8，8，8，8，8，8，4，8，8，7，9，9，8，10，10，10． ∴中位数a＝8．

根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9． 故答案为：7；9．

（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为＝

＝102（人）．

（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%．故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异． 21．解析：根据题意作出图即可； 参：如图：

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猜想：DF＝3BF．

证明：∵四边形ABCD为平行四边形． ∴OA＝OC，OD＝OB． ∵AC＝2AB． ∴AO＝AB．

∵∠BAC的角平分线与BC交于点E． ∴BF＝FO． ∴DF＝3BF．

22．解析：（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4求b值即可；

（2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可； （3）根据图像求出即可．

参：（1）当x＝0时，|6|+m＝8， 解得：m＝﹣2，

即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+3|﹣2， 当x＝1时，a＝3+|﹣2+6|﹣2＝3， 当x＝4时，b＝5+|﹣2×4+7|﹣2＝4， 故答案为：﹣6，3，4；

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（2）图象如右图，根据图象可知当x＝2时函数有最小值y＝1； （3）根据当y＝x+|﹣2x+3|﹣2的函数图象在函数y＝方时

成立，

的图象上

∴x＜0或x＞5．

23．解析：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根据3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元列方程组解出可得结论；

（2）根据5月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额＝4月的总销售额（1+

a%），用换元法解方程可得结论．

参：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元， 根据题意得：解得：

，

，

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答：每份“堂食”小面的价格为4元，每份“生食”小面的价格为5元；

（2）由题意得：4500×7+2500（3+a%）×7（1﹣设a%＝m，则方程可化为：9×3+25（1+375m2﹣30m＝0， m（25m﹣2）＝0， 解得：m1＝7（舍），m2＝∴a＝3．

24．解析：（1）根据题目中的定义，可直接判断5313，37是否为“共生数”；

（2）根据定义，先用两个未知数表示F（n），然后列出含有n的式子，找出满足要求的结果即可． 参：（1）∵5+3＝6×（3+1）， ∴5313是“共生数”， ∵6+7≠2×（5+4）， ∴37不是“共生数”；

（2）∵n是“共生数”，根据题意，

设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a， 设n的百位上的数字为b， ∵个位和百位都是5﹣9的数字， ∴个位上的数字为9﹣b，且8﹣b＞b， ∴0≤b≤4

第23页（共33页）

a%），

，

m）＝（7×7+25）（1+

，

∴n＝1000a+100b+20a+8﹣b； ∴F（n）＝

由于n是“共生数”， ∴a+9﹣b＝2×（7a+b）， 即a+b＝3， 可能的情况有：

，

∴n的值为1227或2148或3069，

F（n）的各位数和为偶数的有2148和3069， ∴n的值是2148或3069．

25．解析：（1）直接代入点A，B坐标即可；

（2）作PE∥y轴交直线AD于E，通过铅垂高表示出△APD的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为4

，转化为向右平移4个单位，再向下平

＝340a+33b+8，

移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E的坐标，从而平行四边形中，已知线段DE，分DE为边还是对角线，通过点的平移得出G的横坐标即可．

参：（1）将A（﹣1，0），4）代入y＝ax2+bx﹣4得

，

∴

，

∴y＝x2﹣3x﹣2，

（2）当x＝0时，y＝﹣4，

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∴点C（5，﹣4），

∵点D与点C关于直线l对称， ∴D（3，﹣7）， ∵A（﹣1，0），

∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣4， 设P（m，m2﹣3m﹣6）， 作PE∥y轴交直线AD于E， ∴E（m，﹣m﹣1），

∴PE＝﹣m﹣1﹣（m4﹣3m﹣4） ＝﹣m2+2m+3， ∴S△APD＝当m＝﹣

＝2（﹣m2+2m+5）＝﹣2m2+6m+6， ＝1时，S△APD最大为3，

（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，

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∴沿AD方向平移∵P（1，﹣6）， ∴E（5，﹣10），

，实际可看成向右平移5个单位，

抛物线y＝x2﹣3x﹣8平移后y1＝x2﹣11x+20， ∴抛物线y3的对称轴为：直线x＝当DE为平行四边形的边时：

若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为代入y2＝x2﹣11x+20得y＝﹣∴

，

，

，

，

若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为， 代入y1＝x2﹣11x+20得y＝∴

，

，

若DE为平行四边形的对角线时，

若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点， ∴G的横坐标为，

代入y3＝x2﹣11x+20得y＝﹣， ∴

第26页（共33页）

∴G（

）或G（

），

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

26．解析：（1）①过D作DH⊥GC于H，先证明△BGF是等边三角形，求出CD长度，再证明BF＝CF＝GF，从而在Rt△BDC中，求出CF＝

＝

＝2

，即得GF，在Rt△CDH中，

，可得GH

＝

；

求出DH＝CD•sin30°＝和CH＝CD•cos30°＝＝GF+FH＝

，Rt△GHD中，即可得到DG＝

第27页（共33页）

②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，由∠ABC+∠EFH＝180°，得B、E、F、H共圆，可得∠FBH＝∠FEH，从而可证HF＝GF，由E、P、F、G共圆可得∠BMH＝∠GPF＝60°，故△GFP≌HFM，PF＝FM，可得NF＝MH，BF＝MH+EP，在Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝

BE，Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝

BF；

BH，即

可得到BE+BH＝

（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，Rt△PMH中，HP＝MP，NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，而将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，可得∠QKP＝∠FEP＝60°，从而可证ML∥AC，四边形GHND是矩形，由DN＝2NC，得DN＝GH＝2，由等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，可得BM＝，BD＝AB•sinA＝3Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝MH＝MG+GH＝HP＝

，GD＝BD﹣BG＝

，

，可求

，Rt△MHP中，可得

，故S△DPN

，从而可得PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝

．

＝PN•DN＝

参：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：

第28页（共33页）

∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，

∴BG＝BF，∠FBG＝60°， ∴△BGF是等边三角形，

∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF， ∵等边△ABC，AB＝6，

∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝，CD＝AB＝3，

∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°， ∴∠BCG＝∠DBC， ∴BF＝CF， ∴GF＝CF， Rt△FDC中，CF＝∴GF＝2

，

，

＝

，

Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝∴FH＝CF﹣CH＝∴GH＝GF+FH＝Rt△GHD中，DG＝

， ，

＝

；

第29页（共33页）

②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，作BP中点N，如图：

∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG， ∴△EGF是等边三角形，

∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，

∴∠ABC+∠EFH＝180°， ∴B、E、F、H共圆， ∴∠FBH＝∠FEH，

而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，

∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°， ∴∠FEH＝30°，

∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°， ∴EF＝HF＝GF①， ∵EP⊥AB，∠ABD＝30°， ∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，

第30页（共33页）

∴∠EPF+∠EGF＝180°， ∴E、P、F、G共圆， ∴∠GPF＝∠GEF＝60°， ∵MH⊥BC，∠DBC＝30°， ∴∠BMH＝60°， ∴∠BMH＝∠GPF②， 而∠GFP＝∠HFM③，

由①②③得△GFP≌△HFM（AAS）， ∴PF＝FM，

∵EP⊥AB，BP中点N， ∴EP＝BP＝BN＝NP， ∴PF+NP＝FM+BN， ∴NF＝BM，

Rt△MHB中，MH＝， ∴NF＝MH，

∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP， Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝， Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝，

∴BF＝

BE+

， ∴BE+BH＝

BF；

（2）以M为顶点，MP为一边，ML交BD于G，设于K

第31页（共33页）

MP交BD

Rt△PMH中，HP＝，

∴NP+MP最小即是NP+HP最小、P、H共线， ∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，

∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，F为主动点，E为定点，则F， ∴∠BKM＝60°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠BMK＝90°， ∵∠PML＝30°， ∴∠BML＝60°， ∴∠BML＝∠A， ∴ML∥AC，

∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°， 而BD⊥AC，

∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°， ∴四边形GHND是矩形，

第32页（共33页）

∴DN＝GH，

∵等边△ABC中，AB＝6， ∴CD＝6， 又DN＝2NC， ∴DN＝GH＝2，

∵等边△ABC中，AB＝4，点M为BE中点， ∴BM＝，BD＝AB•sinA＝4×sin60°＝3Rt△BGM中，MG＝∴MH＝MG+GH＝

，

，

，BG＝BM•cos30°＝，GD＝BD﹣BG＝

，

，

Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝∴S△DPN＝PN•DN＝

．

，

第33页（共33页）