天峻县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

mn2

1． 设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为﹣16，则含x项的系数是（ ） A．﹣13 B．6 C．79 D．37

2． 下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（ ） A．f（x）=﹣xe|x| B．f（x）=x+sinx C．f（x）=3． 函数y=sin（2x+A．x=﹣

B．x=﹣

D．f（x）=x2|x|

）图象的一条对称轴方程为（ ） C．x=

D．x=

4． 已知偶函数f（x）=loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（ ） A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） 5． 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

D．﹣2

C．f（a+1）≤f（b+2） D．f（a+1）＜f（b+2）

），则f（2）的值为（ ）

6． 下列命题正确的是（ ）

22A．已知实数a,b，则“ab”是“ab”的必要不充分条件

2B．“存在x0R，使得x010”的否定是“对任意xR，均有x10” xC．函数f(x)x()的零点在区间(,)内

132121132D．设m,n是两条直线，,是空间中两个平面，若m,n，mn则

7． 自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（ ）

A．8x6y210 B．8x6y210 C．6x8y210 D．6x8y210

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

8． 下列说法中正确的是（ ） A．三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面

C．两两相交的三条直线一定在同一平面内

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D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内

9． 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A．

B．（4+π） C． D．

10．已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+A．

B．

C．

D．

）等于（ ）

11．二项式（x2﹣）6的展开式中不含x3项的系数之和为（ ） A．20 B．24 C．30 D．36

12．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（ ） A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）

D．（0，1）

二、填空题

13．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小； ③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．

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14．已知变量x，y，满足

，则z=log4（2x+y+4）的最大值为

．

15．已知a，b是互异的负数，A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项，则A与G的大小关系为 ． 16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数fx＝－xlnx＋ax在0，e上是增函

a23数，函数gx＝e－a＋，当x0，ln3时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a的值

22x为______.

17．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为 ．

218．已知平面向量a，b的夹角为，ab6，向量ca，cb的夹角为，ca23，则a与

33c的夹角为__________，ac的最大值为 ．

【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.

三、解答题

19．已知正项等差{an}，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=（1）求证{bn}为等比数列． （2）若{bn}前3项的和等于

，求{an}的首项a1和公差d．

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20．已知双曲线过点P（﹣3（1）求双曲线的标准方程；

，4），它的渐近线方程为y=±x．

（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值． 21．已知

（Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．

22．（本小题满分12分）一直线被两直线l1:4xy60,l2:3x5y60截得线段的中点是P 点, 当P点为0,0时, 求此直线方程.

，其中e是自然常数，a∈R

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23．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．

（Ⅰ）求出f（5）；

（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式．

24．已知等差数列

满足：=2，且，的通项公式。

成等比数列。

若存在，求n的最小

（1） 求数列（2）记为数列

的前n项和，是否存在正整数n，使得

值；若不存在，说明理由.

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天峻县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】

（﹣2）+

（﹣5）=﹣16，

二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．

【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整

2

数，可得m=3、n=2，从而求得含x项的系数．

mn

【解答】解：由于多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为

可得2m+5n=16 ①．

再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x项的系数是

2

2

（﹣2）+

2

（﹣5）=37，

故选：D． 2． 【答案】A

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

【解析】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数， A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数， 且f′（x）=

≤0恒成立，故在R上为减函数，

B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数， C中函数f（x）=

，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；

D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数， 故选：A．

3． 【答案】A

【解析】解：对于函数y=sin（2x+

），令2x+

=kπ+

，k∈z，

求得x=π，可得它的图象的对称轴方程为x=π，k∈z， 故选：A．

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【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

4． 【答案】B

【解析】解：∵y=loga|x﹣b|是偶函数 ∴loga|x﹣b|=loga|﹣x﹣b| ∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|

2222∴x﹣2bx+b=x+2bx+b

整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0 由此函数变为y=loga|x|

当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数， 又偶函数y=loga|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增 故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1 综上得0＜a＜1，b=0

∴a+1＜b+2，而函数f（x）=loga|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减 ∴f（a+1）＞f（b+2） 故选B．

5． 【答案】A

【解析】解：设幂函数y=f（x）=x，把点（，

α

）代入可得=

α

，

∴α=，即f（x）=故f（2）=

=

，

，

故选：A．

6． 【答案】C 【解析】

考

点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．

【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断pq,qp的真假），

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最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断. 7． 【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQPCQC8． 【答案】D

【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误； 对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；

∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，对C，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误； 对D，由C可知D正确． 故选：D．

9． 【答案】 D

【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体， 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体， 圆柱的底面直径和母线长都是2， 四棱锥的底面是一个边长是2的正方形， 四棱锥的高与圆锥的高相同，高是∴几何体的体积是故选D．

【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．

10．【答案】B

【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=， 则

=，又sin2α+cos2α=1，

=

，

=

，

222，则由PQPO，得，

(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D，

解得sinα=，cosα=（负值舍去）． 则cos（α+故选B．

）=cos

cosα﹣sin

sinα=

×（﹣）=

．

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【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．

11．【答案】A

【解析】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=故展开式中含x项的系数为

3

•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，

•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，

不含x项的系数之和为20，

3

故选：A．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

12．【答案】C

【解析】解：由函数f（x）=3x+x可知函数f（x）在R上单调递增，

0

又f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=3+0=1＞0，

∴f（﹣1）f（0）＜0，

可知：函数f（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C．

【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．

二、填空题

13．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确． 故答案为：①②④．

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【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

14．【答案】 【解析】解：作

易知可行域为一个三角形， 验证知在点A（1，2）时， z1=2x+y+4取得最大值8， ∴z=log4（2x+y+4）最大是， 故答案为：．

的可行域如图：

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

15．【答案】 A＜G ． 【解析】解：由题意可得A=

，G=±

，

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由基本不等式可得A≥G，当且仅当a=b取等号， 由题意a，b是互异的负数，故A＜G． 故答案是：A＜G．

【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．

16．【答案】

【解析】fx1lnxa，因为fx在0，e上是增函数，即fx0在0，e上恒成立，

5 2alnx1，则alnx1max，当xe时，a2，

a2a2x,t1,3， 又gxea，令te，则gtta22a2a2（1）当2a3时，gtmaxg1a1，gtminga，

2235则gtmaxgtmina1，则a，

22a2a2（2）当a3时，gtmaxg1a1，gtming3a3，

22则gtmaxgtmin2，舍。

xa5。 217．【答案】 A ．

【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．

18．【答案】【解析】

，18123. 6第 12 页，共 16 页

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d． ∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，

2

∴a2=a1a4．

2

即（a1+d）=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．

当d=0时，an=a1，bn=当d=a1时，an=na1，bn=

==

，∴

，∴

=1，∴{bn}为等比数列；

=，∴{bn}为等比数列．

综上可知{bn}为等比数列． （2）解：当d=0时，S3=

=

，所以a1=

；

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当d=a1时，S3=

=，故a1=3=d．

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．

20．【答案】

【解析】解：（1）设双曲线的方程为y﹣

2

x2=λ（λ≠0），

代入点P（﹣3，4），可得λ=﹣16，

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41， 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6， 又|F1F2|=2c=10，

2222

∴d1+d2﹣2d1d2=36即有d1+d2=36+2d1d2=118，

222

∴|F1F2|=100=d1+d2﹣2d1d2cos∠F1PF2

∴cos∠F1PF2=

【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．

21．【答案】 【解析】解：（1）a=1时，因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣， ∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减． 当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增． 所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．

（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1． 又g′（x）=

，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．

所以g（x）的最大值为g（e）=， 所以f（x）min﹣g（x）max＞，

所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．

【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．

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22．【答案】y【解析】

1x． 6试题分析：设所求直线与两直线l1,l2分别交于Ax1,y1,Bx2,y2,根据因为Ax1,y1,Bx2,y2分别在直线

l1,l2上，列出方程组，求解x1,y1的值，即可求解直线的方程. 1

考点：直线方程的求解.

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25， ∴f（2）﹣f（1）=4=4×1． f（3）﹣f（2）=8=4×2， f（4）﹣f（3）=12=4×3， f（5）﹣f（4）=16=4×4 ∴f（5）=25+4×4=41．…

（Ⅱ）由上式规律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．… ∴f（2）﹣f（1）=4×1， f（3）﹣f（2）=4×2，

f（4）﹣f（3）=4×3， …

f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4•（n﹣2）， f（n）﹣f（n﹣1）=4•（n﹣1）…

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∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）•n， ∴f（n）=2n﹣2n+1．…

24．【答案】见解析。

2

【解析】（1）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d）， 化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4， 当d=0时，an=2，

当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2。 （2）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800， 此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立， 当an=4n﹣2时，Sn=

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41， 综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n， 当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41

=2n2，

令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，

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