知识梳理
差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．
差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量
差倍问题的基本关系式：
差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)
1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数
例题讲解：
板块一、和差问题
例题1、李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？
解答：鸭与鹅只数的倍数差是3-1=2（倍），
鹅有18÷2=9 (只)， 鸭有 9×3=27(只).
举一反三：
（1）两个书架，甲书架存书相当于乙书架存书量的5倍，甲书架比乙书架存书多120本，则乙书架存书多少本？
解答：多的120本相当于乙书架的4倍，
则乙书架的书为：120÷4=30（本）．
（2）师、徒两人共加工105个零件，师父加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师父和徒弟各加工零件多少个？
解答：把徒弟加工的个数看作1份数，师父加工的个数就比3份数还多5个，
如果师父少加工5个，两人加工的总数就少5个，总数变为（105-5）个， 徒弟做了：100÷（3+1）=25(个)，师父做了：25×3+5=80(个)．
例题2、有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？
解答：用去同样长的一段后，两段长度差为：18-10=8（米），
且第一根比第二根多：3-1=2（倍）， 则第二根剩下：8÷2=4（米）， 第一根剩下：4×3=12（米）．
举一反三：
有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，两条纸带都剪下同样的一段后，长纸带剩下的长度是短纸带剩下的3倍，问剪下的一段有多长？
解答：长纸带剩下长度比短纸带剩下的长度长：21-13=8（厘米），
短纸带剩下：8÷（3-1）=4（厘米）， 剪下：13-4=9（厘米）．
例题3、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
解答：两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，
第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。 第一根截去12米剩下的长度：（12+14）÷（3-1）＝13（米） 两根绳子原来的长度：13＋12＝25（米）
举一反三：
有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍．若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍．甲船原载货物多少吨?
解答：甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨，
甲船就应增加900×3＝2700(吨)， 实际少增加2700－1200＝1500(吨)．
少增加的重量等于乙船现有货物的3－2＝1(倍)， 所以甲船原载货物(1500－900)×3＝1800(吨)．
例题4、某迎春茶话会上，买来苹果4箱，已知每箱苹果取出24千克后，剩余的各箱苹果总和等于原来一箱苹果的重量，问原来一箱苹果多重？
解答：取出24×4=96千克，即原来的比剩下的多96千克，
原来有4箱，剩下一箱的重量，即原来的是剩下的4倍，
所以96出（4-1）=32（千克）为剩下的重量，即一箱的重量．
举一反三：
菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？
解答：这样想：根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖
出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500(千克).
这个重量相当于萝卜重量的3-1=2(倍)， 所以运来萝卜：（1800-300）÷（3-1）=750(千克)， 运来白菜：750×3=2250(千克)．
例题5、有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒8千克水到大桶，则大桶中水是小桶的3倍，求原来大桶有水多少千克？
解答：现在大桶水比小桶水多：8×2=16（千克），
所以现在小桶中的水是：16÷（3-1）=8（千克）， 而原来大桶中有水是：8×2=16（千克）．
举一反三：
某校五年级比六年级人数少154人，若六年级学生再转来46人，则六年级学生是五年级学生的3倍，问五、六年级各有多少人？
解答：五年级人数为：（154+46）÷（3-1）=100（人），
六年级的人数：100+154=254（人）．
例题6、甲、乙俩人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍．如果甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等．问甲、乙俩人原来各存款多少元？
解答：“甲存款数是乙存款数的3倍”，乙存款数就是l倍数，而甲存款数比乙存款数多的倍
数是3-1=2 倍．因为“甲取出80元，乙存入20元，甲、乙的存款正好相等”，可知甲的存款数比乙的存款数多80+20=100(元)．利用差倍问题的公式，可求出1倍数， 即乙原来的存款数100÷2=50 (元)， 甲原来的存款数50×3=150(元)．
举一反三： 甲、乙各有若干本书,若甲给乙45本,则二人的书相等,若乙给甲45本则甲的本数是乙的4倍,甲、乙各有书多少本？
解答：乙给甲45本书后剩下的书：（45×2+45×2）÷（4-1）=60（本），
乙原有书：60+45=105（本）， 甲原有书：105+45×2=195（本）．
例题7、兄妹俩人去买文具，哥哥带的钱是妹妹的两倍，哥哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等，哥哥带了________元钱，妹妹带了________元钱．
解答：由题目的条件“哥哥带的钱是妹妹的两倍”知：哥哥的钱比妹妹的钱多一倍，又由“哥
哥用去180元，妹妹用去30元，这时兄妹俩人剩下的钱正好相等， 哥哥比妹妹多180-30（元），
妹妹带了150元，哥哥带了300元．
举一反三：
食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，几天后剩下的大米是面粉的3倍？
解答：因每天用掉的面粉和大米数量相等，不论经过多少天，面粉和大米的数量差都不变，
仍然是：138-94=44（千克）。
我们把几天后剩下的面粉重量看作1份，大米重量也就是3份， 则几天后剩下面粉：44÷（3-1）=22（千克）。
用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：（94-22）÷9=8（天）。
例题8、幼儿园大班每人发17张画片，小班每人发13张画片，小班人数是大班人数的2倍，小班比大班多发126张画片，那么小班有多少人？
解答：小班每2个人就会发13×2=26张画片，
那么，小班的2个人比大班的1个人多发了26-17=9张画片， 总共多发了126张，所以小班有126÷9×2=28人．
举一反三：
实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？
解答：两校区各调走200人之后还是相差540人，对应的倍数是：4-1=3倍，
实验小学一校区调走200人后剩下的人数是：540÷（4-1）=180(人)， 实验小学一校区原有：180+200=380(人)， 实验小学二校区为：380+540=920(人).
例题9、有两盘苹果，如果从第一盘中拿2个放到第二个盘里，那么两盘的苹果数相同；如果从第二个盘中拿2个放到第一盘里，那么第一盘的苹果数是第二盘的2倍．第一盘有苹果多少个?
解答：原来第一盘比第二盘多：2+2=4(个)，
从第二盘拿2个到第一盘里，
第一盘就比第二盘多：4+（2+2）=8(个)，
第二盘拿走2个后剩下的苹果数为：8÷（2-1）=8(个)， 第一盘原有苹果：8×2-2=14(个) ．
举一反三：
小青和小红每人都有一些水彩笔，如果小青给小红1支，两人就一样多，如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍，那么小青和小红各有多少支水彩笔？
解答：“小青给小红1支，两人就一样多”说明小青原来比小红多1+1=2(支)，
“如果小红给小青1支，小青的水彩笔就是小红的2倍”则小红给小青1支后， 小青就比小红多2+1+1=4(支)， 这与倍数差2-1=1（倍）相对应， 小红的水彩笔现在是4÷1=4(支)， 她原来就是4+1=5(支)， 小青原来是：5+2=7(支).
例题10、小新家有大小两个书架，大书架上的书的本数是小书架的3倍，如果从大书架上取走150本放到小书架上，那么 两个书架上的书一样多，大小书架上原来各有多少本书?
解答：根据从大书架上取出150本书放人小书架，两个架上的书的本数相等，知大书架比小
书架多150×2＝300本．这样就可以作为一道典型的“差倍问题”来进行解答了．
由于大书架上的书是小书架的3倍，把小书架上书的本数看做I倍量，大书架比小书架多300本对应于小书架的(3－1)倍量．
大书架比小书架多的书数： 150×2＝300(本)， 两个书架相差几倍： 3－1＝2倍， 小书架原有书： 300÷2＝150(本)， 大书架原有书： 150×3＝450(本)．
举一反三：
甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍．甲桶原来有油多少千克？
解答：后来乙比甲多14+16=30千克油，
这时甲桶油的重量是：30÷（4-1）=10(千克)， 甲桶原来有油10+16=26(千克) ．
例题11、快乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
解答：这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差
倍问题”来解决．见上图，
由于白笔比彩笔的4倍多3箱，故把彩笔看做1倍数，
(白笔－3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍， 此时白笔比彩笔多15-3=12（箱）． 彩色粉笔的箱数12÷3=4(箱)， 白色粉笔的箱数：4+15=19(箱)．
举一反三：
育才学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍少3箱，育才学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？
解答：把彩笔看做1倍数，(白笔＋3)就相当于彩笔的4倍，即彩笔比(白笔－3)少3倍，
此时白笔比彩笔多15+3=18箱． 彩色粉笔的箱数18÷3=6 (箱)， 白色粉笔的箱数：6+15=21 (箱)
例题11、甲、乙、丙三所小学学生人数的总和为1999，已知甲校学生人数的2倍，乙校学生人数减3，丙校学生人数加4都是相等的，问：甲、乙、丙各校的人数是多少？
解答：甲校学生人数为：（1999-3+4）÷（1+2+2）=400（人），
乙校学生人数为：400×2+3=803（人）， 丙校学生人数为：400×2-4=796（人）．
举一反三：
红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人．如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同．如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同．请问：甲班原来有多少人？
解答：现在的甲班比乙班多2×2=4（人），
丙班比乙班多3×2+2=8（人），丙班比甲班还多8-4=4（人）． 甲班人数为：（162-4+4）÷（1+1+1）=54（人）
例题12、小明、小红、小玲共有73块糖．如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍．问小红有多少块糖？
解答：如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多，说明小玲比小红多3块；
如果小红给小明2块糖，那么小明的糖就是小红的糖的2倍， 即小明的糖加2是小红的糖减2后的2倍，
说明小明的糖是小红的糖的2倍少2×2+2=6块． 所以，小红有：（73-3+6）÷（1+1+2）=19块糖．
举一反三：
甲、乙、丙三数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2．求这三个数．
解答：这道题里出现了3个数，首先要确定把哪个数看作“1倍数”．把丙数看作“1倍数”
算起来更简便．这样，乙数就是“3倍少2”．甲数是“乙数的2倍多4”，可转化为：甲数是丙数的(3倍-2）×2+4=6倍，这三个数的和就相当于丙数的6倍+(3倍-2)+1倍=10倍-2．
丙：（78+2）÷（6+3+1）=8
乙:8×3-2=22 甲：22×2+4=48
例题13、小丸子家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多13只，比白鸡少18只，白鸡的只数是黄鸡2倍，白鸡、黄鸡、黑鸡一共多少只？
解答：以黄鸡的只数为标准，白鸡的只数是黄鸡的2倍，所以黄鸡：18÷（2－1）＝18（只），
白鸡：18×2＝36（只），黑鸡：18－13＝5（只），三种鸡共有：18+36+5＝59（只）
举一反三：
某养殖厂养鸡、鸭、鹅共1462只，鸡的只数比鸭的4倍多132只，鹅的只数比鸭的2倍少70只．这个养殖厂养的鸡、鸭、鹅各有多少只？
解答：我们把鸭的只数看作1份，鸡的只数看作4份，鹅的只数看作2份，鸡、鸭、鹅的总
只数就相当于鸭的：1+4+2=7(份)．而鸡、鸭、鹅的总只数可以看作：1462-132+70=1400(只)．用总只数除以总份数，先求出鸭的只数，再求鸡和鹅的只数． 鸭的只数：(1462-132+70)÷（1+4+2）=200(只)；
鸡的只数：200×4+132=932(只)； 鹅的只数：200×2-70=330(只)．
板块二、年龄问题的和差
例题1、爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？
解答：五年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁．它是一个不变量．所以爸爸、
妈妈现在的年龄差仍然是6岁．这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题． 爸爸的年龄：（72+6）÷2=39(岁) 妈妈的年龄：39-6=33(岁)
举一反三：
爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；六年后，爸爸比妈妈大4岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？
解答：六年后，爸比妈大4岁，即爸妈的年龄差是4岁.它是一个不变量.所以爸爸、妈妈现
在的年龄差仍然是4岁.这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是4岁，求二人各是几岁”的和差问题．爸爸年龄：（72+4）÷2=38（岁），妈妈的年龄：38-4=34（岁）
爸爸的年龄是38岁，妈妈的年龄是34岁.
例题2姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？
解答：姐弟俩今年的年龄和是13+9=22（岁），
经过的年数和，即为40-22=18（年）， 经过的年数都是：18÷2=9（年）． 可以求出姐姐的年龄是13+9=22
例题3、新老运动员把话谈，手拉手儿笑微微.老将说：“我比你大10岁.”新手说：“上次你比我大一倍.”运动会四年开一次，两人年龄各几岁？
解答：新运动员：10÷（2-1）+4=14（岁），
老运动员：14+10=24（岁）．
例题4、兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半．问：哥哥今年几岁？
解答：假设他们的年龄差是1份，由“哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年
龄的一半”可知弟弟的年龄是2份，哥哥的年龄是3份， 所以每一份是30÷（2+3）=6(岁)， 哥哥的年龄是6×3=18(岁)．
课后作业：
1、某小学原来参加室外活动的人数比参加室内活动的人数多480人，现在把室内活动的50人改为室外活动，这样室外活动的人数正好是室内人数的5倍，则参加室内、室外活动的共有多少人?
解答：原来室外、室内活动人数相差480人，现把室内的50人改为室外活动，
这样室外活动人数比室内人数多480+50×2=580(人)， 这时室外活动人数正好是室内人数的5倍， 580人相当于现在室内活动人数的5-1=4(倍)，
这样可先求出现在室内活动人数为580÷4=145（人）， 室内、外人数之和：145×（5+1）=870人．
2、甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
解答：乙班的本数： 80÷（3-1）=40（本）
甲班的本数： 40×3=120（本）或40＋80=120（本）。
3、二⑴班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍.原有连环画和故事书各有多少本？
解答：从线段图可以看出，如果故事书拿走7本以后，则正好是连环画的4倍.这时故事书与连环画总数应减少7本，列式成47-7=40 (本)，正好是连环画本数的(1+4)倍.
⑴如果故事书拿走7本，总本数为：47-7=40(本) ⑵现在连环画与故事书的倍数和为：4+1=5 ⑶连环画有：40÷5=8(本) ⑷故事书有：8×4+7=39(本)
4、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍.问：原来两人各有多少本书？
解答：小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍.这个“倍数”是变化后
的，所以“1倍”数应是小云变化后的书. “差”是20＋5＋11＝36(本).
小云现有书：(20＋5＋11)÷(3-1)＝18(本)； 小云原来有书18＋5＝23(本)， 小雨原来有书23＋20＝43(本).
5、三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？
解答：两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；三（2）班从
本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74＝170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了。
后来三（1）班比三（2）班图书多：74＋96=170（本） 三（2）班剩下的图书：170÷（3-1）=85（本） 三（2）班原有图书：85＋96=181（本）（两个班原有图书一样多）
6、勤学图书馆书架上下两层放着一批书，如果上层少放8本 ，上下两层的本书就一样多，如果下层少放8本 ，上层的书就是下层的2倍，问书架上下两层各有多少本书？
解答：如果上层少放8本 ，上下两层的本书就一样多，说明上层比下层多8本；
如果下层少放8本 ，上层的书就是下层的2倍，
把下层书作为一倍量，下层少放8本之后与上层相差的本数是：8+8=16(本)， 此时下层书的本数是：16÷（2-1）=16(本)， 所以下层有16+8=24(本)书， 上层有24+8=32(本)．
7、小明和小刚各有玻璃弹球若干个.小明对小刚说：“我若给你两个，我们的玻璃弹球一样多.”小刚说：“我若给你两个，你的弹球数量将是我的3倍.”小明和小刚共有玻璃弹球多少个？
解答：由小明说的话推知，小明的玻璃球比小刚多4个，如果小刚给小明2个，那么小明比
小刚多8个.
8个是小刚还剩下玻璃球数量的3-1＝2倍，此时小刚有玻璃球8÷2＝4（个）， 小明有玻璃球4+8＝12（个）， 两人共有玻璃球4+12＝16（个）
8、两根绳，第一根长64米，第二根长52米，剪去同样长后，第一根是第二根的3倍，求每根绳减去几米？
解答：剪去同样长后，第一根比第二根长（64-52）米，因此，第二根剩下的长为 （64-52）÷（3-1）=6米，从而剪去的长度为52-6=46米 ．
9、两个筐中各有苹果若干千克，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克苹果，从第二个筐中取出2千克苹果，则两筐苹果的重量相等．你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗?
解答：从图中可以看出，第一个筐中的苹果是第二筐的4倍，则第二筐的苹 果数是一倍数．如
果第二筐中少取出2千克，剩下的重量就正好相当于1倍，那么两筐苹果的相差数26－2＝24(千克)，相当于第二筐原来重量的3倍．两筐苹果的差和倍差都知道了，就可以求出两筐苹果原来的重量．两筐苹果的倍数差是4－1＝3（倍），两筐苹果相差26－2＝24(千克)，第二筐原来有苹果重量24÷3＝8(千克)，第一筐原来有苹果重量8×4＝32（千克）.
10、两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？
解答：已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，
第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这 样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。 第二块布比第一块布多剩：31-19＝12（米） 第一块布剩下：12÷（4-1）=4（米） 第一块布原有：4+31=35（米）（两块布原有长度相等）
11、爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？
解答：父女年龄差是：38-2=36（岁），
当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁， 这36岁是父亲比女儿多的5-1=4倍所对应的年龄. （38-2）÷（5-1）=9（岁）， 9-2=7（年），即7年后，父亲的年龄是佳佳的5倍
12、哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁．问：哥哥现在多少岁？
解答：假设弟弟当年年龄是1份，那么哥哥现在的年龄就是3份，因为哥哥当年的年龄与弟
弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)就刚好是2份，那么兄弟现在的年龄和是3+2=5份，一份就是30÷5=6(岁)，哥哥现在是6×3=18(岁)．
13、妈妈的年龄是小红的5倍，奶奶的年龄比小红大9倍，已知奶奶比妈妈大35岁，求三人年龄各多少岁？
解答：奶奶的年龄比小红大9倍，妈妈的年龄是小红的5倍，
妈妈的年龄比小红大（5-1）倍，奶奶的年龄比妈妈大（9-4）倍， 把小红的年龄看作一倍数，
则小红的年龄为：35÷（9-4）=7（岁）， 妈妈的年龄是：7×5=35（岁）， 奶奶的年龄是：35+35=70（岁）
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