百校大联考2021届高三第三次联考数学试卷(有答案)

数学试卷

一、选择题

1.“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x210在实数范围内没有解．已知复数z满足z24i0则

z ( ) A．4

B．2

C．2

D．1

∣x2xt0,tR，BxR∣x2x60，若ABx∣x29，则2.已知集合AxRAB ( )

A．(3,3)

B．(2,2)

C．(2,3)

D．(3,2)

3.《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即1041万，1081亿，10121兆，10161京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是（ ） A．21

B．20

C．25

D．24

4.已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是（ ） A．2019

B．2020

C．2021

D．2022

5.已知a，b是不共面向量，设OA2ab,OBa2b,OC3ab,ODa3b 若△OAB的面积为3，则△OCD的面积为（ ） A．4

B．5

C．6

D．8

6.正实数a，b，c满足asina2,b3b3,clog4c4，则实数a，b，c之间的大小关系为（ ） A．bac

B．abc

C．acb

D．bca

7.已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上，且BCCDDB2，若面面体ABCD的体积是42，则这个球面的面积是（ ） 3A．16π B．

32π 3C．4π D．

76π 3log2x,x18.已知函数f(x)1，gxfxkx，若函数gx有两个零点，则k的取值范围是

x1,x141A．0,

41B．0,

eln21C．0,

e11D．,

4eln2二、多项选择题

9.在平面直角坐标xOy中，已知圆O过点，A(3,4)、B、C、且BCOA，则（ ） A．直线BC的斜率为C．△ABC的面积3 B．AOC60 4253 D．点B、C在同一象限内 210.在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是xy1，下列结论正确的是（ ） A．曲线C上的点与定点F(2,2)距离的最小值是22 l:?xy20的距离的比是2 B．曲线C上的点和定点F(2,2)的距离与到定直线 C．曲线C绕原点顺时针旋转45，所得曲线方程是x2y22 D．曲线C的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4 11.设2(12x)29a0a1xa2x2A．a15a16 B．a1a2a3C．a1a3a5D．a12a23a3a291

a29x29，则下列结论正确的是（ ）

1329 a29229a2958

12.下列结论正确的是（ ）

A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形

B．存在这样的四面体ABCD，BACCADDABBCD90 C．存在不共面的四点A、B、C、D，使ABCBCDCDA90 D．存在不共面的四点A、B、C、D，使ABCBCDCDADAB90 三、填空题

ππ13.已知f(x)sin(2x)3cos(2x)||是奇函数，若x0,，msin(2x)n，

22则nm的最小值是_________________．

14.集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，AB的元素个数是1，在AB中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是________.

15.设数列a1,a2,a3,a4各项互不相同，且ai{1,2,3,4}(i1,2,3,4)．若下列四个关系①a11；②a21；③a32；④a44中恰有一个正确，则10a1a210a3a4的最大值是______．

16.设抛物线C1:yx22x2和C2:yx2axb在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点____________． 四、解答题

17.回答下列问题

(1)写出一个等差数列{an}的通项公式，使{an}满足①a10，②{Sn}是等差数列，其中Sn是{an}的前n项和．(写出一个就可以，不必证明)

(2)对于(1)中的{an}设bn2nan求数列{bn}的前n项和Tn．

18.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB3,ADDCCB1．

(1)当A、B、C、D共圆时，求cosA的值； (2)若cosADB3，求sinABC的值． 619.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表： 日需求量杯数 天数 20 5 25 5 30 10 35 15 40 10 45 10 50 5 以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． (1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；

(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求的分布列和数学期望；

②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由．

20.如图，矩形BCDE所在平面与△ABC所在平面垂直，ACB90,BE2．

(1)证明：DE平面ACD；

(2)若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是1是,求异面直线DE与AB所成角的余弦值． 35且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值5x2y2121.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221(ab0)的离心率是，焦点到相应准线的距离

2ab是3．

(1)求a，b的值；

(2)已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，F(1,0)，连接AF、BF并分别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点． 22.设0x1．

x2sinx(1)证明：11；

6xx3(2)若axsinx，求a的取值范围．

6

参

1.答案：B 解析： 2.答案：B 解析： 3.答案：C 解析： 4.答案：C 解析： 5.答案：D 解析：

6.答案：A 解析： 7.答案：A

解析：由题意可知S△BCD3，所以点A到平面BCD的距离为△BCD的外心为点E，则可得到OE46可设AB的中点为O，32623，又BE，所以OB2，则S球4πR216π，故33答案选A. 8.答案：B

解析：当ykx与ylog2x相切时，可得k1，将函数ykx的图象顺时针旋转，当k0eln2时，fx与ykx都有2个交点，故答案选B 9.答案：BD 解析： 10.答案：ABC 解析： 11.答案：ACD 解析： 12.答案：AC

解析：对于选项B，三个直角以A为顶点，那么△BCD为锐角三角形，故错误；对于选项D，此时A，B，C，D四点共面，故错误；综上，答案选AC. 13.答案：1解析： 14.答案：解析： 15.答案：18 解析： 316.答案：1,

2222x02x0ax0b，联立化简可解析：设交点为(x0，y0)，则2x022x0a1，且x03 219 28得ab53，所以C2过定点1,． 2217.答案：(1)可写an2n1，则有Snna1an2n2，所以Snn，即{Sn}是等差数列

(2)由(1)得bn2nan(2n1)2n(2n3)2n1(2n5)2n，所以

Tnb1b2 解析：

bn(2n3)2n16．

18.答案：(1)在△ABD中，由余弦定理可得BD2AB2AD22ABADcosA423cosA， 在△BCD中，由余弦定理可得BD2BC2DC22BCDCcosC22cosA， 所以解得cosA31． 2(2) 在△ABD中，由余弦定理可得AB2AD2DB22ADDBcosADB， 化简可得31BD232ππ，所以CBD， BD，解得BD3，则ACB336AB2BD2AD25且cosABD，

2ABBD615311533所以sinABCsin(ABDCBD)。 262612 解析：

19.答案：(1)由题意得从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率P1，，40，70，其分布列为： (2)①由题意20102C452C6029； 59 P 20 1 1210 1 1240 1 670 2 3则E()201112105104070 1212632②由题意每天准备40杯这款新品奶茶的数学期望为 E()4011115(10)20508045， 121212因为45 解析：

105，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议 220.答案：(1)由题意可知DEDC，又ACB90，则BCAC，

又DE//BC，所以DEAC，且ACDCC，所以DE平面ACD． (2)由题意可知AC平面BCDE，连结CE，则有sinAECAC1, AE3又平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的平面角为DAC， 所以cosDACAC5,且DCBE2，可得AC1， AD5所以AE3，则可知CF72，所以BC2，则AB5， 而异面直线DE与AB所成的角为ABC， 所以其余弦值为cosABC 解析：

c1a221.答案：(1)由题意有,c3，解得a2，c1，所以ba2c23.

a2cBC25. AB5(2)由题意可设Ax1,y1,Bx1,y1,Dx2,y2,Ex3,y3， 由A，F，D三点共线，得

y1y2，所以y1x2y2x1y1y2, x11x212222y1x2y2x12又因为y1y222,，所以y1x2y2x14y1y2，

45x185x15xx22x1512x5解得，同理可得，

3x53xyy11222x52x5又直线DE的方程为yy3y2yxy3x2yy25y1y2x3y3x28y，且3x231，

x3x2x3x2x3x23x1x3x23x1即有直线DE的方程为y 解析：

y18(5x8),所以过定点,0 3x1522.答案：(1)由题意可设f(x)sinxx(0x1)，有f'(x)cosx10,则fx0，得x3x2设g(x)sinxx(0x1)g(x)cosx1,

62sinxx2g(x)xsinx0,则有g(x)0,g(x)单调递增，得g(x)0，所以1得证；

x6x3x3(2)由(1)可知a1时，xxsinx成立，

66sinx1, xx3x2则当a1时，设h(x)sinxax，则h(x)cosxa，h''(x)xsinx0,h'(x)单调递

26增，

则h(x)maxcos11a， 21②若acos1,h(x)0,h(x)单调递减，则有h(x)0，此时不符合题意；

211③若1acos1,h(0)1a0,h(1)cos1a0，所以h'(x)有唯一零点，可记为x0，则

220xx0,h(x)0，此时hx单调递减，有hx0，则不符合题意；

综上可知a1，即a的取值范围为(,1]．