双曲线的题型

第三十四讲 双曲线

题型一 求双曲线的标准方程 例1、求下双曲线的标准方程；

（1）实轴长为16，离心率e5； 4（2）过点P(3,3)，离心率e5； 2（3）经过两点P(3,27)和Q(62,7)；

92（4）经过点P(,1)，两渐近线方程为yx。

2314x2y21共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线的方程。 例2、（1）已知双曲线与椭圆

5925x2y21有共同的渐近线，且过点P(3,23)的双曲线方程。 （2）与已知双曲线

916例3、已知双曲线中心在原点，准线平行y轴，两渐近线互相垂直，设F为右焦点，P为右支上一动点，A(32,2)为右支内部一定点，若|PA|+|PF|的最小值为364，求这双曲线的方程。 例4、已知双曲线的实半轴长与虚半轴长的乘积为3，F1、F2为两焦点，直线l过F2且与直线F1F2的夹角为，tan=

21,l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，2且|PQ|：|QF2|=2：1，建立适当的坐标系，求这双曲线方程。（全国高考题）

题型二 以双曲线为背景的求值问题

x2y21的左、右焦点，l为左准线，P(x0,y0)为左支上一点，P点到l例5、设F1、F2为双曲线45的距离为d，已知d，|PF1|，|PF2|成等差数列，求x0的值。

x2y2例6、已知双曲线221(a,b0)上一点P与两焦点F1，F2的连线互相垂直，且RtF1PF2有一

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内角为

，求双曲线的离心率。 128，双曲线过C、D、E11例7、已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。（全国高考题）

x2y2例8、设双曲线221(a,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，若点P

ab到双曲线左准线l的距离等于|PF2|，求

|PF1|F1F2|的值。 PF2||PF1|x2y2例9、过双曲线221(a,b为正常数)上一点P作直线l，分别与双曲线的两渐近线相交于A，

abB两点，O为原点，如图2-10，若点P分有向线段AB的比为2，试求AOB的面积。

例10、直线l过点A(0,1)且双曲线3x2y21相交于A、B两点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的斜率。

x2y2例11、设A、B为双曲线221(a,b0)上两点，M为线段AB的中点，O为原点，已知直线

abAB和OM的斜率之积等于4，求双曲线两渐近线的夹角。 题型三 以双曲线为背景求变量的取值范围或最值

例12、设A(1,0),B(x0,y0)，C(x0,y0)(x01,y00)是双曲线x2ay21（a0)上三点，若ABC为正三角形，求a的取值范围。

例13、设F1、F2为双曲线x2y2a2(a0)的左、右焦点，P为双曲线上一动点，O为原点，求

|PF1||PF2|的取值范围。

|PO|x2y2例14、设双曲线221(a,b0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线左支上一点，P点到

ab双曲线左准线的距离为d，已知|PF1|2d,|PF2|,求双曲线离心率e的取值范围。

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x2y2例15、设F1、F2为双曲线221(其中ab0,为常数)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意

ab一点，Q(m,0)是实轴上一点，已知|PQ|2|PF1||PF2|，求m的取值范围。

例16、已知l1、l2是过点P(2,0)的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2x21各有两个交点，求l1的斜率k1的取值范围。（全国高考题） 题型四 推断或证明双曲线的有关性质题型

x2y2例17、如果双曲线 — =1上一点P到它的右焦点的距离是8，求点P到它左准线的距离。

6436例18、设F为双曲线的一个焦点，l为相应的准线，过点F的直线与双曲线一支相交于A、B两点，试推断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系。

例19、求证：等轴双曲线上任意一点到中心的距离，是它到两焦点距离的比例中项。

x2y2例19、设A、B是双曲线221（a，b>0）位于第一象限内的不同两点，线段AB的垂直平

ab分线交y轴于点P（0，m），直线AB的斜率为k,求证：

（1）k

a

； （2）a2b2am b

题型五 以双曲线为背景的探索性问题

x2y2例20、若双曲线221（a，b>0）的两条渐近线的夹角为2a，试探求双曲线的离心率与a的

ab函数关系。

y21和点P（1，1）例21、给定双曲线x，试推断过点P能否作直线l，使与所给双曲线相交22于A、B两点，且点P是线段AB的中点，这样的直线l如果存在求出它的方程，如果不存在，说明理由。

例22、设直线l:yax1与双曲线x22y21相交于P、Q两点，试推断是否存在实数a分别满足下列条件，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

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（1）PQ21a2

（2）以PQ为直径的圆经过坐标原点。 题型六 直线与双曲线的位置关系

例23、当k取何值时，直线l:ykx2与双曲线C:x2y21

（1）相交 （2）相切 （3）相离 （4）有一个公共点

x2y2例24、直线l 在双曲线1上截得弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y轴上的截距。

32例25 求双曲线9x216y2144，被点A（8，3）平分的弦PQ所在的直线方程。

y2x2例26、在双曲线1的同一支上的不同三点A（x1,y1）,B(26,6),C(x2,y2)与焦点F（0，5）

1213的距离成等差数列

（1）求：y1+y2

（2）证明线段AC的垂直平分线经过定点，并求出定点的坐标。

x2y2例27、求直线：l:x3y60与双曲线1两个交点和原点构成的三角形面积。

94例28、直线ykx1与双曲线x2y21的左支交于A、B两点，另一条直线l过点(2,0)和AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。

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