河南省南阳市A类学校2020-2021学年下学期第一次高二阶段性检测联合考试数学(文科)试题

段性检测联合考试数学（文科）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．

2ii的虚部为（ ） i2iA．12 5B．12i C．

D．i

52．如果今天是2021年6月22日（星期二）那么两百天后是（ ） A．星期四

B．星期五

C．星期六

D．星期日

3．复数的知识结构图如图所示，则图中（1）､（2）､（3）处应分别填入的是（ ）

A．正整数假分数纯虚数 C．正整数小数纯虚数

B．自然数假分数纯虚数 D．自然数小数实数

i20214． 若za12在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a的取值范围是（ ）

a4A．(2,1) B．(,2) C．(1,2) D．(,1)

5．某植物种子的每百颗的发芽颗数y和温度x（单位：℃）的散点图如图所示，根据散点图，在0℃至24℃之间下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽颗数y和温度x的回归方程类型的是（ ）

试卷第1页，总6页

A．ybxa B．ybexa C．ybsinxa D．ybx2a

6．在极坐标系中，方程2(1cos)cos0表示（ ） A．两条直线 个圆

7．现有下列四个命题： 甲：直线l经过点(0,1)； 乙：直线l经过点(1,0)； 丙：直线l经过点(1,1)； 丁：直线l的倾斜角为锐角.

如果只有一个假命题，则假命题是（ ） A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

B．两个圆

C．一条直线和一个圆 D．一条射线和一

8．已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.84，超过15岁的概率为0.21．那么在该地区内，一只寿命超过10岁的猫，寿命超过15岁的概率为（ ） A．0.21

B．0.25

C．0.45

D．0.63

9．半圆形是生活中很常见的图形，如图1的量角器半球体是将球体截去一半所得的几何体，如图2的半球建筑设计图就用到了半球体.若一个半圆形的半径为r，则其周长为

(2)r.将此结论类比到空间，得到的正确结论是（ ）

A．若一个半球体的半径为r，则其表面积为3r2 B．若一个半球体的半径为r，则其表面积为4r2 5C．若一个半球体的半径为r，则其表面积为r2

2D．若一个半球体的半径为r，则其表面积为5r2 10．已知z的共轭复数z13i，且

zz0|zi|，则z0的最大值为（ ） 1i试卷第2页，总6页

A．517 B．175 C．217 D．25 11．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为ax2x2y2．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为16asin．射线6(0)与C交

于点A，与M交于点B，则当正数a在变化时，|OA||OB|的最小值为（ ） A．4 12．若alog12B．123 C．5 D．125 431，bln，c，则（ ） 344A．abc C．cab

二、填空题

B．bac D．acb

13．执行如图所示的程序框图，则输出的i___________.

x4sin214．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数），则曲线M的2ycos普通方程为__________．

2415．在复数集内，方程ziz40的解的个数为___________.

16．观察下列等式：

1323(12)2，

2333(123)212， 3343(1234)232，

试卷第3页，总6页

4353(12345)262，….

根据等式的规律，可得10131023(12102)2___________.

三、解答题

17．听流行音乐是众多学生的一项兴趣爱好，某机构为了解某校学生是否喜欢这项兴趣爱好与性别的关联性，随机调查了该校50名男生和50名女生，其中男生有32人喜欢，女生有42人喜欢． （1）完成下面的列联表： 喜欢听流行音乐 不喜欢听流行音乐 合计 男生 女生 合计 100 （2）根据列联表，是否有95%的把握认为该校学生喜欢听流行音乐与性别有关？说明你的理由．

n(adbc)2附：K，其中nabcd．

(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k0 k0 0.05 3.841 0.010 0.005 6.635 7.879

18．（1）用分析法证明：1941714；

2*（2）用反证法证明：n3nnN为偶数.

1x1t219．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为

3yt2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4． （1）求l的普通方程与圆C的直角坐标方程；

（2）若l与圆C相交于A，B两点，P(1,0)，求|PA||PB|． 20．已知函数f(x)|x1||x7|．

试卷第4页，总6页

（1）证明：8f(x)x29；

（2）若f(x)a212x对x[1,2]恒成立，求a的取值范围． 21．已知复数z的模为1.

（1）写出一个z，使得zR，但z3R（只需要写出一个z，无需证明）；

23（2）设zcosisin(R)，z12(cosisin)(R)，分别求zz1，zz1，zz1的实部（用，表示），并归纳得出zz1nN的实部.

n*22．某小型企业在开春后前半年的利润情况如下表所示： 利润(单位：万元) 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月 第6个月 4 5 7 14 26 55 设第i个月的利润为y万元．

i（1）根据表中数据，求y关于i的回归方程yb22ia(系数精确到0.01)；

（2）由（1）中的回归方程预测该企业第7个月的利润是多少万元？（结果精确到整数部分，如98.1万元～98万元)

（3）已知y关于i的线性相关系数为0.8834．从相关系数的角度看，y与i的拟合关系式更适合用ypiq还是yb(2i2i)a，说明你的理由．

222参考数据：(yiy)1933.5,22523188,1418.5259，1140.96109.44，取

i10216802005.4．

附：样本xi, yi（i1，2，，n）的相关系数rxxyyiii1nxxyy2iii1i1niinn2，

线性回归方程ybxa中的系数bxxyyxynxyiii1nxxii1n2i1nxi12inx2，aybx.

x4cos23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以O为

y44sin极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为2|sin2|2． （1）求C的极坐标方程； （2）求C与D的交点个数．

试卷第5页，总6页

24．已知函数f(x)|xa||x3a|． （1）当a1时，求不等式f(x)6的解集； （2）若f(x)的最小值为4，且(am)(am)

41n2的最小值． ，求22mn试卷第6页，总6页

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参

1．A 【分析】

利用复数除法运算化简复数，由此求得其虚部. 【详解】 因为所以

2ii2i1i(2i)412i， i2i15552ii12的虚部为． i2i5故选：A 2．C 【分析】

利用函数的周期性求解. 【详解】

因为2002874，426， 所以两百天后是星期六. 故选：C 3．B 【分析】

利用复数的知识结构得解. 【详解】

整数包括正整数､零､负整数，其中正整数与零合称为自然数，

所以（1）处应填自然数.分数包括真分数和假分数，虚数包括纯虚数与非纯虚数. 故选：B 4．A 【分析】

借助i的幂的周期性求出z在复平面内对应的点坐标即可列式作答. 【详解】

因为i2021i50541i，则za11i， a24a101)，依题意得1于是得z在复平面内对应的点为(a1,2，解得2a1，

0a4a24答案第1页，总12页

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所以实数a的取值范围是(2,1). 故选：A 5．C 【分析】

根据散点图的特征，与选项中图像的特征一一对比，找到最适合的 【详解】

由散点图可知，函数先增后减，选项A与选项B的函数单调，所以不符合图形，故错误；C选项中，散点图与正弦型函数的一部分图像很接近，适合作为发芽颗数y和温度x的回归方程，故C正确；D选项中，二次函数的对称轴为y轴，不符合散点图，故D错误，综上可得，ybsinxa最适宜作为发芽颗数y和温度x的回归方程 故选：C 6．B 【分析】

将方程因式分解可以得到的值或表达式，从而判断所代表的几何图形 【详解】

将2(1cos)cos0因式分解得：(1)(cos)0，即1或cos，转化为直角坐标方程分别为：x2y21或x2y2x0，均为圆方程，所以原方程表示两个圆． 故选：B 7．C 【分析】

设A(0,1)，B(1,0)，C(1,1)，计算kAB和kBC，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解. 【详解】

设A(0,1)，B(1,0)，C(1,1)则kAB101011，kBC，

11201因为kABkBC，所以A,B,C三点不共线，

所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l的斜率大于0， 而kAB0，kBC0，kAC0，故丙是假命题. 故选：C.

答案第2页，总12页

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8．B 【分析】

根据条件概率公式求解即可 【详解】

记事件A为猫的寿命超过10岁，事件B为猫的寿命超过15岁．依题意有P(A)0.84，P(B)P(BA)0.21，则该地区内一只寿命超过10岁的猫，寿命超过15岁的概率为

P(B|A)P(BA)0.210.25．

P(A)0.84故选：B 9．A 【分析】

利用类比推理求解. 【详解】

若一个球体的半径为r，则该球体的表面积为4r2， 1222所以半球体的表面积为4rr3r.

2故选：A 10．A 【分析】

先求出复数z，设z0xyi(x,yR)，根据复数的除法运算和复数的模长公式化简已知条件，可得复数z0在复平面内对应的点P(x,y)的轨迹圆，结合圆的性质即可求解. 【详解】

因为z13i，所以z13i， 则zi14i，zi11617，

z13i13i(1i)42i==2i， 1i1i1i(1i)2所以z0(2i)17．设z0xyi(x,yR)， 所以x2y1i17 则复数z0在复平面内对应的点P(x,y)的轨迹为：

答案第3页，总12页

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以C(2,1)为圆心，r17为半径的圆，设O0,0， 故z0x2y2故选：A. 11．C 【分析】

求出方程ax2x2y2对应的极坐标方程，分别求出当不等式即可得出答案. 【详解】

解：方程ax2x2y2对应的极坐标方程为a(cos)2，则将将1，

acos2x0y022的最大值为rCO517．

6时|OA|,|OB|的值，结合基本

6代入，得|OB|4． 3a6代入16asin，得|OA|13a．

4241245，当且仅当3a，即a时，等号成立． 3a3a3故|OA||OB|13a因此，当正数a在变化时，|OA||OB|的最小值为5． 故选：C. 12．A 【分析】

首先根据对数的性质将a、b变形，再根据对数函数的性质判断可得； 【详解】

1314313blnalogloglog1221解：4log3e 344log32，244因为

ylog3x4在定义域上单调递减，所以0log31log32log3elog344442564，所以81111log32log3e4，即abc

44故选：A 13．2 【分析】

根据框图功能，一一循环，直至a100终止循环输出结果即可.

答案第4页，总12页

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【详解】

第一次循环a30131，i1； 第二次循环a1861187，i2， 此时187100，故输出的i2. 故答案为：2

14．x4y40(0x4) 【分析】

根据sin2cos21化简，注意三角函数的取值范围即可 【详解】

x4sin2因为sincos1，所以由得x4y4，又4sin2[0,4]，所以曲线M的2ycos22普通方程为x4y40(0x4)． 故答案为：x4y40(0x4) 15．6 【分析】

24将方程ziz40，转化为z440 或z2i0，在复数集内求解即可.

【详解】

24方程ziz40，

则z440 或z2i0，

22在复数集内，z440，即z2z20

所以z2或z2i，

对于方程z2i0，设zabi,a,bR，

a2b20则ziab2ab1i0，则，

2ab1022222aa22解得或，

22bb22所以z2(1i)， 2答案第5页，总12页

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24故方程ziz40的解的个数为6.

故答案为：6 16．50502 【分析】

首先根据题意得到10131023(12102)2(12100)2，再利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】

根据等式的规律，可得1323(12)202，2333(123)212， 3343(1234)2(12)2，4353(12345)2(123)2，….

因此10131023(12102)2(12100)2， 而12100100(1100)5050，

2故10131023(12102)250502. 故答案为：50502

17．（1）填表见解析；（2）有95%的把握认为该校学生喜欢听流行音乐与性别有关；理由见解析． 【分析】

（1）根据已知条件填写22列联表. （2）计算K2的值，由此作出判断. 【详解】 （1） 喜欢听流行音乐 不喜欢听流行音乐 合计 2男生 女生 42 合计 32 74 18 50 8 26 100 50 100(3284218)25000500053.841， （2）因为K29621000507426答案第6页，总12页

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所以有95%的把握认为该校学生喜欢听流行音乐与性别有关． 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】

（1）利用分析法证明； （2）利用反证法证明. 【详解】

证明：（1）要证1941714， 只需证1914174， 即证(1914)2(174)2， 即证332266332272， 只需证266272. 因为266272， 所以266272，

所以1941714得证.

2*（2）假设n3nnN为奇数，

因为n23nn(n3)， 所以n与n3均为奇数， 所以nn3为偶数，

而nn32n3为奇数，所以假设不成立.

2*故n3nnN为偶数.

19．（1）y3x3；x2y216；（2）|PA||PB|15． 【分析】

(1)根据参数方程和普通方程之间的互化可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角方程之间的互化可得圆的直角坐标方程；

(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得到关于t的一元二次方程，结合参数的几何意义与韦达定理即可得到结果.

答案第7页，总12页

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【详解】

（1）对直线l的参数方程消参得y3x3， 则l的普通方程为y3x3． 由2x2y2，4，得x2y216， 则圆C的直角坐标方程为x2y216．

1x1t2（2）将代入x2y216，得t2t150．

y3t2设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t215， 故|PA||PB|t1t215．

20．（1）证明见解析；（2）(5,5)． 【分析】

（1）先根据绝对值的三角不等式证明|f(x)|8，再证明不等式即可；

（2）分x[1,1]与x(1,2]两种情况，去绝对值后再根据恒成立问题求解不等式即可 【详解】

（1）证明：因为|f(x)||x1(x7)|8， 所以8f(x)8． 又x2998， 所以8f(x)x29．

（2）解：当x[1,1]时，f(x)a212x即1x(x7)a212x， 即a26x，则a261，解得5a5． 当x(1,2]时，f(x)a212x即a2x4， 则a214，解得5a5． 综上，a的取值范围是(5,5)． 21．（1）z1323（2）zz1的实部为2cos()，zz1的实部为4cos(2)，zz1的i；

22答案第8页，总12页

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实部为8cos(3)，归纳zz1nN的实部为2ncos(n).

n*【分析】

(1)写出一个符合要求的复数z即可；

(2)利用复数的乘法、乘方运算计算即可得解，再根据规律写出结论作答. 【详解】 （1）z13i； 22（2）因设zcosisin(R)，z12(cosisin)(R)， 则zz12(cosisin)(cosisin)2[(coscossinsin)i(sincoscossin)] 2[cos()isin()]，

所以zz1的实部为2cos()；

z124[(cos2sin2)2isincos]4(cos2isin2)

zz12(cosisin)4(cos2isin2)4[cos(2)isin(2)]，

z138(cosisin)38(cosisin)2(cosisin)8(cos2isin2)(cosisin)

8[(cos2cossin2sin)i(sin2coscos2sin)]8(cos3isin3)， zz13(cosisin)8(cos3isin3)8[cos(3)isin(3)]，

23所以zz1的实部为4cos(2)，zz1的实部为8cos(3)，

因此，归纳得出zz1nN的实部为2ncos(n).

n*22．（1）y0.96(2i2i)5.01；（2）114万元；（3）y与i的拟合关系式更适合用

yb(2i2i)a；理由见解析．

【分析】

（1）设t2i2i，求出回归方程的系数，求出aybt，然后得到回归方程即可； （2）将i7代入回归方程中，求解预报值即可； （3）求出y关于t的线性相关系数，即可判断结果. 【详解】

答案第9页，总12页

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（1）设t2i2i，ty0028225214，

5714265518.5，

600278142226525561418.520045010.96，

228222252261422080520则b所以aybt18.5501145.01， 520故y关于i的回归方程为y0.96(2i2i)5.01；

（2）当i7时，y0.96(2714)5.010.961145.01114.45， 故可预测第7个月的利润约为114万元．

（3）由（1）知，y关于t的线性相关系数：rttyyiii16i16tit2i16yiy22004 20801935.52004200420040.9993，

20801933.0216802005.4因为0.99930.8834，

所以y与i的拟合关系式更适合用yb(2i2i)a． 23．（1）8sin0；（2）交点个数为4． 【分析】

（1）先求得曲线C的普通方程，再转化为极坐标方程.

（2）将曲线D的极坐标方程转化为直角坐标方程，结合图象求得C与D的交点个数. 【详解】

x4cos（1）由，得x2(y4)216，

y44sin即x2y28y0，

故C的极坐标方程为28sin0， 即8sin0．

（2）由2|sin2|2，得|sincos|1， 即|xy|1，xy1， 1所以D表示曲线y．

x答案第10页，总12页

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因为C表示圆心为(0,4)，半径为4的圆，

1所以数形结合可得曲线y与C有4个交点，即C与D的交点个数为4．

x

924．（1）(1,5)；（2）．

4【分析】

（1）当a1时，利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式的解集. （2）根据fx的最小值求得a2，由此求得小值. 【详解】

（1）当a1时，f(x)6等价于|x1||x3|6． 当x1时，1x3x6，则1x1； 当1x3时，x13x6，则1x3； 当x3时，x1x36，则3x5． 综上，不等式f(x)6的解集为(1,5)． （2）因为f(x)|xa(x3a)||2a|，

41m24，结合基本不等式求得2n2的最2mn答案第11页，总12页

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所以f(x)min|2a|4，则a24． 因为(am)(am)4422am4， ，所以

n2n2则

141111922422nnm5(mn)(524)， 2m24m2(mn)244n448(mn)2，即(mn)22，即m2，n23时，等号成立， 当且仅当2(mn)故

1m2n2的最小值为94． 32答案第12页，总12页