2003年江苏省高考数学试卷

2003年江苏省高考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．(★★★★)如果函数y=ax 2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（ ）

A．B．C．D．

2．(★★★★)抛物线y=ax 2的准线方程是y=2，则a的值为（ ）

A．B．C．8D．-8

3．(★★★★)已知x∈（- ，0），cosx= ，则tan2x等于（ ）

A．B．-C．D．-

4．(★★★★)设函数

若f（x 0）＞1，则x 0的取值范围是（ ）

A．（-1，1）B．（-1，+∞）C．（-∞，-2）∪（0，+∞）D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

5．(★★★)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

，λ∈0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

6．(★★★★)函数 ，x∈（1，+∞）的反函数为（ ）

A．，x∈（0，+∞）B．，x∈（0，+∞）

C．，x∈（-∞，0）D．，x∈（-∞，0）

7．(★★★★)棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）

A．B．C．D．

8．(★★★)设a＞0，f（x）=ax 2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x 0，f（x 0））处切线的倾斜角的取值范围为0， ，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（ ）

A．0，B．0，C．0，||D．0，||

9．(★★★★)已知方程（x 2-2x+m）（x 2-2x+n）=0的四个根组成一个首项为 的等差数列，则|m-n|等于（ ）

A．1B．C．D．

10．(★★★★)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线y=x-1与其相

交于M、N两点，MN中点的横坐标为- ，则此双曲线的方程是（ ）

A．-=1B．-=1C．-=1D．-=1

11．(★★)已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P 0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P 1后，依次反射到CD．DA和AB上的点P 2．P 3和P 4（入射角等于反射角），设P 4坐标为（x 4，0），若1＜x 4＜2，则tanθ的取值范围是（ ）

A．（，1）B．（，）C．（，）D．（，）

12．(★★)棱长都为 （ ）

的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为

A．3πB．4πC．3D．6π

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．(★★★★)在 的展开式中，x 3的系数是 - （用数字作答）

14．(★★★★)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6 辆、 30 辆、 10 辆．

15．(★★★)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部

分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色

的花，不同的栽种方法有 120 种．（以数字作答）

16．(★★)对于四面体ABCD，给出下列四个命题

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．

其中真命题的序号是 ①④ ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．(★★★)在三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．

（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；

（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.001）

18．(★★)已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点

对称，且在区间

上是单调函数，求φ和ω的值．

19．(★★★)如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角

形，∠ACB=90o，侧棱AA 1=2，D、E分别是CC 1与A 1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

（Ⅰ）求A 1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A 1到平面AED的距离．

20．(★★)已知常数a＞0，向量 =（0，a）， =（1，0），经过原点O以 +λ 为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以 -2λ 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

21．(★★)已知a＞0，n为正整数．

（Ⅰ）设y=（x-a） n，证明y′=n（x-a） n-1；

（Ⅱ）设f n（x）=x n-（x-a） n，对任意n≥a，证明f n+1′（n+1）＞（n+1）f n′（n）．

22．(★★)设a＞0，如图，已知直线l：y=ax及曲线C：y=x 2，C上的点Q 1的横坐标为a 1（0＜a 1＜a）．从C上的点Q n（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点P

n+1，再从点

P n+1作直线平行于y轴，交曲线C于点Q n+1．Q n（n=1，2，3，…）的

横坐标构成数列{a n}．

（Ⅰ）试求a n+1与a n的关系，并求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）当 时，证明

；

（Ⅲ）当a=1时，证明

．