立体几何证明题定理推论汇总

一、公理及其推论

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：Al,Bl,A,Bl 作用： ① 用来验证直线在平面内；

② 用来说明平面是无限延展的。

公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：Pl且Pl

作用：① 用来证明两个平面是相交关系；

② 用来证明多点共线，多线共点。

公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：A,B,C不共线A,B,C确定一个平面

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：Aa有且只有一个平面，使Aa，a 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。

符号语言：abP有且只有一个平面，使a，b 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

符号语言：a//b有且只有一个平面，使a，b 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。

a//b符号语言：a//c

c//b作用：用来证明线线平行。

图形语言：

二、平行关系

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1）

a//b符号语言：a//c

c//b 图形语言：

1.线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（2）

aba// 符号语言：

a//b图形语言：

线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3）

符号语言：aa//b

ba//图形语言：

2.面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（.4）

(a,b),abOa//符号语言：// 图形语言：

b//面面平行的判定 如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。（5）

oo//,符号语言：

oo,图形语言：

面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（6）

//aa//b 符号语言：图形语言： b面面平行的性质1 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。（7）

//a// 图形语言： 符号语言：

a面面平行的性质2 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。（8）

//符号语言：a

a图形语言：

面面平行的性质3 平行于同一个平面的两个平面平行。（9）

////符号语言：

//平行垂直关系图系 图形语言：

三、垂直关系

三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（10）

POOaPA 符号语言：

a且aAOPA图形语言：

三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.（11）

POO符号语言：aAO 图形语言： a且aPOPA1.线面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（12）

lnl 符号语言：

(m,n),mnBlm图形语言：

线面垂直的判定 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（13）

a//bb 符号语言：

a 图形语言：

线面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（14）

aa//b 符号语言：

b 图形语言：

线面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（15）

aab 符号语言：

b 图形语言：

2.面面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（16）

AB 符号语言：

AB 图形语言：

面面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（17）

CD符号语言：AB AB且ABCD 图形语言：

最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角，且有

coscos1cos2（其中,1,2如图中所示）

图形语言：