高二物理磁场北师大版知识精讲

【本讲教育信息】

一. 教学内容： 磁场

教学内容：

1. 磁场对运动电荷的作用

（1）洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛仑兹力。

安培力实质上是通电导线内大量定向移动的电荷所受洛仑兹力的宏观表现。 （2）大小：fBqvsin vB时，fBqv v//B时，f0

（3）洛仑兹力的方向：用左手定则判断。注意：四指应指向电荷定向运动时所形成的等效电流的方向。即指向正电荷运动方向或负电荷的反方向。 判断出f的方向需检验：fB，fv

（4）特点：洛仑兹力对运动电荷不做功。

2. 带电粒子在匀强磁场中运动

（1）定性分析带电粒子在匀强磁场中运动形式：

带电粒子在匀强磁场中的运动形式仍由粒子的受力情况及粒子的初速度情况共同决定。不同的磁场对带电粒子施加f洛特点不同，导致带电粒子在磁场中运动形式非常复杂，下面主要讨论匀强磁场中：

初速度 力的特点 运动形式 v＝0 f洛＝0 静止

v//B f洛＝0 匀速直线运动 v⊥B f洛＝Bqv 匀速圆周运动 v与B夹角θ（0°<θ<90°），f洛＝Bqvsinθ，等距螺旋运动 （2）研究带电粒子在匀强磁场中的运动规律： 在匀强磁场中，当带电粒子初速度方向与磁场方向垂直时，粒子将在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动，其向心力由洛仑兹力提供，利用牛顿第二定律可求解带电粒子在匀强磁场中做圆周运动问题。 F向＝f洛

：B与v的夹角

v2Bqv v，mRmv R

Bq2R2m T vBq （3）确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

①确定洛仑兹力的方向 ②确定圆心 ③画出圆轨迹

用心 爱心 专心

（4）带电粒子在磁场中运动时间t的确定： 粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角θ

2mT，T 则t Bq360

3. 质谱仪工作原理

如图所示，带电量相同的粒子，经加速电压U加速后进入图示匀强磁场中，其轨道R

为R＝2mU 2Bq

由此式可知，电量相同，如果质量有微小的差别，就会打在D处的不同位置处。如果在D处放上底片，就会出现一系列的谱线，不同的质量就对着一根确定的谱线，叫做质谱线。能完成这种工作的仪器就称为质谱仪。利用质谱仪对某种元素进行测量，可以准确地测出各种同位素的原子质量。

质谱仪最初是由汤姆生的学生阿斯顿设计的，现已成了一种十分精密的仪器，是测量带电粒子的质量和分析同位素的重要工具。

【典型例题】

234 例题1. 氘核(1H)、氚核(1H)、氦核(2He)都垂直磁场方向射入同一足够大的匀 强磁场，求以下几种情况下，它们轨道半径之比及周期之比是多少？（1）以相同速率射入磁场；（2）以相同动量射入磁场；（3）以相同动能射入磁场。

分析：带电粒子沿垂直磁场方向射入足够大的匀强磁场，粒子的运动轨迹是一个完整

的圆，粒子运动的轨道半径及周期由哪些因素决定，可以通过半径公式R和周期公式T2m来判断。 qBmvqB 解：（1）当带电粒子以相同的速率垂直射入同一磁场中时，由于v和B都相同，根

mv可知，粒子的轨道半径与其电荷量成反比，因此氘核、氚核、氦核qB的轨道半径RD、RT、R之比为：RD:RT:R2：3：2。 据R （2）当带电粒子以相同的动量垂直入射同一磁场中时，由于p＝mv和B都相同，

mv可知，粒子的轨道半径与其电荷量成反比，因此氘核、氚核、氦核qB的轨道半径RD、RT、R之比为：RD:RT:R＝2：2：1。 根据R （3）因带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的半径为RmvqB2mEKqB可知，用心 爱心 专心

所以当带电粒子以相同的动能垂直射入同一磁场中时，由于Ek和B都相同，所以粒子的轨道半径与其电荷成反比，与其质量和的平方根成正比，因此氘核、氚核、氦核的轨道半径

RD、RT、R之比为：RD:RT:R2:31:。

2m 由周期公式T可知，在同一磁场中，周期仅与比荷有关，则不论粒子qB以哪种形式射入同一匀强磁场中，它们的周期之比约为： TD:TT:T2：3：2

说明：

（1）带电粒子在无限大磁场（无界磁场）中垂直磁感线方向运动，运动轨迹是一个完整的圆。

（2）无论带电粒子在匀强电场中运动，还是在匀强磁场中运动，对于解决此类例题，关键在于运用已知概念、规律进行推导，并对推导结果中分析出所求未知量由哪些因素决

定，例如根据向心力公式推导出R的轨道半径与它们所带的电荷成反比。

mv可知，在q、B、m相同的情况下，粒子qBp2。 （3）应熟练运用动量大小和动能大小的关系式：p2mEk或Ek2m这在解决带电粒子在电场或磁场中运动的问题时经常要用到。

例2. 如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质

量之比q。 m y O x  ············ ············ ············ B ············ ············ ············

（2001年全国高考）

解析：带正电粒子射入磁场后，由于受到洛仑兹力的作用，粒子将沿图示的轨迹运动，从A点射出磁场，O、A间的距离为l。射出时速度的大小仍为v0，射出方向与x轴的夹角仍为θ。由洛仑兹力公式和牛顿定律可得：

用心 爱心 专心

qv0Bmv0 R2 式中R为圆轨道的半径，解得 Rmv0qB(1)

圆轨道的圆心位于OA的中垂线上，由几何关系可得

lRsin 2q2v0sin mlB 联立（1）（2）两式，解得

例3. 在边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场B，电子从a点沿ab方向射入磁场，设电子质量为m，电荷量为e。求：

（1）从c点射出的电子速度为vc，时间为tC，从d点射出的电子速度为vd，时间为td，则vc：vd＝？，tc：td＝？

（2）要使电子从cd边射出，对初始速度v0有何要求？ （3）要使电子从bc中点M射出，vM＝？ （4）要使电子从cd中点N射出，vN＝？

a b v0 × ×B × × d c

分析：电子在有界的匀强磁场中运动，只是经历了一段匀速率圆周运动，其运动轨迹

只是圆的一部分，如图（1）和图（2）所示。根据半径公式RＴ＝2m。 qBmv和周期公式qB 可见，电子的速度越大，半径越大，而周期与速度大小无关。通过射入点和射出点可以确定出圆心，从而确定相应的速度，再通过圆心角确定飞行的时间。

用心 爱心 专心

解：（1）电子从c点射出，d为圆心

 2mveBL，得vc 由R qBmTm 运动时间tc

42eB RcL，圆心角c 电子从d点射出，ad中点为圆心

L，圆心角为d 2eBLTm vd ，td2m2eB 故vc:vd2：1，tc:td1：2

Rd （2）要使电子从cd射出，则vd上，连接aM，圆心应在aM的中垂线上，两直线交点即圆心O

a b v0 × ×B P M × × d c O 图（1） 连接OM，再做MP⊥ad，则在Rt△OPM中 R(R 解得R2

L)L2 25L 4mv45eBL可知vM 由R qB4m （4）要使电子从cd中点N射出，O’为圆心

用心 爱心 专心

则R2(LR)2()2

L2 a b v0 × ×B O’ × × d N c 图（2）

5L 85eBL 故vN

8m R

例4. 如图所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一束电子流沿圆形磁场的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向

与原方向成θ角，且tan05.。设电子质量为m，电荷量为e。 2 （1）证明：射出磁场的速度方向，反向沿长线必过O点 （2）求磁场区域半径r

（3）若改变粒子的入射方向但仍保持带电粒子在纸面内运动和速率不变，则粒子在这个磁场中运动的最长时间是多少？

解：（1）证明：先确定电子做匀速圆周运动的圆心O’

连接OC，只需证∠OCP（P为速度方向上一点）为180°即可

O'AO90O'AOO'CO OCO'90，又O'CCP

用心 爱心 专心

OCPOCO'PCO'180

即射出磁场的电子就象从O沿直线射出一样

（2）由粒子穿过磁场区域后速度方向偏转了θ角，则A、P运动轨迹所对圆心角为θ

r 2Rmv 又R

eBmvmv r taneB22eB 则tan （3）若改变粒子入射方向，但速率不变，则粒子圆运动的半径不变，要使粒子在磁场

中运动时间最长，则运动轨迹对应圆心角α应有最大值，当运动轨迹（圆弧）对应的弦最长时，即应当为有界磁场的直径，α有最大值，时间最长。

A O P R R α O rtan05. 2R2 60

sin 故最长的运动时间 tmax

1mT 63Bq【模拟试题】

1. 带电量为+q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是（ ）

A. 只要速度大小相同，所受洛仑兹力就相同

B. 如果把+q改为-q且速度反向大小不变，则洛仑兹力的大小、方向均不变 C. 洛仑兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直 D. 粒子只受到洛仑兹力作用下运动的动能、动量均不变

2. 如图所示，速度相同的电子和质子从缝O处射入匀强磁场中，磁场方向垂直于纸面向里，入射的方向在纸面内并与cdoab垂直，图中画出了四个圆弧（其中一个是电子的轨迹，另一个是质子的轨迹），oa和od的半径相同，ob和oc的半径相同，则电子的轨迹是（ ） A. oa B. ob C. oc D. od

3. 两个电子以大小不同的初速度沿垂直磁场的方向射入一匀强磁场中，设r1、r2为这两

用心 爱心 专心

个电子的运动轨道半径，T1、T2是它们的运动周期，则（ ） A. r1r2，T1T2 B. r1r2，T1T2 C. r1r2，T1T2

D. r1r2，T1T2

4. 如图所示，ab是一弯管，其中心线是半径为R的一段圆弧，将弯管置于给定的匀强磁场中，磁场方向垂直于圆弧所在的平面（即纸面），并且指向纸外，有一束粒子对准a端射入弯管，若粒子有不同的质量，不同的速度，但都是一价的正离子，则能沿中心线通过弯管的粒子必须（ ）

A. 速度大小一定 B. 质量大小一定 C. 动量大小一定 D. 动能大小一定

5. 如图中，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将（ ）

A. 沿路径a运动，径迹是圆

B. 沿路径a运动，轨迹半径越来越大 C. 沿路径a运动，轨迹半径越来越小 D. 沿路径b运动，轨迹半径越来越小

6. 如图所示，在第I象限内有垂直纸面向里的匀强磁场。一对正、负电子分别以相同速率，沿与x轴成30°的方向从原点射入磁场，则正、负电子在磁场中运动的时间之比为（ ） A. 1：2

B. 2：1

C. 1：3

D. 1：1

7. 如图所示，有a、b、c、d四个离子，它们带同种电荷且电量相等，它们的速率关系为vavbvcvd，质量关系为mambmcmd。进入速度选择器后，有两种离子从速度选择器射出，由此可以判定（ ） A. 射向P1的是a粒子 B. 射向P1的是b粒子 C. 射向A2的是c粒子 D. 射向A2的是d粒子

用心 爱心 专心

8. 电量为q的粒子自静止开始被加速电压为U的电场加速后，沿垂直于磁感线方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，粒子在场中做半径为R的匀速圆周运动，不计重力，则粒子在磁场中运动的速率为（ ）

A. BR/2U B. 2U/RB C. 2U/qBR D. BR/2qU

9. 图表示显像管的偏转线圈，圆心处的黑点表示垂直于纸面向外射来的电子束，当偏转线圈通过图示方向的电流时，电子束将（ ） A. 将左偏转 B. 向右偏转 C. 向上偏转 D. 向下偏转

10. 如图所示，在I、IV象限中有垂直于坐标平面的匀强磁场，磁感强度为B。一带电量为q、质量为m的正离子自坐标原点o沿x轴正方向射入磁场，若正离子的初速度为v，则离子将从坐标为________的点穿出磁场。自射入磁场到穿出磁场所需时间为________，若将离子的初速度增大，则离子穿出磁场所需的时间________（填变化情况）。若初速度不变，而将磁感强度增大，则离子穿出磁场所需时间_________（填变化情况）

y · · · · · B · · · · · O x · · · · · · · · · ·

11. 如图所示，ABCD是一个正方形的匀强磁场区域，经相等加速电压加速后的甲、乙两种带电粒子分别从A、D射入磁场，均从C点射出，则它们的速率v甲：v乙＝_____，它们

通过该磁场所用时间t甲：t乙＝_______

用心 爱心 专心

12. 如图所示，带电粒子在没有电场和磁场的空间，以v0从坐标原点O沿x轴方向做匀速直线运动，若空间只存在垂直于xOy平面的匀强磁场时，粒子通过P点时的动能为Ek；当空间只存在平行于y轴的匀强电场时，则粒子通过P点时的动能为（ ） A. Ek B. 2Ek C. 4Ek D. 5Ek

13. 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示，离子源S可以发出各种不同的正离子束，离子从S出来时速度很小，可以看做是静止的，离子经过加速电场加速后垂直进入有界匀强磁场（图中实线框所示），并沿着半圆周运动而到达照相底片上的P点，测得P点到入口处S1的距离为x。下列说法中正确的是（ ） ①若离子束是同位素，则x越大，离子质量越大 ②若离子束是同位素，则x越大，离子质量越小 ③只要x相同，则离子质量一定相同 ④只要x相同，则离子的荷质比一定相同

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

14. 如图，在圆心为O，半径为r的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，一个带电粒子以速度v射入磁场，方向指向圆心O，它穿过磁场后，速度方向偏转角，则该粒子的荷质比

q______ m × × × v O × × × × × ×

15. 如图所示，以ab为分界面的两个匀强磁场，方向均垂直纸面向里，其磁感强度B12B2。现有一质量为m、电量为q的粒子从O点沿图示方向以速度v开始运动，经过时间t＝_______粒子重新回到O点。

用心 爱心 专心

× × × × × B × v × × 1× × × × × × × a O b × × × × × B2 × × × × ×

16. 如图所示，在x轴上方（y0）存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。

在原点O有一离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子，速度都为v，对那些在xy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的最大x＝_______，最大y＝_____

17. 如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入磁感强度为B，宽为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角30°，则电子的质量是_______，穿出磁场的时间是________

18. 在POQ区域内有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图，负离子质量为m，电量为-q，负离子从边界OQ上的A点垂直于OQ也垂直于磁场方向射入磁场，OA＝d，若要求离子不从OP边界射出磁场，离子的速度v应满足的条件是________。

19. 质量为m、电量为q的离子以速率v垂直于屏经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室，如图所示，已知磁感应强度的大小为B、方向与离子运动的方向垂直，并垂直纸面向里。 （1）求离子进入磁场后到达屏上的位置与O点的距离

（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P。试证明：直线OP与离子射入方向间的夹角θ跟t的关系为qBt/2m

用心 爱心 专心

20. 如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）

用心 爱心 专心

试题答案

1. B 2. A B 7. AC 8. B 9. D

3. D

4. C

5. B

6.

10. (0,2mv/qB)； 11. 1：2；2：1

m；不变；缩短 qB12qUmv2BU2 提示：，得v

mvRRqB 又R甲：R乙＝2：1，v甲：v乙1：2

弧长 t，AC＝DC

v t甲：t乙＝1：2

12. D

12mv0 2 在电场中，OP运动过程中，xy，即vxvy

提示：在磁场中运动，Ek 又vxv0,vyv0 vP220vy2，则vy2v0

v0vy5v0

EkP 13. B

12mvp5Ek 2vtan 14.

Br4m2m 15. 或

qB1qB22mv2mv 16. ；

qBqB2dBed 17. ；

v3v 提示：电子在磁场中，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为fv，

故圆心在电子射入和穿出磁场时受到洛仑兹力作用线的交点上，如图O点，由几何知识知，弧AB所对应的圆心角30、OB为半径。

2

dmv，又由 2drBesin302dBe 得m

v 所以r用心 爱心 专心

又因为弧AB对应的圆心角是30，所以穿透时间是t112md T1212eB3v9Bd

(21)m2mv 19. （1）d2r

qB （2）如图SOPr2

18. vS2r2m vvqBqBt 

2m t 20. 粒子运动路线如图示有：

L4R （1） 粒子初速度为v，则有

v2 qvBm （2）

R 由（1）（2）式可算得 vqBL （3） 4m 设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l，加速度为a v2al （4） qEma （5）

粒子运动的总路程s2R2l （6） 由（1））（2）（3）（4）（5）（6）式得：

21qB2L2 sL

216mE

用心 爱心 专心